数学七年级下册6.3 实数第一课时教学设计

教学目标

1.了解无理数和实数的概念，会对实数按一定的标准进行分类.

2.了解数轴上的点与实数一一对应，会用数轴上的点表示实数.

教学重难点

重点：了解实数的意义，能对实数进行分类.

难点：体会数轴上的点与实数是一一对应的.

课前准备

多媒体课件

教学过程

导入新课

教师：同学们以前学过有理数，你能说一说有理数的概念和分类吗？

学生思考，回忆并归纳：

按定义分类：

有理数

按性质分类：

有理数

教师：同学们，在数学世界中，不仅有有理数，还有一类数叫无理数，你知道什么样的数叫无理数吗？

设计意图

先复习有理数，再引入无理数，这样既能做到前后知识相联系，又不会引起新旧知识的冲突，激发学生探究学习的兴趣，从而实现“温故知新”.

探究新知

探究点一：实数的概念

1.把下列分数写成小数的形式，你有什么发现？

，-，，，.

师生活动

2.学生计算结果：＝2.5，-＝-0.6，＝6.75，＝1.，＝0..对于这些小数你有什么发现？

教师：可见，上面的分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.事实上，如果把整数看成小数点后是0的小数，那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.

通过前面的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫做无理数.

4.同学们，到现在我们学习的哪些数是无理数？请举几个例子.

学生展示，教师纠正总结.

5.教师：有理数和无理数统称实数.

设计意图

通过探究“有理数都可以写成有限小数或无限循环小数”的形式，而无理数是无限不循环小数，加深对有理数、无理数的理解，形成对实数的整体认识.

探究点二：实数的分类

有理数按定义和性质有两种分类方式，同学们尝试按定义和性质对实数进行分类.

学生独立思考，小组讨论，教师引导学生完成实数的分类.

按定义分：

实数

因为非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以作如下分类：

实数

设计意图

类比“有理数的分类”得出“实数的分类”方法，不仅巩固旧知，而且形成知识的迁移.

探究点三：数轴上的点与实数一一对应

教师：我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示，无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？

问题：如图1，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，那么点O′对应的数是多少？

图1

师生活动

学生动脑思考，教师引导学生得出结论.线段OO′的长就是这个圆的周长π.可见π可以用数轴上的点表示出来.

教师追问：找到了“π”，你能找到“-π”吗？

学生讨论交流并展示.

教师提问：你能在数轴上找到表示的点吗？画图试试看.

学生在讨论合作的基础上动手操作，教师利用多媒体课件演示“在数轴上找到表示的点”.如图2，以单位长度为边长画一个正方形，这个正方形的对角线长是，以原点为圆心，对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示-.可见，和-都可以在数轴上表示出来.

图2

教师提问：在数轴上能找到表示π、表示的点，这说明了一个什么问题？

学生讨论交流并展示.

教师归纳：有理数和无理数都可以用数轴上的点来表示.即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.换句话说，实数与数轴上的点一一对应.

设计意图

通过具体实例，让学生直观理解π、-π和±等无理数都可以用数轴上的点表示出来，并由特殊到一般，让学生知道数轴上的点与实数是一一对应的.

探究点四：实数的大小比较

问题：试猜想和-哪一个大？为什么？

师生活动

学生猜想，并说明原因.

教师总结：与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大.

设计意图

对于两个实数大小的比较，学生会自然地联想起两个有理数大小的比较方法.通过教师的指导，学生将数的概念从有理数扩充到实数，让学生体会到有理数的运算法则和运算性质在实数范围内同样适用，为第二课时做好铺垫.

新知应用

例1  如图3所示，请将数轴上的各点与下列实数对应起来.

，-1.5，，π，3.

图3

分析：根据数轴上的点和实数是一一对应关系，从左到右各点所表示的数依次为-1.5，，，3，π.

解：点A表示的数为-1.5；点B表示的数为；点C表示的数为；点D表示的数为3；点E表示的数为π.

例2  判断下列说法是否正确：

(1)无限小数都是无理数；

(2)无理数都是无限小数；

(3)带根号的数都是无理数；

(4)所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数；

(5)所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数.

解：(1)错，因为无限小数包括无限循环小数(有理数)和无限不循环小数(无理数).

(2)正确.

(3)错，因为只有无限不循环小数是无理数，许多带根号的数如，等都是有理数.

(4)错，因为数轴上每一个点都表示一个实数.

(5)正确.

课堂练习

(见导学案“当堂达标”)

参考答案

1.有限小数  无限循环小数  有限小数  无限循环小数

2.无限不循环小数

3.有理数  无理数

4.实数  实数

5.解：有理数集合 ；

无理数集合 ；

正实数集合 ；

负实数集合{-π，…}.

6.C  7.B  8.B

(见导学案“课后提升”)

参考答案

1.解：(1)a.设x＝0.＝0.777…，①

则10x＝7.777….②

由②-①，得9x＝7，

即x＝，故0.＝.

b.设x＝1.＝1.333…①，

则10x＝13.333….②

由②-①，得9x＝12，

即x＝，故1.＝.

(2)任何无限循环小数都可以化为分数.

2.解：∵ 点A为BC的中点，∴ AB＝AC.

∵ A，B两点对应的实数分别为，-1，

∴ AB＝+1，∴ AC＝+1.

∴ OC＝OA+AC＝++1＝2+1，

∴ 点C对应的实数为2+1.

课堂小结

1.什么是无理数？

2.什么是实数？实数怎么分类？

3.数轴上的点与什么数是一一对应的？

4.如何比较两个实数的大小？

设计意图

通过小结，使学生梳理本节课所学内容.

布置作业

教材第57页习题6.3第1，2，6，7，9题

板书设计

教学反思