中考数学一轮全程复习课时练第32课时《相似形》(教师版)

这是一份中考数学一轮全程复习课时练第32课时《相似形》(教师版)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．丽水市第一座横跨瓯江的单塔斜拉式大桥紫金大桥，比例尺为1∶500的图纸上的大桥的长度约为1.04 m，则大桥的实际长度约是 (D)
A．104 m B．1 040 m
C．5 200 m D．520 m
【解析】 设大桥的实际长度为x，依题意，得1∶500＝1.04∶x；
得x＝1.04×500＝520(m)．
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，eq \f(AD,DB)＝eq \f(1,2)，则下列结论中正确的是(C)
A.eq \f(AE,AC)＝eq \f(1,2) B.eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,2)
C.eq \f(△ADE的周长,△ABC的周长)＝eq \f(1,3) D.eq \f(△ADE的面积,△ABC的面积)＝eq \f(1,3)
3．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(D)
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC
C．AB2＝AD·AC D.eq \f(AD,AB)＝eq \f(AB,BC)
4．在研究相似问题时，甲乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．

①②
乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距为1，则新矩形与原矩形相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是(C)
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
5．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为eq \r(5)，则下列结论中正确的是(B)
A．m＝5 B．m＝4eq \r(5)
C．m＝3eq \r(5) D．m＝10
6．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，DE∥AC，若S△BDE∶S△CDE＝1∶3，则S△DOE∶S△AOC的值为 (D)
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(1,9) D.eq \f(1,16)
【解析】 ∵S△BDE∶S△CDE＝1∶3，∴BE∶EC＝1∶3，
∴BE∶BC＝1∶4，
∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，△BED∽△BCA，
∴eq \f(DE,AC)＝eq \f(BE,BC)＝eq \f(1,4)，∴S△DOE∶S△AOC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(DE,AC)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,16).
二、填空题
7．若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是__4∶9__．
8．如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于B，E，C，F，若BC＝2，则EF的长是__5__.
9．如图，△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是__AF＝eq \f(1,2)AC
或∠AFE＝∠ABC__．(写出一个即可)
10．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为__5__．
三、解答题
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：AC·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
解：(1)证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠APD＝∠B，
∴∠APD＝∠B＝∠C.
∵∠APC＝∠BAP＋∠B，
∠APC＝∠APD＋∠DPC，
∴∠BAP＝∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴eq \f(BP,CD)＝eq \f(AB,PC)，
∴AB·CD＝PC·BP.
∵AB＝AC，
∴AC·CD＝CP·BP；
(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.
∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.
∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA，
∴eq \f(BA,BC)＝eq \f(BP,BA).
∵AB＝10，BC＝12，
∴eq \f(10,12)＝eq \f(BP,10)，
∴BP＝eq \f(25,3).
12．如图，已知B，C，E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：
(1)△ACE≌△BCD；
(2)eq \f(AG,GC)＝eq \f(AF,FE).
证明：(1)∵△ABC与△DCE都为等边三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AC＝BC，,∠ACE＝∠BCD，,CE＝CD，))
∴△ACE≌△BCD(SAS)；
(2)∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC＝∠AEC，
在△GCD和△FCE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠GCD＝∠FCE＝60°，,CD＝CE，,∠BDC＝∠AEC，))
∴△GCD≌△FCE(ASA)，
∴CG＝CF，
∴△CFG为等边三角形，
∴∠CGF＝∠ACB＝60°，
∴GF∥CE，
∴eq \f(AG,GC)＝eq \f(AF,FE).
13．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线)；
(2)请分别说明两对三角形相似的理由．
解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；
(2)∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，
即∠BAC＝∠DAE.
又∵∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE.
∴eq \f(AB,AD)＝eq \f(AC,AE).
又∵∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE.
14．如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连结OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连结AD.
(1)求证：△CDE∽△CAD；
(2)若AB＝2，AC＝2eq \r(2)，求AE的长．
解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
又∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，
∴∠CAD＋∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAD.
∵∠ABD＝∠BDO＝∠CDE，
∴∠CAD＝∠CDE，
又∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD；
(2)在Rt△OAC中，∠OAC＝90°，
∴OA2＋AC2＝OC2，即12＋(2eq \r(2))2＝OC2，
∴OC＝3，则CD＝2.
又∵△CDE∽△CAD，
得eq \f(CD,CE)＝eq \f(CA,CD)，即eq \f(2,CE)＝eq \f(2\r(2),2)，
∴CE＝eq \r(2)，
∴AE＝AC－CE＝2eq \r(2)－eq \r(2)＝eq \r(2).
15．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE，AE，CD，若∠AEC＝∠ODC.
(1)求证：直线CD为⊙O的切线；
(2)若AB＝5，BC＝4，求线段CD的长．
解：(1)证明：如答图，连结CO，
∵圆周角∠AEC与∠ABC所对弧相同，
∴∠ABC＝∠AEC.
又∠AEC＝∠ODC，∴∠ABC＝∠ODC.
∵OC＝OB，OD⊥BC，
∴∠OCB＝∠OBC，且∠OCB＋∠COD＝90°.
∴∠ODC＋∠COD＝90°.∴∠OCD＝180°－∠ODC－∠COD＝90°，
即OC⊥CD.
又OC为半径，∴直线CD为⊙O的切线；
(2)在⊙O中，OD⊥弦BC于点F，
∴BF＝CF＝eq \f(1,2)BC＝2.
又OB＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(5,2)，∴OF＝eq \r(OB2－BF2)＝eq \f(3,2).
由(1)知∠OBF＝∠CDF，且∠OFB＝∠CFD，
∴△OFB∽△CFD.
∴eq \f(OF,OB)＝eq \f(CF,CD)，∴CD＝eq \f(OB·CF,OF)＝eq \f(\f(5,2)×2,\f(3,2))＝eq \f(10,3).
∴线段CD的长为eq \f(10,3).