中考数学一轮全程复习课时练第33课时《相似形的应用》(教师版)

这是一份中考数学一轮全程复习课时练第33课时《相似形的应用》(教师版)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：
①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；
③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B间距离的有(C)
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．如图是小明设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2 m，BP＝1.8 m，PD＝12 m，那么该古城墙的高度是(B)
A．6 m B．8 m C．18 m D．24 m
【解析】 由平面镜的入射角等于反射角，易得∠APB＝∠CPD.
又∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABP∽△CDP，
∴eq \f(PB,PD)＝eq \f(AB,CD)，即eq \f(1.8,12)＝eq \f(1.2,CD)，解得CD＝8 m.
3．如图，以点O为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至OA1时，拉力为F1，过点B1作B1C⊥OA，过点A1作A1D⊥OA，垂足分别为点C，D.
①△OB1C∽△OA1D；②OA·OC＝OB·OD；③OC·G＝OD·F1；④F＝F1.
上述4个结论中，正确结论有 (D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是 (C)
A．3.25 m B．4.25 m
C．4.45 m D．4.75 m
【解析】 设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得eq \f(CB,BD)＝eq \f(1,0.8)，
而CB＝1.2，∴BD＝0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得eq \f(x,3.56)＝eq \f(1,0.8).
解得x＝4.45.∴树高为4.45 m.
二、填空题
5．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m的位置上，则网球拍击球的高度h为__1.4__m.
【解析】 由题意得，DE∥BC，
∴△ABC∽△AED，∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(AE,AB)，即eq \f(0.8,h)＝eq \f(4,4＋3)，
解得h＝1.4 m．∴击球高度为1.4 m.
6．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为__18__cm.
【解析】 根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比进行解答．
7．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝__eq \f(21,20)__里．
8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M.若AB＝6，BC＝9，则AM的长为__eq \f(9,4)__.
【解析】 ∵C′是AB的中点，AB＝6，∴AC′＝BC′＝3，
∵四边形DCFE沿EF翻折至D′C′FE，
∴CF＝C′F，∠C＝∠MC′F，
∴BC＝BF＋FC＝BF＋FC′＝9，
∴FC′＝9－BF，
在Rt△BC′F中，根据勾股定理，得BF2＋BC′2＝FC′2，
即32＋BF2＝(9－BF)2，解得BF＝4，∴FC′＝5，
又∵∠BFC′＋∠BC′F＝90°，∠AC′M＋∠BC′F＝90°，
∴∠BFC′＝∠AC′M，
∵∠A＝∠B＝90°，∴△FC′B∽△C′MA，
∴eq \f(BF,AC′)＝eq \f(BC′,AM)，即eq \f(4,3)＝eq \f(3,AM)，∴AM＝eq \f(9,4).
三、解答题
9．如图，矩形ABCD为台球桌面．AD＝260 cm，AB＝130 cm.球目前在E点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点的位置．
(1)求证：△BEF∽△CDF；
(2)求CF的长．
解：(1)由题意，得∠EFG＝∠DFG，
∵∠EFG＋∠BFE＝90°，∠DFG＋∠CFD＝90°，
∴∠BFE＝∠CFD，∵∠B＝∠C＝90°，
∴△BEF∽△CDF；
(2)∵△BEF∽△CDF，∴eq \f(BE,CD)＝eq \f(BF,CF)，
∴eq \f(70,130)＝eq \f(260－CF,CF)，∴CF＝169.
10．如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1 km，AN＝1.8 km，AB＝54 m，BC＝45 m，AC＝30 m，求M，N两点之间的直线距离．
解：连结MN，
∵eq \f(AC,AM)＝eq \f(30,1 000)＝eq \f(3,100)，eq \f(AB,AN)＝eq \f(54,1 800)＝eq \f(3,100)，∴eq \f(AC,AM)＝eq \f(AB,AN)，
∵∠BAC＝∠NAM，∴△BAC∽△NAM，
∴eq \f(BC,MN)＝eq \f(3,100)，∴eq \f(45,MN)＝eq \f(3,100)，∴MN＝1 500.
答：M，N两点之间的直线距离为1 500 m.
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11．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m，求旗杆的高度．
【解析】 根据题意可得△DEF∽△DCA，进而利用相似三角形的性质得出AC的长，即可得出答案．
解：由题意可得△DEF∽△DCA，则eq \f(DE,DC)＝eq \f(EF,CA)，
∵DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，DG＝1.5 m，DC＝20 m，
∴eq \f(0.5,20)＝eq \f(0.25,AC)，解得AC＝10，故AB＝AC＋BC＝10＋1.5＝11.5(m)，
答：旗杆的高度为11.5 m.
12．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
(1)求证：AC2＝AB·AD；
(2)求证：CE∥AD；
(3)若AD＝4，AB＝6，求eq \f(AC,AF)的值．
解：(1)证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB.
又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AC,AB)，∴AC2＝AB·AD；
(2)证明：∵在Rt△ACB中，E为AB的中点，
∴CE＝eq \f(1,2)AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA.
又∵∠CAD＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，
∴CE∥AD；
(3)∵CE∥AD.
∴∠DAF＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF，
∴△AFD∽△CFE，∴eq \f(AD,CE)＝eq \f(AF,CF).
∵CE＝eq \f(1,2)AB，AB＝6，∴CE＝eq \f(1,2)×6＝3.
又∵AD＝4，由eq \f(AD,CE)＝eq \f(AF,CF)得eq \f(4,3)＝eq \f(AF,CF)，
∴eq \f(AF,AC)＝eq \f(4,7)，∴eq \f(AC,AF)＝eq \f(7,4).
13．(1)问题
如图①，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°.
求证：AD·BC＝AP·BP；
(2)探究
如图②，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由；
(3)应用
请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图③，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC＝∠A.设点P的运动时间为t(s)，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．
解：(1)证明：∵∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，
∴∠ADP＋∠APD＝90°，
∠BPC＋∠APD＝90°，
∴∠ADP＝∠BPC.
∴△ADP∽△BPC.
∴eq \f(AD,BP)＝eq \f(AP,BC).
∴AD·BC＝AP·BP；
(2)结论AD·BC＝AP·BP仍成立．
理由：∵∠BPD＝∠DPC＋∠BPC，
又∵∠BPD＝∠A＋∠ADP，
∴∠DPC＋∠BPC＝∠A＋∠ADP.
∵∠DPC＝∠A＝θ，
∴∠BPC＝∠ADP，
又∵∠A＝∠B＝θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴eq \f(AD,BP)＝eq \f(AP,BC)，
∴AD·BC＝AP·BP；
(3)如答图，过点D作DE⊥AB于点E.
∵AD＝BD＝5，AB＝6.
∴AE＝BE＝3.由勾股定理得DE＝4.
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切．
∴DC＝DE＝4.
∴BC＝5－4＝1，
又∵AD＝BD，
∴∠A＝∠B.
∵∠DPC＝∠A，
∴∠DPC＝∠A＝∠B.
由(1)，(2)的经验可知AD·BC＝AP·BP.
又AP＝t，BP＝6－t，
∴t(6－t)＝5×1.
解得t1＝1，t2＝5.
∴t的值为1 s或5 s.