考点16二次函数的图象和性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

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考点16二次函数的图象和性质【命题趋势】二次函数的图象及性质主要考查：1.二次函数的增减性、顶点坐标、与对称抽的交点坐标、对称轴、自变量的取值范围、图象与系数a、b、c的关系，命基础题2、二次函数的解析式的确定，命中档题。【常考知识】二次函数的增减性、顶点坐标、与对称抽的交点坐标、对称轴、自变量的取值范围、图象与系数a、b、c的关系；二次函数的解析式的确定。【夺分技巧】1、确定二次函数对称轴的方法：①当已知二次函数的解析式时，对称轴为直线x=;②已知顶点坐标（h、k）时、对称轴为直线x=h;③已知纵坐标相同的两点（x1,y）,(x2,y)时，对称轴为直线x=。2、平移的口诀记牢，且与坐标平移有区别：左加、右减、上加、下减。3、比较两个二次函数的大小的大小：①直接代入自变量求值；②当自变量在对称轴同侧时，根据函数值随自变量的变化趋势判断；③当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及抛物线的开口方向，当a>0时，自变量越靠近对称轴的对应函数值越小；当a＜0时，自变量越靠近对称轴的对应函数值越大。真题演练 一、单选题1．（2021·广东·广州市第三中学三模）若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)在二次函数y=（x-2）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（    ）A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3【答案】B【分析】由已知确定函数的对称轴为x=2，然后根据A、B、C三点到对称轴的距离即可判断．【详解】解：y=（x-2）2+3的开口向上，对称轴为直线x=2，∵A（-1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在二次函数y=（x-2）2+3的图象上，且B在对称轴上，A到对称轴的距离最远，∴y2＜y3＜y1，故选：B．2．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）把抛物线：先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线．若点，都在抛物线上，且，则，的大小（   ）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律求得抛物线，根据二次函数的性质可以求得与的大小．【详解】解：∵，∴把抛物线：先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线：，即，∴抛物线的函数关系式为：，∴抛物线的开口向上，对称轴为：直线，∴当时，随的增大而减小，∵点，都在抛物线上，且，∴，故选：A．3．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（    ）A． B．点A的坐标为C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线【答案】D【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确∵∴A点坐标为（-3，0），故B错误；由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误；故选D．4．（2021·全国·九年级课时练习）已知抛物线（）过，两点，则下列关系式一定正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵抛物线关于轴对称点的坐标为．又．故选：C．5．（2021·全国·九年级单元测试）下列函数中，①；②；③；④．函数图像经过第四象限的有（  ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】结合函数的图象与性质逐个分析即可；【详解】①是一次函数，经过一三象限，不符合题意；②是一次函数，经过一二四象限，符合题意；③是反比例函数，经过二四象限，符合题意；④二次函数，经过一二三象限，不符合题意； 函数图像经过第四象限的有2个；故选B．6．（2021·广东·九年级专题练习）抛物线y=（x＋2）2＋1的对称轴是（   ）A．直线x＝－1 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝－2【答案】D【分析】直接利用顶点式的特殊性可求对称轴．【详解】∵抛物线y=（x＋2）2＋1的顶点坐标是：（-2，1），∴对称轴是：直线x=-2，故选D．7．（2021·上海普陀·一模）在下列对抛物线的描述中，正确的是（    ）A．开口向上 B．顶点在轴上C．对称轴是直线 D．与轴的交点是【答案】B【分析】根据函数y=a（x-h）2的性质逐项排查即可．【详解】解：∵∴该抛物线开口方向向下，顶点坐标（1，0），顶点在x轴上，对称轴为直线x=1，与y轴交点为（0，-1），所以A、C、D选项错误，B选项正确，故选B．8．（2021·全国·九年级课时练习）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：  ①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（　　）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【分析】直接由判断①；把A点坐标代入抛物线y1=a（x+2）2-3求出a值判断②；由x=0求得y2，y1作差后判断③；由二次函数的对称性求出B，C的坐标，进一步验证2AB=3AC判断④．【详解】解：对于①，，∴无论x取何值，y2的值总是正数正确；对于②，∵抛物线y1=a（x+2）2-3过点A（1，3），则3=a（1+2）2-3，解得，②错误；对于③，，当x=0时，，③错误；对于④，∵抛物线y1=a（x+2）2-3与交于点A（1，3），∴可求得B（-5，3），C（5，3），求得AB=6，AC=4，则2AB=3AC，④正确．故选D．9．（2021·福建省福州铜盘中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，设函数的图像与x轴有M个交点，函数的图像与x轴有N个交点，则（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】先根据函数的图像与x轴有M个交点解得，再对a，b分情况讨论，求得答案.【详解】对于函数，当时，函数与x轴两交点为（－a，0）、（－b，0），∵，所以有2个交点，故对于函数①，交点为，此时②，交点为，此时③，交点为，此时综上所述，或 故选C.10．（2021·广东徐闻·九年级阶段练习）关于二次函数y＝（x－1）2+2，下列说法正确的是（     ）A．图像与y轴的交点坐标为（0，2） B．图像的对称轴在y轴的左侧C．y的最大值为2 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大【答案】D【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．【详解】A. 当x=0，y=3，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，3），故此选项错误；B. 二次函数y＝（x－1）2+2图象的对称轴为x=1，在y轴的右侧，故此选项错误；C.∵图象的开口向上，函数有最小值为2，故此选项错误；D. ∵图象的开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，故此选项正确.故选D. 二、填空题11．（2021·安徽·九年级阶段练习）对于二次函数，图象的对称轴为____________，当自变量x满足时，函数值y的取值范围为，则a的取值范围为________．【答案】直线        【分析】根据二次函数对称轴公式代入，可得到对称轴；利用配方法求出顶点坐标，令，可得到点A，B的坐标分别为，画出图形，观察图形，即可求解．【详解】解：∵二次函数，∴对称轴为直线；∵，∴当 时，函数有最小值，最小值为 ，当 时，有，解得： ，∴如图所示，点A，B的坐标分别为，∴当时， ，∵时，函数值y的取值范围为，从图象中可得到时，．故答案为：直线；．12．（2021·全国·九年级专题练习）抛物线的顶点的横坐标为______．【答案】0【分析】由抛物线顶点坐标公式即可求得．【详解】∵抛物线，∴，故答案为：0．13．（2021·广西贵港·二模）下列关于二次函数（为常数）的结论：①该函数的图象与函数的图象的对称轴相同；②该函数的图象的顶点在函数的图象上；③该函数的图象与轴有交点时，；④点与点在该函数的图象上．若，，则．其中正确的结论是______________（填写序号）．【答案】①②④【分析】利用二次函数的性质判断即可．【详解】解：①∵二次函数的对称轴为直线，二次函数的对称轴为直线，故结论①正确②∵，∴顶点为，∴该函数的图象的顶点在函数的图象上，故结论②正确．③∵函数的图象与轴有交点，则，∴或，故结论③错误．④∵，∴∵二次函数的对称轴为直线，∴点离对称轴的距离大于点离对称轴的距离．∵，且，∴，故结论④正确．故答案为①②④．14．（2021·北京市师达中学九年级阶段练习）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式_______．【答案】y=x2-1．【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标为（0，-1），然后写出一个满足题意的二次函数即可．【详解】解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x=0时，y的最小值为-1，
∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，-1），抛物线开口向上，
故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y=x2-1．
故答案为：y=x2-1．15．（2021·山东牟平·一模）小飞研究二次函数（为常数）性质时，有如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线上；②存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点与点在函数图象上，当，，则；④当时，随的增大而增大，则的取值范围为．其中正确结论的序号是______．【答案】①②④【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对个结论作出判断即可．【详解】二次函数（为常数）①∵顶点坐标为且当时，∴这个函数图象的顶点始终在直线上故结论①正确；②假设存在一个的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形,令，得，其中解得：，∵顶点坐标为，且顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形∴∴或∴存在或，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形故结论②正确；③∵∴ ∵二次函数（为常数）的对称轴为直线∴点离对称轴的距离小于点离对称轴的距离∵，且∴  故结论③错误；④当时，随的增大而增大，且∴的取值范围为故结论④正确．故答案是：①②④16．（2021·广东·东莞市东莞中学初中部一模）把抛物线向左平移2个单位，则平移后所得抛物线的解析式为_____．【答案】或；【分析】根据题意直接根据“左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2或，
故答案为或．17．（2021·新疆巴音郭楞·一模）平面直角坐标系xOy中，若抛物线y=ax2上的两点A、B满足OA=OB，且tan∠OAB=，则称线段AB为该抛物线的通径．那么抛物线y=x2的通径长为______．【答案】2【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以求得通径的长．【详解】设点A的坐标为（−2a，a），点A在x轴的负半轴，则a＝×(−2a)2，解得，a＝0（舍去）或a＝，∴点A的横坐标是−1，点B的横坐标是1，∴AB＝1−（−1）＝2，故答案为2．18．（2021·福建龙岩·一模）函数的最小值是_____．【答案】【分析】先将已知式子调整成两点间的距离公式形式，然后就可以看出y表示的就是两条线段之和，根据“两点之间线段最短”即可求解．【详解】解：如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，作直线AC∥y轴，作BC∥x轴交于点C，则点C坐标为，在Rt△ABC中，，此公式表示已知平面直角坐标系两点坐标，即可求出这两点的距离．∵， ∴y表示的几何含义为抛物线y＝x2上的一点P（x，x2）到点A（2，1）和点B（0，2）的距离之和，即y＝AP+PB≥AB，如图，∴当且仅当A、P、B三点共线时，y取得最小值=．故答案为：．19．（2021·黑龙江集贤·九年级期中）在﹣2，0，1，2这四个数中任取两数m，n，则二次函数y＝（x﹣m）2＋n的顶点在坐标轴上的概率为__．【答案】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，根据二次函数的性质确定顶点在坐标轴上的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中二次函数y＝（x﹣m）2＋n的顶点在坐标轴上的结果数为6，所以二次函数y＝（x﹣m）2＋n的顶点在坐标轴上的概率==，故答案为：．20．（2021·上海浦东新·一模）如果(2，)、(3，)是抛物线上两点，那么______．（填“>”或“<”）【答案】＜【分析】根据自变量的值先求解二次函数值，再比较大小即可得到答案．【详解】解：当时， 当时， ＞，故答案为：＜．