考点25多边形与平行四边形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

考点25多边形与平行四边形

【命题趋势】

多边形及其性质的考查内容与：1.多边形的内角和与外角和，正多边形每个内角、外角的计算。2.平行四边形的性质及判定考查形式有：①利用全等性质考查平行四边形的判定；根据平行四边形的性质求线段长度、面积及角度；③在压轴题中涉及四边形为平行四边形时满足的条件。一般命基础题、中档题。

【常考知识】

1.多边形的内角和与外角和，正多边形每个内角、外角的计算。2.平行四边形的性质及判定考查形式有：①利用全等性质考查平行四边形的判定；根据平行四边形的性质求线段长度、面积及角度；③在压轴题中涉及四边形为平行四边形时满足的条件。

【夺分技巧】

①常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形问题。

②有平行线时，常作平行线构造平行四边形。

③有中线时，常作加倍中线构造平行四边形。

真题演练

一、单选题

1．（2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测）如图，在中，，对角线，则面积的最大值为（    ）

A．25 B．20 C．15 D．12

【答案】D

【分析】

作DE⊥AB，根据平行四边形面积公式即可求出面积的最大值．

【详解】

如图，作DE⊥AB，

∵S四边形ABCD=AB×DE，

故当BD与DE重合时，面积最大，为4×3=12

故选D．

2．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）下列四边形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(   )

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

【答案】A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

【详解】

A、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；

B、矩形是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；

C、菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；

D、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意．

故选A．

3．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　　）

A．OB＝OD B．AB＝BC C．AC⊥BD D．∠ABD＝∠CBD

【答案】A

【分析】

根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．

【详解】

解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定互相垂直，C错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，D错误，不符合题意．
故选：A．

4．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）观察下图，判断哪条线段的长度不能表示平行四边形ABCD的高．（    ）

A．BF B．BD C．GH D．DE

【答案】B

【分析】

根据平行四边形高的定义，作出判断即可．

【详解】

∵DE⊥BC，BF⊥CD，

∴线段DE,BF是平行四边形ABCD的高，

又∵AD∥BC，GH⊥BC，

∴GH=DE，

∴GH也是平行四边形ABCD的高，

在Rt中，BD为斜边，

∴BD与AD,CD都不垂直，

∴BD不是平行四边形ABCD的高，

故选：B．

5．（2021·河南·一模）如图，在▱ABCD中，AB＝2，点E为AD的中点，按以下步骤作图：①以点E为圆心，EA长为半径作弧，交AB于点F；②再分别以点A和点F为圆心，大于AF的长为半径作弧，两弧相交于点M；③作直线EM交AB于点N，连接CE．若∠ADC＝135°，DE＝2，则CE的长为（  ）

A．2 B．4 C．2 D．

【答案】A

【分析】

由题意得，MN⊥AB，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD＝2，延长CD交MN于G，根据等腰直角三角形的性质得到DG＝EG＝DE＝，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】

解：延长CD交MN于G，

由题意得，MN⊥AB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD＝2，

∴MN⊥CG，

∴∠CGN＝90°，

∵∠CDA＝135°，

∴∠EDG＝45°，

∴△DEG是等腰直角三角形，

∴DG＝EG，

由勾股定理得DG2＋EG2＝DE2，

∴DG＝EG＝DE＝，

∴CG＝CD+DG＝3，

∴CE＝．

故选：A．

6．（2021·云南西山·八年级期中）若一个正多边形的各个内角都是140°，则这个正多边形是（　　）

A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形

【答案】C

【分析】

根据多边形的内角和公式，可得答案．

【详解】

解：设多边形为n边形，由题意，得

（n-2）•180=140n，

解得n=9，

故选：C．

7．（2021·重庆·字水中学一模）一个多边形的每个外角都是36° ，则该多边形的内角和为（　　 ）

A．900° B．1800° C．1440° D．1080°

【答案】C

【分析】

利用外角和除以外角的度数可得正多边形的边数，再利用内角和公式可得正多边形的内角和．

【详解】

解：多边形的边数：360÷36=10，

内角和：180°×（10-2）=1440°，

故选：C．

8．（2021·湖北洪山·八年级期中）如图，的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据四边形的内角和及三角形的外角定理即可求解．

【详解】

解：如图，、与分别相交于点、，

在四边形中，，

，，

，

故选：A．

9．（2021·广东·东莞市沙田实验中学八年级期中）如图，小明从点出发，沿直线前进8米后向左转，再沿直线前进8米，又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发点时，走过的总路程为（    ）

A．48米 B．80米 C．96米 D．无限长

【答案】A

【分析】

根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以8米即可．

【详解】

小明每次都是沿直线前景8米后向左转60度，

他走过的图形是正多边形，

边数，

他第一次回到出发点时，一共走了（米）．

故选：A

10．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）如图，五边形ABCDE中，，，、、分别是、、的外角，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

延长AB与CD，根据平角定义可求∠4与∠5，再根据多边形外角和可求解．

【详解】

解：延长AB和DC，得∠4与∠5，

∴∠4=180°-∠B，

∠5=180°-∠C，

∴∠4+∠5=360°-（∠B+∠C）=170°，

根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，

∴∠1+∠2+∠3=360°-（∠4+∠5）=360°-170°=190°．

故选：B．

二、填空题

11．（2021·广东东莞·八年级期中）某个正多边形有一个外角是36°，则这个正多边形是 ___边形．

【答案】10

【分析】

根据正多边形的外角和为360°，且正多边形的每一个外角都相等，用360°除以36°即可求得．

【详解】

某个正多边形有一个外角是36°，

则这个正多边形是正10边形

故答案为：10

12．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是__．

【答案】120°

【分析】

多边形的内角和可以表示成(n﹣2)•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，可设这个正六边形的每一个内角的度数为x，故又可表示成6x，列方程可求解．

【详解】

解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，

则6x＝(6﹣2)•180°，

解得x＝120°．

故答案为：120°．

13．（2021·福建·漳州市普通教育教学研究室七年级期末）一个n边形的各内角都等于，则边数n是_______．

【答案】6

【分析】

首先求出外角度数，再用360°除以外角度数可得答案．

【详解】

解：∵n边形的各内角都等于120°，

∴每一个外角都等于180°-120°=60°，

∴边数n=360°÷60°=6．

故答案为：6．

14．（2021·陕西·交大附中分校一模）如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDFH，使点F，H在其内部，连接FE，则∠DFE＝_____．

【答案】81°

【分析】

根据正多边形的性质以及内角和求解即可．

【详解】

由正多边形的内角和公式可得：

正五边形ABCDE的内角和为，

∴，

∵四边形CDFH是以CD为边的正方形，

∴，，

∴为等腰三角形，

∴，

故答案为：81°．

15．（2021·全国·九年级课时练习）如图，矩形的对角线、相交于点，，且，，连接，则______．

【答案】

【分析】

过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，连接OE交BC于点G，根据，，可得四边形BOCE是平行四边形，从而四边形BOCE是菱形，则有OE与BC互相垂直平分，易得OE=AB=2x，CF=GE=OE=x，再由锐角三角函数定义，即可求解．

【详解】

解：如图，过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，连接OE交BC于点G，

∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB:BC=2：1，

∴BC=AD，OB=OC，∠BCF=90°，

可设BC=x，则AB=2x，

∵，，

∴四边形BOCE是平行四边形，

∵OB=OC，

∴四边形BOCE是菱形，

∴OE与BC互相垂直平分，

∴EF=CG= AD=x，OE∥AB，∠BCF=∠CGE=∠F=90°，

∴四边形CGEF是矩形，

∴CF=GE=OE，

∴四边形AOEB是平行四边形，

∴OE=AB=2x，

∴CF=GE=OE=x，

∴．

故答案为： ．

16．（2021·北京市古城中学九年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，：＝___．

【答案】1

【分析】

利用平行四边形的性质证明△AOE∽△COB，利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥BC，AD=BC，

∴△AOE∽△COB，

∴：=，

∵AE：ED＝1：2，

∴AE：AD＝1：3，

∴AE：BC＝1：3，

∴：==1：9，

故答案为：1：9．

17．（2021·福建·厦门市湖滨中学二模）在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点，的坐标分别为、，点在轴上且，则点的坐标为______．

【答案】（4，0）

【分析】

依据题意画出图形，过点B作BD⊥x轴于点D，根据平行四边形的对边平行可得 ，在 中，由 ，可求出AD，即可求解．

【详解】

解：依据题意画出图形，过点B作BD⊥x轴于点D，

∵B，

∴OD=5， ，

∵四边形OABC为平行四边形，

∴AB∥OC，

∵，

∴ ，

在 中， ，

∴ ，解得：AD=1，

∴OA=OD-AD=5-1=4，

∴点A（4，0）．

故答案为：（4，0）．

三、解答题

18．（2021·全国·八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．

（1）求证：△ABE≌△DCE；

（2）当∠A＝80°，∠ABC＝140°时，求∠AED的度数．

【答案】（1）见解析；（2）100°

【分析】

（1）由角平分线的定义得出∠ABE=∠CBE，∠BCE=∠DCE，可证明△ABE≌△DCE（SAS）；

（2）由全等三角形的性质得出∠A=∠D=80°，根据五边形的内角和可求出答案．

【详解】

解：（1）证明：∵BE，CE分别是∠ABC，∠BCD的角平分线．

∴∠ABE=∠CBE，∠BCE=∠DCE，

∵∠ABC=∠BCD，

∴∠ABE=∠DCE，∠EBC=∠ECB，

∴BE=CE，

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（SAS）；

（2）解：∵△ABE≌△DCE，

∴∠A=∠D=80°，

∵∠ABC=140°，

∴∠ABC=∠BCD=140°，

∵五边形ABCDE的内角和是540°，

∴∠AED=540°-∠A-∠D-∠ABC-∠BCD=540°-80°-80°-140°-140°=100°．

19．（2021·四川·达州中学九年级期中）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）当AB=AC时，四边形EGCF是矩形，理由见解析

【分析】

（1）如图，根据题意由平行四边形的性质得出，AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，由平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，点E，F分别为OB，OD的中点证出BE=DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；

（2）当AB=AC时，四边形EGCF是矩形，由题意证出AB=OA，并由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG=90°，由△ABE≌△CDF得，AE=CF，∠AEB=∠CFD，可推出EG∥CF，由EG＝AE得出EG=CF，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．

【详解】

（1）

如图，四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，

∴∠ABE=∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点，

∴BE=OB，DF=OD，

∴BE=DF，

在△ABE和△CDF中，，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）当AB=AC时，四边形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC=2OA，AC=2AB，

∴AB=OA，

∵E是OB的中点，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG=90°，

由（1）得：△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，∠AEB=∠CFD=90°，

∴∠DEG=∠CFD=90°，

∴EG∥CF，

∵EG=AE，

∴EG=CF，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∵∠OEG=90°，

∴四边形EGCF是矩形．

20．（2021·全国·九年级专题练习）如图①，已知点A（-2，0），B（0，-4），平行四边形ABCD的AD与y轴交于点E，且E为AD的中点，反比例函数的图象经过C、D两点．

（1）求反比例函数解析式；

（2）如图②，延长DC，交x轴与点F，连接OC，在反比例函数的图象是否存在点P，使得S△PCE=S△OCF？若存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）存在，，

【分析】

（1）由题意可先确定D点的横坐标，然后设D点的坐标，根据平行四边形四点的相对位置关系得出C点的坐标，从而根据C、D两点均在双曲线上，可求出参数的值，进而得出结论；

（2）由（1）的结论确定出E点坐标，以及直线CD的解析式，从而确定F点的坐标，即可求出S△OCF，再根据S△PCE=S△OCF确定△PCE的高，然后根据不同象限进行分类讨论即可．

【详解】

（1）∵A（-2,0），E是AD的中点，

∴xD=2，

设D（2，t），

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴C（4，t-4），

∵反比例函数的图象经过C、D两点，

∴2t=4t-16，

∴t=8，

∴D（2，8）；

∵点D在反比例函数的图象上，

∴k=xy=16，

∴反比例函数解析式为；

（2）∵A（-2,0），D（2,8），E为AD中点，

∴E（0,4），

由（1）知C（4，4），

∴EC=4，

设直线DC的函数解析式为，

将C（4，4），D（2，8）代入得：

，解得，

∴直线DC解析式为，

当y=0时，x=6，

∴F（6，0），

∴S△OCF=×6×4=12，

过P作PM⊥CE，

∵S△PCE=S△OCF=12，

∴PM=6，

①当P在第一象限中，

yP=4+6=10，代入，

得，

∴；

②当P在第三象限中，

yP=4-6=-2，代入，

得，

∴；

综上所述：点P的坐标为或．