考点28点和圆、直线和圆的位置关系（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

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考点28点和圆、直线和圆的位置关系
【命题趋势】
点和圆、直线和圆的位置关系主要考查：切线的性质和判定。在选择题、填空题中常运用切线的性质进行相关的计算，涉及求角度或线段长；在解答题中常结合相似三角形，锐角三角函数、全等三角形的性质求线段、角度或判定四边形的形状。常命中档题。
【常考知识】
切线的性质和判定。在选择题、填空题中常运用切线的性质进行相关的计算，涉及求角度或线段长；在解答题中常结合相似三角形，锐角三角函数、全等三角形的性质求线段、角度或判定四边形的形状。
【夺分技巧】
1、判断直线与圆相切时：（1）直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；（2）直线与圆的公共点未知时，过圆心作2直线的垂线，证垂线段等于半径。
2、利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决。
3直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a、b是直角三角形ABC的两条直角边，c为斜边，则:(1) 直角三角形的外接圆半径R=C2 ;(2) 直角三角形的内切圆半径r=a+b−c2 .
真题演练

一、单选题
1．（2021·河南周口·二模）引理：在中，若为的中点，则．（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形中，，，点在以为直径的半圆上运动，则的最小值是（ ）

A． B．38 C．40 D．68
【答案】C
【分析】
如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，根据矩形的性质可得CD=AB=OE，AD=BC，根据中线长公式可得=2PE2+2AE2，可得PE最短时取最小值，根据线段的和差关系可求出PE的长，即可得答案．
【详解】
如图，设AD中点为E，半圆圆心为O，连接OE，交半圆于P，此时PE取最小值，
∵四边形ABCD是矩形，，，
∴AE=DE=4，OB=OC=OP=4，
∴CD=AB=OE=6，AD=BC=8，
∴PE=2，
∵点E为AD中点，
∴=2PE2+2AE2，
∴的最小值为2PE2+2AE2=2×22+2×42=40，

故选：C．
2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】D
【分析】
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】
解：∵⊙O的半径为2cm，线段OA=3cm，线段OB=2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
3．（2021·江苏灌云·九年级阶段练习）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点与⊙O的位置关系是（　　）
A．点在⊙O内 B．点在⊙O上 C．点在⊙O外 D．无法确定
【答案】A
【分析】
本题根据题意可作图可知，即可判定点与的位置关系.
【详解】
解：由题意可作图，如下图所示：

∵，
∴点在内.
故A正确，B、C、D错误，
故选：A.
4．（2021·河北路北·二模）如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点，分别是边和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的和是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1-OQ1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，由此即可求解．
【详解】
解：如解图，设与相切于点，连接，则，

作垂足为点，交于点，此时垂线段最短，
当O、Q1、P1三点不共线时，构成△OQP1，
由三角形两边之差小于第三边可知，当O、Q1、P1三点不共线时，
PQ有最小值为，且，
∵，，，
∴，
∴，
∴，，
∵O为斜边AB上的中点，
∴OP1和OE均为△ABC的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为，
当在边上，与重合时，最大值为，
∴长的最大值与最小值的和是9，
故选：D．
5．（2021·浙江乐清·一模）如图，⊙O的半径为2，弦AB平移得到CD（AB与CD位于点O两侧），且CD与⊙O相切于点E．若的度数为120°，则AD的长为（ ）

A．4 B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】
连接OE，OE的反向延长线交AB于F，连接OA，OB，BD，由切线的性质得EF⊥CD，则EF⊥AB，得AF＝BF，求出OF＝OA＝1，则EF＝3，再由勾股定理得AF＝，则AB＝2，求出BD＝EF＝3，再由勾股定理求出AD即可．
【详解】
解：∵的度数为120°，
∴∠AOB＝120°，
连接OE，OE的反向延长线交AB于F，连接OA，OB，如图，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴EF⊥CD，
由平移的性质得：CD∥AB，CD＝AB，
∴EF⊥AB，
∵OA＝OB，
∴∠AOF＝∠BOF＝∠AOB＝60°，AF＝BF＝AB＝DE，
∴∠OAF＝30°，四边形BDEF是矩形，
∴OF＝OA＝×2＝1，BD＝EF，
∴EF＝2+1＝3，
∴BD＝3，
在Rt△AOF中，OA＝2，OF＝1，
∴AF＝，
∴AB＝2，
∴AD＝，
故选：C．

6．（2021·江苏锡山·一模）如图，的圆心的坐标为，半径为1，直线的表达式为，是直线上的动点，是上的动点，则的最小值是（　　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出点到直线的距离即可求得的最小值．
【详解】
解：过点作直线，交圆于点，此时的值最小，连接、，作于，于，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，
设，，则，
∵，，
∴，，
解得：，
∵的半径为1，
∴，
故选：A．

7．（2021·全国·九年级专题练习）已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（　　）．
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
【答案】A
【分析】
结合题意，根据圆与圆位置关系的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，
∴AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．
故选：A．
8．（2021·全国·九年级专题练习）已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（　　）
A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5
【答案】D
【分析】
求得⊙B在⊙O内部且有唯一公共点时⊙B的半径和⊙O在⊙B内部且有唯一公共点时⊙B的半径，根据图形即可求得．
【详解】
解：如图，当⊙B在⊙O内部且有唯一公共点时，⊙B的半径为：3-2=1，
当⊙O在⊙B内部且有唯一公共点时，⊙B的半径为3+2＝5，
∴如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是1≤r≤5，
故答案为：D．

9．（2021·全国·九年级专题练习）对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【答案】A
【分析】
根据圆与圆的位置关系判断即可．
【详解】
解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；
②如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题；
故选：A．
10．（2021·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，点P在边上，的半径为3，的半径为2，如果和相交，那么线段长的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图，当⊙P第一次与⊙C相切时，根据两圆外切的性质，确定=5，过点C作CO⊥AB，垂足为点O，根据等腰直角三角形的性质，得到CO=4，运用勾股定理计算,从而得到AP的最小值；根据等腰直角三角形的对称性，确定，从而确定AP的最大值，答案自然得出．
【详解】
如图，当⊙P第一次与⊙C外切时，根据两圆外切的性质，
∴=5，
过点C作CO⊥AB，垂足为点O，
∵，，，
∴CO=OA=OB=4，
在直角三角形O中，
，
∴AP的最小值为OA-=1；根据等腰直角三角形的对称性，
∴，
∴AP的最大值为OA+，
∴线段长的取值范围是,
故选C．



二、填空题
11．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测）已知，，，，则的最大值为 __．
【答案】
【分析】
作△ABC的外接圆⊙O，取优弧BC中点为D，由，可确定点A在上运动，由AC是弦，当为直径时，最大，当AC最大时，可得，在Rt△ABC中，即可求解
【详解】
解：作△ABC的外接圆⊙O，取优弧BC中点为D，
∵
∴∠B所对的弧＞∠C所对的弧，
∴点A在上运动
∵AC是弦，当为直径时，最大，
∴当AC最大时，
在Rt△ABC中，
，，
，
，
，
故答案为：．
12．（2021·全国·九年级单元测试）如图，AB为圆O的切线，点A为切点，OB交圆O于点C，点D在圆O上，连接AD、CD、OA，若∠ADC=25°，则∠B的度数为____．

【答案】40°
【分析】
根据圆周角和圆心角的关系，可以得到∠AOC的度数，然后根据AB为⊙O的切线和直角三角形的两个锐角互余，即可求得∠B的度数．
【详解】
解：∵∠ADC=25°，
∴∠AOC=50°，
∵AB为⊙O的切线，点A为切点，
∴∠OAB=90°，
∴∠B=90°-∠AOC=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
13．（2021·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上，，则的长为__________．


【答案】
【分析】
先找到的圆心O，得到∠BOC=45°，利用弧长公式即可求解．
【详解】
解：连接AD，作线段AB、AD的垂直平分线，交点即为的圆心O，
从图中可得：的半径为OB=5，
连接OC，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠BOC=222.5°=45°，
的长为．
．
故答案为：
14．（2021·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室二模）如图，⊙O的半径OA=3，点B是⊙O上的动点（不与点A重合），过点B作⊙O的切线BC，且BC=OA，连接OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____________．

【答案】或
【分析】
情况一：当时，连接OB，根据切线的性质得到，根据勾股定理得到；情况二：时是等腰直角三角形，．
【详解】
解：连接OB
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
∵BC=OA=3，
∴OB=BC=3，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵当是直角三角形时，
①时，

∵OB=BC=2，是等腰直角三角形，
∴OC=，
∵
∴；
②当是直角三角形时，，连接OB，

∵BC是⊙O的切线，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：或
15．（2021·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，为半径作圆．若该圆与线段只有一个交点，则的取值范围为___．

【答案】或
【分析】
先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案．
【详解】
解：过C作CD⊥AB于D，

在Rt△BCA中，
∵∠ACB=90°，AC=2，∠B=30°，
∴AB=4，
∴，
根据三角形的面积公式得：AB•CD=AC•BC，
∴，
当圆与时AB相切时，r=，
当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2，
综上所述：r的取值范围是r=或2＜r≤2，
故答案为：r=或2＜r≤2．
16．（2021·上海普陀·二模）已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，以A为圆心2为半径长作⊙A，以B为圆心BC为半径作⊙B，如果⊙A与⊙B内切，那么△ABC的面积等于_____．
【答案】3
【分析】
根据两圆内切的性质求出AB，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵⊙A的半径为2，⊙B的半径为6，⊙A与⊙B内切，
∴AB＝6﹣2＝4，
过点A作AD⊥BC于D，
则BD＝BC＝3，

由勾股定理得，AD＝＝＝ ，
∴△ABC的面积＝，
故答案为：3．
17．（2021·上海浦东新·二模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．分别以点A、C为圆心画圆，如果点B在⊙A上，⊙C与⊙A相交，且点A在⊙C外，那么⊙C的半径长r的取值范围是______．
【答案】4＜r＜10
【分析】
根据勾股定理求出斜边AC，根据点和圆的位置关系求出⊙A的半径，再求出⊙C的半径即可．
【详解】
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，由勾股定理得：AC==10，
∵点B在⊙A上，
∴⊙A的半径是6，
设⊙A交AC于D，则AD=6，CD=10-6=4，
∵点A在⊙C外，
∴⊙C的半径小于10，
即r的取值范围是4＜r＜10，
故答案为4＜r＜10．

三、解答题
18．（2021·福建泉州·模拟预测）如图1，在直角坐标系中，直线与、轴分别交于点、两点，的角平分线交轴于点．点为直线上一点，以为直径的经过点，且与轴交于另一点．

（1）求证：轴是的切线；
（2）请求的半径，并直接写出点的坐标；
（3）如图2，若点为上的一点，连接，且满足，请求出的长？
【答案】（1）见解析；（2）；的坐标为（1，4）；（3）．
【分析】
（1）要证明轴是的切线，只需要连接后证明即可．
（2）由（1）可知，则，设半径为后，利用对应边的比相等列方程即可求出半径的值，再证明，由此可求得点C的坐标．
（3）由于，所以可以连接、构造直角三角形．再过点作，然后利用勾股定理即可求出的长度．
【详解】
（1）证明：如图，连接，

的角平分线交轴于点，
，
，
，
，
，
，
为半径，
轴是的切线；
（2）解：，，
，，
在中，由勾股定理可得：，
设半径，则，
，
，
，
，
，
，
∴，
如图，过点C作CM⊥y轴于点M，则，

∴，
，
，
解得：，，
∴，
的坐标为；
（3）解：如图，过点作于，连接、，

是直径，
，，
，
，
在中，由勾股定理可知：，
∴，
∴（舍负），
∴，
设，则，
∵，
∴，
，
，
，
，
∵在中，由勾股定理可知：，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
∵，，
∴，
∴，
∵在中，由勾股定理可得：，
∴，
∴（舍负），
∴，
在中，由勾股定理可知：，
．
19．（2021·山东·青岛大学附属中学二模）已知：和线段，

求作：，使它与的两边相切，半径等于线段．
【答案】见解析
【分析】
根据与的两边相切，半径等于线段，利用角平分线的尺规作图及圆心到射线OB的距离为a，确定圆心P，进而做出半径为a的圆，与的两边相切
【详解】
解：1.作的平分线OE；
2.在上任取一点 过作 垂足为 在上截取 过作交角平分线与
3.以P为圆心，线段a的长为半径画圆弧，圆P即为所求．

20．（2021·北京·101中学三模）已知：如图，点A，C，D在⊙O上，且满足∠C＝45°，连接OD，AD．过点A作直线AB∥OD，交CD的延长线于点B．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如果OD＝CD＝2，求AB的长．

【答案】（1）见解析；（2）2+．
【分析】
（1）连接OA，根据圆周角定理可得∠DOA＝90°，进而可以证明结论；
（2）过点D作DM⊥AM于点M，根据∠C＝45°．可得三角形MAD是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质可得AB的长．
【详解】
（1）证明：如图，连接OA，

∵∠C＝45°，
∴∠DOA＝90°，
∴AO⊥OD，
∵ABOD，
∴OA⊥AB，
∵OA是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OC，

∵OD＝CD＝2，
∴△OCD为等边三角形，


∴，
过点D作DM⊥AB交AB于点M，


△DAM为等腰直角三角形，
∵DA＝2，
∴AM＝2，DM＝2，MB＝，
∴AB＝2+．
21．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）在平面直角坐标系中，如图所示，，．点P从点O出发在线段上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点B出发在线段上以每秒2个单位的速度向点C运动．其中一个点到达终点时，停止运动,连接．
（1）如图1，连接交于点D，则点D的坐标为________；
（2）如图2，过A作于点H，求的最小值；
（3）如图3，在上取一点M，使得，那么点M的纵坐标是否存在最大值，若存在，求出此时的长；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1
【分析】
（1）有P，Q的运动速度，设时间为t，表示出Q，P的坐标，再求出直线PQ的解析式，直线OB的解析式，联立即可求出点D的坐标；
（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，连接OM，先说明点H在上运动，再由图形得出，三点共线时，OH取得最小值，用勾股定理，即可得出答案；
（3）连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，说明点M在上，连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于于点，可得出即，再求出直线的解析式，求出与x轴的交点即为OP的长．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA∥BC，
∵，
∴，
∴点C的坐标为，
∵点P从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，点Q从点B出发以每秒2个单位的速度向点C运动，
∴设时间为m，则，
∴，
设直线PQ的解析式为，
代入解得，

设直线OB的解析式为，
代入点B的坐标，求得，
联立 ，
解得，
故点D的坐标为 ，
故答案为；

（2）连接OB与PQ交于点D，由（1）得，点D（3,2），
连接DA，取DA的中点M，以M为圆心，以DM的长为半径作圆，
∵点D（3,2），点，
∴点M的坐标为，，
∴，
∵，
∴点H在上运动，

连接HM，
由图可知，
，
当三点共线时，取得最小值，
即，
故OH的最小值为；

（3）存在，理由如下，
连接OB，交PQ于点D，以AD为斜边，作等腰直角，以点N为圆心，以2为半径作，则在圆上，与轴相切，
∵，
∴点M在上，
∵与轴相切，在上，
∴
连接MN，过点M作 于点T，连接AN交于于点，
∴
∴
∴，
连接交x轴于点,交于BC与点，
设直线的解析式为,
代入点，，
解得直线的解析式为，
∴当时，,
∴存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1．