考点02实数的运算及大小比较（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北师大版）

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考点02实数的运算及大小比较 【命题趋势】实数的运算及其大小比较是一个必考内容出现，一直是中考的一个热点。主要考简单的选择题、填空题、简答题，此部分内容较为简单。选择题、填空题考查实数的大小比较，而实数的运算常以填空题和简答题的形式考查。往往涉及绝对值、负整数指数幂、零指数幂、-1的奇偶次幂、根式的运算、特殊角的三角函数值等。通常考基础题。【常考知识】绝对值、负整数指数幂、零指数幂、-1的奇偶次幂、根式的运算、特殊角的三角函数值。【夺分技巧】①实数的混合运算步骤.②特别注意每个小单元的运算符号和运算性质.③根据互为相反数在数轴上表示的点关于原点对称在数轴上标出相应位置.④数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大.⑤利用负数、0、正数之间的大小关系判断.⑥几个非负数的和为零，则这几个非负数都为零，据此可列方程组，求出之母的值.真题演练一、单选题1．（2021·河南卫辉·八年级期中）定义：形如的数称为复数（其中和为实数，为虚数单位，规定），称为复数的实部，称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如，因此，的实部是﹣8，虚部是6．已知复数的虚部是12，则实部是（　　）A．﹣6 B．6 C．5 D．﹣5【答案】C【分析】先利用完全平方公式得出（3-mi）2=9-6mi+m2i2，再根据新定义得出复数（3-mi）2的实部是9-m2，虚部是-6m，由（3-mi）2的虚部是12得出m=-2，代入9-m2计算即可．【详解】解：∵∴复数的实部是，虚部是，∴，∴，∴．故选C．2．（2021·甘肃麦积·模拟预测）计算﹣﹣|﹣3|的结果是（　　）A．﹣1 B．5 C．1 D．-5【答案】D【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】原式 故选D．3．（2021·山东泗水·一模）定义运算：a★b=a(1-b)．若a，b是方程的两根，则b★b-a★a的值为（   ）A．0 B．1 C．2 D．与m有关【答案】A【分析】由根与系数的关系可找出a＋b＝1，根据新运算找出b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a），将其中的1替换成a＋b，即可得出结论．【详解】解：∵a，b是方程x2−x＋m＝0（m＜0）的两根，∴a＋b＝1，∴b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a）＝b（a＋b−b）−a（a＋b−a）＝ab−ab＝0，故选：A．4．（2021·全国·二模）求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020的值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①，可得到2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②，然后由②－①，就可求出S的值．【详解】解：设S＝ 1＋2020＋20202＋20203＋…＋20202020①则2020S＝2020＋20202＋20203＋…＋20202020＋20202021②由②－①得：2019S＝20202021－1∴．故答案为：C．5．（2021·浙江浙江·九年级期末）下列计算中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据整式与实数的运算法则即可判断．【详解】A.，正确；B.，故错误；    C.不能计算，故错误；    D.，故错误；故选A．6．（2021·河南三门峡·七年级期末）在实数，，，中，最小的数是（     ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可.【详解】解：；因此根据题意可得-3是最小的故选B.7．（2021·重庆实验外国语学校九年级阶段练习）在，﹣1.6，0，2这四个数中，最大的数是（　　　）A． B．﹣1.6 C．0 D．2【答案】A【分析】先比较和2的大小，再根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴在，﹣1.6，0，2这四个数中，最大的数是，故选：A．8．（2021·山东青岛·七年级单元测试）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（  ）A． B． C． D．【答案】D【详解】根据根据数轴上的数右边总比左边的大，d在最右边，故选D.9．（2021·江苏·高港实验学校二模）将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数（    ）
 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】易得正方形的面积，求得正方形面积的算术平方根即为所求的边长，利用四数的平方与正方形面积作差的绝对值进行比较即可解答．【详解】解：正方形的面积与原长方形的面积相等，S长方形=，∴S正方形=8，设正方形的边长为x则x2=8解得：x=则正方形的边长为=， ∵12=1,22=4,32=9,42=16∴8-1=7，8-4=4，9-8=1，16-8=8；∵8>7>4>1∴正方形的边长最接近整数3故选：C．10．（2021·湖南长沙·九年级专题练习）下列各数中，最小的数是（    ）A． B． C． D．－2021【答案】D【分析】根据正数永远大于负数，平方法、立方法比较实数大小的方法比较即可解决问题．【详解】解：∵正数永远大于负数，∴可知C选项不是最小，故排除C选项，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故可知：最小的数为-2021，故选：D． 二、填空题11．（2021·河南省实验中学模拟预测）请写出一个绝对值大于1小于3的无理数______．【答案】（答案不唯一）【分析】结合题意，根据无理数和绝对值的性质分析，即可得到答案．【详解】为无理数，且， 故答案为：（答案不唯一）．12．（2021·山东临沂·中考真题）比较大小：___5（选填“”、“ ”、“ ” ）．【答案】＜【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．【详解】解：∵，，而24＜25，∴＜5．故答案为：＜．13．（2021·全国·七年级专题练习），，2，0这四个数中，最大的数是____________．【答案】2【分析】依题意，依据数轴及不等式进行数的比较大小，即可；【详解】由题知，依据数轴的性质：原点左边的数小于右边的数；可得；；又，∴；∴ ；故填：214．（2021·广东清新·八年级期中）比较大小： __________5（填“＞”，“＝”，“＜”）【答案】＜【分析】把5化成根号的形式比较即可；【详解】∵，∴，∴．故答案为＜．15．（2021·陕西·二模）比较大小：______ （填“＞”或“＜”或“=”）．【答案】＜【详解】解：，，∵18＜20，∴．故答案为＜．16．（2021·福建泉州·模拟预测）现定义一种新的运算：．例如，则不等式的解集为___________．【答案】【分析】本题首先根据新定义将进行拆分，构建新的不等式，继而移项求解一元一次不等式即可．【详解】根据新定义可得：，即，求解上述不等式得：．故填：．17．（2021·安徽·合肥38中八年级期中）已知k为正整数，无论k取何值，直线与直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是_________；记直线和与x轴围成的三角形面积为，则_____，的值为______．【答案】            【分析】联立直线和成方程组，通过解方程组，即可得到交点坐标；分别表示出直线和与x轴的交点，求得交点坐标即可得到三角形的边长与高，根据三角形面积公式进行列式并化简，即可得到直线和与x轴围成的三角形面积为的表达式，从而可得到和，再依据分数的运算方法即可得解．【详解】解：联立直线与直线成方程组，，解得，∴这两条直线都交于一个固定的点，这个点的坐标是；∵直线与x轴的交点为，直线与x轴的交点为，∴，∴，故答案为：；； 三、解答题18．（2021·重庆实验外国语学校三模）对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字或去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”，对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：；例如：，因为，故：7513是一个“差同数”．所以：，，则：．（1）请判断2586，8734是否是“差同数”，如果是，请求出的值；（2）若自然数，都是“差同数”，其中，（，，，，，，，都是整数），规定：，当能被11整除时，求的最小值．【答案】（1）2586不是“差同数”，8734是“差同数”，1；（2）．【分析】（1）根据新定义，先判断2586，8734是否是“差同数”，再仿照样例进行解答便可；（2）根据新定义与已知条件，用一个字母的代数式表示，再根据此字母的取值范围便可求出的最值．【详解】（1）解：∵，∴2586不是一个“差同数”，∵，∴8734是“差同数”，∴，，∴；（2）∵，，且，都是整数，∴的千位数为,百位数为6，十位数为，个位数为6，∵是“差同数”，∴ 即，，，∴，∵，，且，都是整数，∴的千位数为3，百位数为，十位数为4，个位数为，∵是“差同数”，∴，即，，，∴ ，∴，∵且，，∴，∵且，，∴，∴，∴， ∵能被11整除，∴或0或11，、当时，，此时，，、时，，此时，，、当时，，结合，，有，此时，，不存在，综上，的最小值为．19．（2021·广西宜州·二模）计算：．【答案】【分析】先化简二次根式、算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，再算加减即可．【详解】解：原式=．
 20．（2021·江苏宿迁·中考真题）计算：4sin45°【答案】1【分析】结合实数的运算法则即可求解．【详解】解：原式．21．（2021·山东禹城·二模）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依次类推，排在第n位的数称为第n项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，其中，公差为．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，…的公差d为__________，第5项是__________．（2）如果一个数列，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：．所以，，，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：．（3）是不是等差数列的项？如果是，是第几项？（4）如果一个数列是等差数列，且公差为d，前n项的和记为，请用含，n，d的代数式表示，_________．【答案】（1）5 ；25；（2）；（3）是；第1346项；（4）【分析】（1）根据题目中的材料，可以得到等差数列5，10，15，…的公差d和第5项的值；（2）根据题目中推导，可以得到等差数列的通项公式；（3）根据题意和题目中的数据，利用（2）中的结论，可以得到等差数列…，的公差和通项公式，从而可以求得4040是等差数列…，的第几项．（4）把分别相加，然后即可得到答案．【详解】解：（1）由题意可得，d=1510=5，第5项是：15+5+5=25，故答案为：5，25；（2）如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2a1=d，a3a2=d，a4a3=d，…，anan-1=d，…．∴a2=a1+d，a3=a2+d=（a1+d）+d=a1+2d，a4=a3+d=（a1+2d）+d=a1+3d，……由此，该等差数列的通项公式为：an=a1+（n1）d，故答案为：n1；（3）4040是等差数列…的第1346项，理由：等差数列…，∴d=，∴an=，
令，解得，n=1346，即4040是等差数列，…的第1346项．（4）由题意，∵是等差数列，且公差为d，前n项的和记为，∴，∴===；故答案为：．