考点11反比例函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版）

这是一份考点11反比例函数（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版），共22页。试卷主要包含了单选题，四象限，一次函数经过一，解答题等内容，欢迎下载使用。

考点11反比例函数
考点总结
知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质
关键点拨与对应举例
1.反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：
①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)

例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．
2.反比例函数的图象和性质
k的符号
图象
经过象限
y随x变化的情况
（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.
失分点警示
（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.
k>0

图象经过第一、三象限
（x、y同号）
每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.
k<0

图象经过第二、四象限
（x、y异号）
每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.
3.反比例函数的图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．
例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")
4.待定系数法
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.
例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.
知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5.系数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.
（2）常见的面积类型：

失分点警示
已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.
例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：或.
6.与一次函数的综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解

（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.
例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.
知识点三：反比例函数的实际应用
7 .一般步骤
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.

真题演练

一、单选题
1．（2020·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数y1＝mx，一次函数y2＝ax+b和反比例函数y3＝的图象在同一直角坐标系中，若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是（ ）

A．x＜﹣1 B．﹣0.5＜x＜0或x＞1 C．0＜x＜1 D．x＜﹣1或0＜x＜1
【答案】D
【分析】
根据图象，找出双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方的部分对应的自变量x的取值范围即可．
【详解】
解：由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，双曲线y3落在直线y1上方，且直线y1落在直线y2上方，即y3＞y1＞y2，
∴若y3＞y1＞y2，则自变量x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1．
故选：D．
2．（2020·山东淄博·中考真题）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ）

A．36 B．48 C．49 D．64
【答案】A
【详解】
过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值．
【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，

∵A（0，4），B（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE＝PC，PD＝PC，
∴PE＝PC＝PD，
设P（t，t），则PC＝t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD，
∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，
解得t＝6，∴P（6，6），
把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36．
故选：A．
3．（2020·山东威海·中考真题）如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，根据图象上点的坐标特征得到P（4，1），Q（−2，−2），根据反比例函数系数k的几何意义求得S1＝4，然后根据S2＝S△PQK−S△PON−S梯形ONKQ求得S2＝3，即可求得S1：S2＝4：3．
【详解】
解：点P（m，1），点Q（−2，n）都在反比例函数y＝的图象上，
∴m×1＝−2n＝4，
∴m＝4，n＝−2，
∵P（4，1），Q（−2，−2），
∵过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N，

∴S1＝4，
作QK⊥PN，交PN的延长线于K，则PN＝4，ON＝1，PK＝6，KQ＝3，
∴S2＝S△PQK−S△PON−S梯形ONKQ＝×6×3−×4×1−（1＋3）×2＝3，
∴S1：S2＝4：3，
故选：C．
4．（2020·山东潍坊·中考真题）如图，函数与的图象相交于点两点，则不等式的解集为（ ）

A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】
结合图像，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：∵函数与的图象相交于点两点，
∴不等式的解集为：或，
故选：D．
5．（2020·山东滨州·中考真题）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）

A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】
过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积．
【详解】
过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A在双曲线上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线上，且AB//x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12-4=8，
故选：C．

6．（2020·山东德州·中考真题）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．

C． D．
【答案】D
【分析】
根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
∵反比例函数和一次函数
∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确；
当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
7．（2020·山东威海·中考真题）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【详解】
当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项；
当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项，
故选：D．
8．（2020·山东青岛·中考真题）已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ）

A． B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答．
【详解】
由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0，
∴a﹤0，b﹥0，
由反比例函数图象知：c﹥0，
∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，
对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征．
故选：B·
9．（2021·山东青岛·中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】
解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＜0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D．
10．（2021·山东滨州·中考真题）如图，在中，，点C为边AB上一点，且．如果函数的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（ ）

A．（-2019，674） B．（-2020，675）
C．（2021，-669） D．（2022，-670）
【答案】D
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B、C点的坐标，再写出BC解析式，再判断点在BC上．
【详解】
解：作，，

，
，
设，
，
或（舍去），
，
，
．
，
，，
，

，
，
，
图象经过点，
，
，

设的解析式为，
，
解得，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
故选：D．

二、填空题
11．（2021·山东青岛·中考真题）列车从甲地驶往乙地．行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到__________．

【答案】240
【分析】
由设再利用待定系数法求解反比例函数解析式，把h代入函数解析式求解的值，结合图象上点的坐标含义可得答案.
【详解】
解：由题意设
把代入得：

当h时，，
所以列车要在内到达，则速度至少需要提高到，
故答案为：.
12．（2021·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则的值为_______．

【答案】48
【分析】
过作于，交于，设，，，通过证得△△，得到，解方程组求得、的值，即可得到的坐标，代入即可求得的值．
【详解】
解：过作于，交于，

，
，
，
，
，
△△，
，
设，
，，
正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，
，，
，
解得，，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为48．
13．（2021·山东滨州·中考真题）若点、、都在反比例函数（k为常数）的图象上，则、、的大小关系为____________．
【答案】
【分析】
根据反比例函数的性质和，可以得到反比例函数的图象所在的象限和在每个象限内的增减性，然后即可判断、、的大小关系．
【详解】
解：反比例函数为常数），，
该函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，
点、，、都在反比例函数为常数）的图象上，，点、在第三象限，点在第一象限，
，
故答案为：．
14．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝_______．（结果用a，b表示）

【答案】a
【分析】
设B（m，），A（，n），则P（m，n），阴影部分的面积S△AOB＝矩形的面积﹣三个直角三角形的面积可得结论．
【详解】
解：设B（m，），A（，n），则P（m，n），
∵点P为曲线C1上的任意一点，
∴mn＝a，
∴阴影部分的面积S△AOB＝mnbb（m）（n）
＝mn﹣b（mn﹣b﹣b）
＝mn﹣bmn+b
a．
故答案为：a．
15．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是______．

【答案】或
【分析】
先根据正比例函数和反比例函数的性质求出点的横坐标，再利用函数图象法即可得．
【详解】
解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点的横坐标为，
不等式表示的是正比例函数的图象位于反比例函数的图象的下方，
则的取值范围是或，
故答案为：或．

三、解答题
16．（2021·山东济南·中考真题）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．

（1）求的值并直接写出点的坐标；
（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；
（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），B(2，3)；（2）；（3）P（，0）或（0，）.
【分析】
（1）根据直线经过点A，可求出点A（-2，-3），因为点A在图象上，可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；
（2）先根据利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，连接B’C，即B’C的长度是的最小值；
（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.
【详解】
（1）解：因为直线经过点，
所以，
所以m=-2，
所以点A（-2，-3），
因为点A在图象上，
所以，
因为与双曲线交于A，两点，
所以点A和点B关于原点对称，
所以点B(2，3)；
（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，

因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，
所以BE//CF，
所以,
所以，
因为，
所以，
因为B（2，3），
所以BE=3，
所以CF=1，
所以C点纵坐标是1，
将代入可得：x=6，
所以点C（6，1），
又因为点B’是点B关于y轴对称的点，
所以点B’（-2，3），
所以B’C=，
即的最小值是；
（3）解：①当点P在x轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，

因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以，
所以，
所以,
所以，
所以，
所以，
所以点P（，0）；
②当点P在y轴上时，
当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，

因为∠OBP=90°，BH⊥OP,
所以，
所以，
所以,
所以，
所以，
所以，
所以点P（0，）
综合可得：P（，0）或（0，）.
17．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．

（1）求对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】
（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解；
（2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】
解：（1）把点代入反比例函数解析式得：，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴，解得：，
∴，
把点A、B作代入直线解析式得：，解得：，
∴；
（2）由（1）可得：，，
∵轴，
∴，
∴点A到PB的距离为，
∴；
（3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或．
18．（2021·山东枣庄·中考真题）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数的图象与性质进行探究．
因为，即，所以可以对比函数来探究．
列表：（1）下表列出与的几组对应值，请写出，的值： ， ；

…






1
2
3
4
…

…


1
2
4





…

…


2
3



0


…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：

（2）请把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来：
（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当时，随的增大而 ；（填“增大”或“减小”）
②函数的图象是由的图象向 平移 个单位而得到．
③函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标）
【答案】（1）5，；（2）见解析；（3）①增大；②上，1；③．
【分析】
（1）将和分别代入函数中，即可求出的值；
（2）把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来即可；
（3）①根据函数的增减性即可得；
②根据函数即可得；
③函数的图象关于原点中心对称，再根据平移的性质即可得．
【详解】
解：（1）对于函数，
当时，，即，
当时，，即，
故答案为：5，；
（2）把轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来如下：

（3）①当时，随的增大而增大，
故答案为：增大；
②因为函数，
所以函数的图象是由的图象向上平移1个单位而得到，
故答案为：上，1；
③因为函数的图象关于原点中心对称，
所以函数的图象关于点中心对称，
故答案为：．