考点04二次根式（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（华师大版）
展开考点04二次根式
考点总结
知识点一：二次根式 | 关键点拨及对应举例 | |
1.有关概念 | （1）二次根式的概念：形如(a≥0)的式子. （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. （3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 | 失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x＞1. |
2.二次根式的性质 | （1）双重非负性： ①被开方数是非负数，即a≥0； ②二次根式的值是非负数，即≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式. | 利用二次根式的双重非负性解题： （1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如+=0，则a=-1，b=1. （2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0. |
(2)两个重要性质： ①()2＝a(a≥0)；②＝|a|＝； (3)积的算术平方根：＝·(a≥0，b≥0)； (4)商的算术平方根： (a≥0，b＞0)． | 例：计算： ＝3.14；＝2； =；=2 ； | |
知识点二 ：二次根式的运算 | ||
3.二次根式的加减法 | 先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式． | 例：计算：＝. |
4.二次根式的乘除法 | （1）乘法：·=(a≥0，b≥0)； （2）除法： = (a≥0，b＞0)． | 注意：将运算结果化为最简二次根式. 例：计算：＝1；4. |
5.二次根式的混合运算 | 运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）． | 运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便. 例：计算：(+1)( -1)= 1 . |
真题演练
一、单选题
1．（2021·山东潍坊·中考真题）下列运算正确的是 ．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据完全平方公式、负数指数幂、分式的化简、根式的化简分别计算解答即可．
【详解】
解：A、，选项运算正确；
B、，选项运算错误；
C、是最简分式，选项运算错误；
D、，选项运算错误；
故选：A．
2．（2021·山东东营·中考真题）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、二次根式的运算法则依次计算各项后即可解答．
【详解】
选项A，和不是同类项，不能够合并，选项A错误；
选项B，根据完全平方公式可得，选项B正确；
选项C，根据积的乘方的运算法则可得，选项C错误；
选项D，与不能够合并，选项D错误．
故选B．
3．（2021·山东临沂·中考真题）如图，点，都在格点上，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用勾股定理求出AB，再减去BC可得AC的长．
【详解】
解：由图可知：
AB==，
∵BC=，
∴AC=AB-BC==，
故选B．
4．（2020·山东日照·中考真题）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．x3+x3＝x6 B．x2•x3＝x5
C．（x+3）2＝x2+9 D．﹣＝
【答案】B
【分析】
由题意根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；以及二次根式的减法运算法则逐项分析即可．
【详解】
解：A、x3+x3＝2x3，故选项A不符合题意；
B、x2•x3＝x5计算正确，故选项B符合题意；
C、（x+3）2＝x2+6x+9，故选项C不符合题意；
D、二次根式与不是同类二次根式故不能合并，故选项D不符合题意．
故选：B．
5．（2020·山东菏泽·中考真题）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】
由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．
【详解】
解：由题意得：
解得：且
故选D．
6．（2020·山东聊城·中考真题）计算的结果正确的是（ ）．
A．1 B． C．5 D．9
【答案】A
【分析】
利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【详解】
解：
，
故选：A．
7．（2020·山东济宁·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
解：A、是最简二次根式，故选项正确；
B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；
D、，不是最简二次根式，故选项错误；
故选A.
8．（2021·山东兰陵·一模）实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据数轴确定a的取值范围，根据绝对值的性质，二次根式的性质化简即可．
【详解】
解：由数轴可知，a＜0＜b，
∴a-b＜0
∴；
故选：A
9．（2021·山东滨城·模拟预测）式子有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】
根据分式和二次根式有意义的条件，判断实数的取值范围
【详解】
有意义
解得：且
故选C
10．（2021·山东诸城·二模）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据分式的化简，二次根式的加减运算，负指数幂逐项分析即可．
【详解】
A. ，符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D.，不符合题意．
故选A．
二、填空题
11．（2021·山东青岛·中考真题）计算：__________．
【答案】5
【分析】
先运用乘法分配律展开，再利用二次根式的乘法法则计算即可，
【详解】
解：，
12．（2021·山东聊城·中考真题）计算：＝_______．
【答案】4
【分析】
根据二次根式的运算法则，先算乘法，再算加减法，即可．
【详解】
解：原式=
=
=
=4．
故答案是：4．
13．（2021·山东烟台·中考真题）若在实数范围内有意义，则的取值范围为__________．
【答案】x≤2
【分析】
二次根式的被开方数大于等于零，据此解答．
【详解】
解：依题意得 2-x≥0
解得 x≤2．
故答案为：x≤2．
14．（2021·山东日照·中考真题）若式子有意义，则x的取值范围是___．
【答案】且
【详解】
∵式子在实数范围内有意义，
∴x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0.
故答案为x≥-1且x≠0.
15．（2021·山东威海·中考真题）计算的结果是____________________．
【答案】
【分析】
根据二次根式的四则运算法则进行运算即可求解．
【详解】
解：原式
，
故答案为：．
三、解答题
16．（2021·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】
先对分式进行化简，然后再代入进行二次根式的运算即可．
【详解】
解：原式=，
把代入得：原式=．
17．（2021·山东菏泽·中考真题）计算：．
【答案】0
【分析】
根据零指数幂,绝对值的化简,负整数指数幂,特殊角的函数值计算即可
【详解】
=1+3
=0.
18．（2021·山东临沂·中考真题）计算．
【答案】
【分析】
化简绝对值，同时利用平方差公式计算，最后合并．
【详解】
解：
=
=
=
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