考点05 一元二次方程（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

考点05 一元二次方程

考点总结

一、一元二次方程的概念

1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

2．一般形式：（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．

注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．

二、一元二次方程的解法

1．直接开平方法：适合于或形式的方程．

2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成的形式；

（5）运用直接开平方法解方程．

3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即；（2）确定的值；（3）求出的值；（4）将的值代入即可．

4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．

三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系

1．根的判别式：一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式．

2．一元二次方程根的情况与判别式的关系

（1）当时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根；

（3）当时，方程没有实数根．

3．根与系数关系：对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，．

四、利用一元二次方程解决实际问题

列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．

1．增长率等量关系

（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原来量，为平均增长率，为增长次数，为增长后的量，则；当为平均下降率时，则有．

2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本．（2）利润率=×100％．

3．面积问题

（1）类型1：如图1所示的矩形长为，宽为，空白“回形”道路的宽为，则阴影部分的面积为．

（2）类型2：如图2所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则空白部分的面积为．

（3）类型3：如图3所示的矩形长为，宽为，阴影道路的宽为，则4块空白部分的面积之和可转化为．

图1                      图2                          图3

4. 碰面问题（循环问题）

（1）重叠类型（双循环）：n支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。

∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场

∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场

∵A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，∴上述求法有重叠部分.

∴m=

（2）不重叠类型（单循环）：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛场次为m。

∵1支球队要和剩下的（n－1）支球队比赛，∴1支球队需要比（n－1）场

∵存在n支这样的球队，∴比赛场次为：n（n－1）场.

∵A与B比赛在A的主场，B与A比赛在B的主场，不是同一场比赛，∴上述求法无重叠.

∴m=

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•南皮县一模）下列关于x的方程中，一定有两个不相等实数根的是（　　）

A．x2﹣kx+2021＝0 B．x2+kx﹣2021＝0 

C．x2﹣2021x+k＝0 D．x2+2021x﹣k＝0

【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．

【解答】解：A、Δ＝（﹣k）2﹣4×1×2021）＝k2﹣8084，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；

B、Δ＝k2﹣4×1×（﹣2021）＝k2+8084＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；

可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；

C、Δ＝（﹣2021）2﹣4×1×k＝20212﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；

D、Δ＝20212﹣4×1×（﹣k）＝20212+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意．

故选：B．

2．（2021•海港区模拟）已知关于x的方程x2+4x+c＝0的一个根是x＝﹣1，则方程x2+4x+c+1＝0的根的情况是（　　）

A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根

【分析】把x＝﹣1代入方程x2+4x+c＝0，求得c＝3，即可根据根的判别式得出Δ＝42﹣4（c+1）＝16﹣16＝0，据此可得答案．

【解答】解：∵关于x的方程x2+4x+c＝0的一个根是x＝﹣1，

∴1﹣4+c＝0，

∴c＝3，

在方程x2+4x+c+1＝0中，

Δ＝42﹣4（c+1）

＝16﹣16

＝0，

∴方程有两个相等的实数根，

故选：D．

3．（2021•桥东区二模）若x比（x﹣1）与（x+1）的积小1，则关于x的值，下列说法正确的是（　　）

A．不存在这样x的值 B．有两个相等的x的值 

C．有两个不相等的x的值 D．无法确定

【分析】由题意可得：（x﹣1）（x+1）﹣x＝1，整理得x2﹣x﹣2＝0，再由判别式Δ＞0即可求解．

【解答】解：∵x比（x﹣1）与（x+1）的积小1，

∴（x﹣1）（x+1）﹣x＝1，

∴x2﹣1﹣x＝1，

∴x2﹣x﹣2＝0，

∵Δ＝1+8＝9＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选：C．

4．（2021•路南区二模）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝2，c＝1，解出其中一个根是x＝1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1．则原方程的根的情况是（　　）

A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．有另一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根

【分析】利用根与系数的关系求出所抄方程的b的值为﹣3，则原方程的b的值为﹣2，所以原方程为2x2﹣2x+1＝0，然后计算判别式的值，从而得到方程根的情况．

【解答】解：根据题意得x＝1为方程2x2+bx+1＝0的一个根，

设此方程的另一根为t，则1+t，1×t，

解得t，b＝﹣3，

即所抄的b的值为﹣3，

所以原方程的b的值为﹣2，

则原方程为2x2﹣2x+1＝0，

因为Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，

所以原方程没有实数解．

故选：A．

5．（2021•河北一模）若一元二次方程2x2﹣mx+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，对照四个选项即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣mx+1＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝（﹣m）2﹣4×2×1＝m2﹣8＞0，

解得：m＜2或m＞2，

观察选项，只有3符合．

故选：A．

6．（2021•顺平县二模）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（　　）

A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c

【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有x＝1，再判断即可．

【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0，

∴b＝﹣a﹣c，

∵方程有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，

∴a＝c，

∴a＝c≠b，

故选：A．

7．（2021•竞秀区一模）已知一元二次方程3x2+2x＝0的常数项被墨水污染，当此方程有实数根时，被污染的常数项可以是（　　）

A．3 B．2 C．1 D．0

【分析】根据根的判别式即可求出答案．

【解答】解：设常数项为c，

由题意可知：Δ＝4﹣4×3c＝4﹣12c≥0，

∴c，

故选：D．

8．（2021•邯郸模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0中，a＞2，该方程的解的情况是（　　）

A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 

C．有两个相等的实数根 D．不能确定

【分析】先根据方程的根的判别式，再根据a的范围进行判断判别式的情况即可得出方程根的情况．

【解答】解：方程根的判别式Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，

∵a＞2，

∴（a﹣2）2＞0，即Δ＞0，

∴此方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

9．（2021•古冶区一模）当﹣1＜k＜0时，关于x的一元二次方程x2+4x﹣k＝0根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 

C．有一个实数根 D．没有实数根

【分析】计算根的判别式，利用k的取值范围进行判断其符号即可求得答案．

【解答】解：x2+4x﹣k＝0，

Δ＝42+4k＝4（4+k），

∵﹣1＜k＜0，

∴4+k＞0，

∴Δ＞0，

∴该方程有两个不等的实数根．

故选：B．

10．（2021•长安区二模）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（　　）

A．1 B．0 C．7 D．9

【分析】设常数项为c，利用判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4c≥0，再解不等式得到c的范围，然后在此范围内确定最大值即可．

【解答】解：设常数项为c，

根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4c≥0，

解得c≤9，

所以c的最大值为9．

故选：D．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•滦南县二模）若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则：

（1）a+b的值为 　4　；

（2）的值为 　1　．

【分析】由于a≠b，可把a、b可看作方程x2﹣4x+1＝0的两根，然后根据根与系数的关系求解．

【解答】解：（1）∵a≠b，

∴a、b可看作方程x2﹣4x+1＝0的两根，

∴a+b＝4，ab＝1，

故答案为：4；

（2）∵a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，

∴1+a2＝4a，1+b2＝4b，

∴1，

故答案为：1．

12．（2021•永德县模拟）已知x＝1是关于x的方程x2+mx+n＝0的一个根，则m+n的值是　﹣1　．

【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入一元二次方程x2+mx+n＝0，即可求得m+n的值．

【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一个根，

∴x＝1满足一元二次方程x2+mx+n＝0，

∴1+m+n＝0，

∴m+n＝﹣1；

故答案为：﹣1．

13．（2020•江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为　x＝﹣2　．

【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．

【解答】解：∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，

∴x1•x22．

∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，

∴另一个根为x＝﹣2÷1＝﹣2．

故答案为：x＝﹣2．

14．（2020•曲阳县模拟）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0中，c＜0，该方程解的情况是 　方程有两个不相等的实数根　．

【分析】先求出Δ＝42﹣4×1×c＝16﹣4c＞0，再根据根的判别式判断即可．

【解答】解：x2+4x+c＝0，

Δ＝42﹣4×1×c＝16﹣4c，

∵c＜0，

∴Δ＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故答案为：方程有两个不相等的实数根．

15．（2020•承德二模）定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．

（1）4﹣x与　x﹣2　是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示）；

（2）若（x﹣1）2关于1的平衡数是﹣7，则x的值为　4或﹣2　．

【分析】（1）根据题中所给定义即可求解．

（2）根据题中所给定义即可得出（x﹣1）2﹣7＝2，解一元二次方程即可求得结果．

【解答】解：（1）∵若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数；

∴2﹣（4﹣x）＝2﹣4+x＝x﹣2，

∴4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数．

故答案为：x﹣2．

（2）∵（x﹣1）2关于1的平衡数是﹣7，

∴（x﹣1）2﹣7＝2，

∴（x﹣1）2＝9，

∴x﹣1＝±3，

∴x＝4或﹣2，

故答案为4或﹣2．

三．解答题（共3小题）

16．（2021•衡水模拟）如图是一个五边形的空地ABCDE，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∠A＝135°，已知AB＝4m，BC＝8m，CD＝10m，DE＝2m，准备在五边形ABCDE内按如图方式设计一个长方形FGCH铺设木地板，剩下部分铺设地砖．点F、G、H分别在边AE、BC、CD上．

（1）求五边形ABCDE的面积；

（2）若长方形FGCH的面积为35m2，求BG的长．

（3）若铺设木地板的成本为每平方米200元，铺设地砖的成本为每平方米100元，投资7300元能否完成地面铺设？通过计算说明．

【分析】（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，将五边形ABCDE划分成一个梯形和一个矩形的，即可求解；

（2）设BG＝xm，则FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m，根据题意列出方程即可求解；

（3）设BG＝ym，根据“投资7300元”列出方程即可求解．

【解答】解：（1）过点E、A分别作EM⊥BC于M，作AN⊥EM于点N，如图，

则∠EAN＝∠AEN＝45°，

∴AN＝EN，

∵MN＝AB，EM＝CD，

∴EN＝EM﹣MN＝DC﹣AB＝10﹣4＝6（m），

∴AN＝6（m），

∴S五边形ABCDE＝S梯形ABME+S矩形EMCD（4+10）×6+2×10＝62（m2）；

（2）设BG＝xm，则FG＝（4+x）m，CG＝（8﹣x）m，

根据题意得，（4+x）（8﹣x）＝35，

解得：x1＝1，x2＝3，

答：BG的长为1m或3m；

（3）设BG＝ym，且0＜BG＜6，

由题意得，200（4+y）（8﹣y）+100[62﹣（4+y）（8﹣y）]＝7300，

化简，得，y2﹣4y﹣21＝0，

解得：y1＝7，y2＝﹣3均不符合题意，

∴投资7300元不能完成地面铺设，

17．（2021•安次区二模）如图，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C．

（1）若抽中的卡片是B．

①求整式C；

②当x1时，求整式C的值．

（2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？

【分析】（1）①整式C为：B的相反数+A，计算可得结论；

②将x1可得整式C的值；

（2）分抽中的卡片是B或A两种情况计算整式C的值，并进行配方，可得结论．

【解答】解：（1）①∵B+x2﹣9x﹣1

＝﹣4x2﹣8x﹣4，

∴整式C为：﹣4x2﹣8x﹣4；

②当x1时，

﹣4x2﹣8x﹣4

＝﹣4×（1）2﹣8（1）﹣4

＝﹣4（2﹣21）﹣88﹣4

＝﹣8+84﹣84

＝﹣8；

（2）若抽中的卡片是B时，由（1）知：整式C为：﹣4x2﹣8x﹣4＝﹣4（x+1）2，

∵﹣4＜0，（x+1）2≥0，

∴无论x取何值，此时﹣4x2﹣8x﹣4是非正数；

若抽中的卡片是A时，

整式C为：﹣x2+9x+1+5x2﹣x+3＝4x2+8x+4＝4（x+1）2，

∵4＞0，（x+1）2≥0，

∴无论x取何值，此时4x2+8x+4是非负数；

∴若无论x取何值，整式C的值都是非负数，则抽到的是卡片A．

18．（2021•桥西区模拟）比较x2+y2与2xy的大小．

尝试：（用“＜”“＝”或“＞”填空）

①当x＝2，y＝2时，x2+y2　＝　2xy；

②当x＝1，y＝3时，x2+y2　＞　2xy；

③当x＝﹣1，y＝﹣4时，x2+y2　＞　2xy．

验证：若x，y取任意实数，x2+y2与2xy有怎样的大小关系？试说明理由；

应用：当xy＝1时，请直接写出x2+4y2的最小值．

【分析】①根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；

②根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；

③根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；

根据完全平方公式，可得答案．

【解答】解：①当x＝2，y＝2时，x2+y2＝4+4＝8，2xy＝2×2×2＝8，

则x2+y2＝2xy；

②当x＝1，y＝3时，x2+y2＝1+9＝10，2xy＝2×1×3＝6，

则x2+y2＞2xy；

③当x＝﹣1，y＝﹣4时，x2+y2＝1+16＝17，2xy＝2×（﹣1）×（﹣4）＝8，

则x2+y2＞2xy；

故答案为：＝；＞；＞；

x2+y2≥2xy，理由如下

∵x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2≥0，

∴x2+y2≥2xy；

∵xy＝1，

∴x2+4y2＝x2+（2y）2≥4xy＝4．

故x2+4y2的最小值是4．