考点06 分式方程（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（冀教版）

考点06 分式方程

考点总结

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．

2．分式方程的解法

（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．

（2）解分式方程的步骤：

①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；

②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；

③解整式方程；

④验根．

注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．

3．增根

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．

注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．

4．分式方程的应用

（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．

（2）列分式方程解应用题的一般步骤：

①设未知数；

②找等量关系；

③列分式方程；

④解分式方程；

⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；

⑥答．

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•河北一模）一辆快车和一辆慢车同时从甲地出发，沿同一路线到乙地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，且快车比慢车先到，设慢车的速度为xkm/h，若这一路线长为450km，那么下面所列方程正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为1.2xkm/h，根据“快车比慢车先到”列方程即可得到答案．

【解答】解：设慢车的速度为xkm/h，则快车的速度为1.2xkm/h，

根据题意可得：．

故选：B．

2．（2021•顺平县二模）瓜达尔港是我国实施“一带一路”战略构想的重要一步，为了增进中巴友谊，促进全球经济一体化发展，我国施工队预计把距离港口420km的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高50%，行驶时间缩短2h，那么汽车原来的平均速度为（　　）

A．80km/h B．75km/h C．70km/h D．65km/h

【分析】设汽车原来的平均速度是x km/h，则升级后汽车行驶的平均速度为（1+50%）xkm/h，由题意：420km的普通公路升级成同等长度的高速公路，升级后汽车行驶的平均速度比原来提高50%，行驶时间缩短2h，列出分式方程，解方程即可．

【解答】解：设汽车原来的平均速度是x km/h，则升级后汽车行驶的平均速度为（1+50%）xkm/h，

根据题意得：2，

解得：x＝70，

经检验：x＝70是原方程的解，

即汽车原来的平均速度70km/h，

故选：C．

3．（2021•河北模拟）石家庄某活动小组到教育基地游学，租用面包车的车费为180元．出发时又增加了2名同学，结果每名同学比原来少摊了3元车费．若设该活动小组原有x人，则所列方程为（　　）

A．3 B．3 

C．3 D．3

【分析】设该活动小组原有x人，则增加同学后该活动小组有（x+2）人，利用人均费用＝租车费用÷乘车人数，结合增加同学后每名同学比原来少摊了3元车费，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：设该活动小组原有x人，则增加同学后该活动小组有（x+2）人，

依题意得：3．

故选：B．

4．（2021•古冶区一模）以下是小明同学解方程的过程：

解：方程两边同时乘以（x﹣3），得1+x＝﹣2﹣（x﹣3），第一步

即x+x＝﹣2+1+3，第二步

解得，x＝1，第三步

检验：当x＝1时，x﹣3＝1﹣3≠0，

所以原方程的解是x＝1．第四步

针对以上解题过程，下列说法正确的是（　　）

A．从第一步开始有错 B．从第二步开始有错 

C．从第三步开始有错 D．完全正确

【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．

【解答】解：从第二步开始出错，

正确的是：，

方程两边同时乘以（x﹣3），得1+x＝﹣2﹣（x﹣3），

1+x＝﹣2﹣x+3，

即x+x＝﹣2﹣1+3，

合并同类项，得，2x＝0，

系数化成1，得x＝0，

检验：当x＝0时，x﹣3＝0﹣3≠0，

所以原方程的解是x＝0，

即从第二步开始有错，

故选：B．

5．（2021•平泉市一模）由于新冠肺炎得到了有效控制，省教育厅要求各学校做好复课准备．某校计划对学校60个相同大小的教室进行全面清扫和消毒，在实际进行消毒时，每天消毒的教室数量是原计划的1.2倍，使得完成全部教室消毒的时间缩短了2天．设原计划每天可以清扫、消毒x个教室，则下列符合题意的方程是（　　）

A．1.2 B．2 

C．1.2 D．2

【分析】设原计划每天可以清扫、消毒x个教室，则实际每天清扫、消毒1.2x个教室．根据实际完成消毒时间缩短2天建立等量关系，列出方程即可．

【解答】解析：设原计划每天可以清扫、消毒x个教室，则实际每天清扫、消毒1.2x个教室．

根据题意，得．

故选：D．

6．（2021•潼南区一模）随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递40件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件？设原来平均每人每周投递快件x件，根据题意可列方程为（　　）

A． B． 

C．40 D．

【分析】设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于x的分式方程，此题得解．

【解答】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件（x+40）件，

依题意得：．

故选：D．

7．（2021•衡水模拟）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号min{a，b}表示a、b中的较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，}2的解为（　　）

A． B．2 C．或2 D．1或﹣2

【分析】分类讨论与的大小关系，利用题中的新定义化简已知方程，求出解即可．

【解答】解：当，即x＞0时，方程变形得：2，

去分母得：2＝6﹣2x，即x＝2，

经检验x＝2是分式方程的解；

当，即x＜0时，方程变形得：2，

去分母得：5＝6﹣2x，

解得：x＝0.5，不符合题意，

综上，方程的解为x＝2．

故选：B．

8．（2021•定兴县一模）某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．

【解答】解：由题意可得，

，

故选：A．

9．（2021•石家庄一模）定义运算“※”：a※b．若5※x＝2，则x的值为（　　）

A． B．或10 C．10 D．或

【分析】分别讨论5＞x和5＜x时，得到的分式方程，解之，找出符合题意的即可．

【解答】解：若5＞x，即x＜5时，

原方程可整理得：

2，

方程两边同时乘以（5﹣x）得：

5＝2（5﹣x），

解得：x，

经检验：x是原方程的解，

且5，

即x符合题意，

若5＜x，即x＞5时，

原方程可整理得：

2，

方程两边同时乘以（x﹣5）得：

x＝2（x﹣5），

解得：x＝10，

经检验：x＝10是原方程的解，

且10＞5，

即x＝10符合题意，

故选：B．

10．（2021•河北模拟）初三学生周末去距离学校120km的某地游玩，一部分学生乘慢车先行1小时后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达目的地，已知快车的速度是慢车的2倍，求慢车的速度，设慢车的速度是xkm/h，根据题意列方程为（　　）

A．1 B．1 

C．1 D．1

【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程．

【解答】解：设慢车的速度是xkm/h，则快车的速度是2xkm/h，

依题意得：1．

故选：B．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•唐山一模）分式方程：的解为 　x＝0　．

【分析】分式方程整理后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：分式方程整理得：，

去分母得：x﹣2＝﹣2，

解得：x＝0，

检验：把x＝0代入得：x﹣3≠0，

∴x＝0是分式方程的解．

故答案为：x＝0．

12．（2021•新华区模拟）x＝﹣1是方程的解，a的值为　﹣5　．

【分析】将x＝﹣1代入原方程即可求出a的值．

【解答】解：将x＝﹣1代入原方程，得，，

解得a＝﹣5．

故答案为：﹣5．

13．（2017•铜仁市）方程0的解为x＝　2　．

【分析】利用：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论解出方程．

【解答】解：0

方程两边同乘x（x﹣1），得x﹣2（x﹣1）＝0

x﹣2x+2＝0，

解得，x＝2，

检验：当x＝2时，x（x﹣1）≠0，

则x＝2是分式方程的解，

故答案为：2．

14．（2020•滦州市二模）若，则m的值为 　﹣2　．

【分析】先去分母然后根据待定系数法求m的值．

【解答】解：∵，

∴3﹣2x＝m（x﹣1）+1，

∴3﹣2x＝1﹣m+mx，

∴1﹣m＝3，m＝﹣2，

解得m＝﹣2．

故答案为﹣2．

15．（2020•邢台一模）对于任意非零实数m、n，规定m⊗n，例如：2⊗3，则（﹣2）⊗1　＞　1⊗（﹣2）（填“＞”，或“＜”或“＝”），若x⊗3＝（x﹣1）⊗（﹣4），则x＝　　．

【分析】利用题中的新定义判断，求出方程的解即可得到结果．

【解答】解：根据题意得：（﹣2）⊗1，1⊗（﹣2）＝﹣2，

∴（﹣2）⊗1＞1⊗（﹣2）；

根据题意得：，

去分母得：3x﹣3＝﹣4x，

解得：x，

经检验x是分式方程的解．

故答案为：＞；．

三．解答题（共3小题）

16．（2018•深圳）某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．

（1）第一批饮料进货单价多少元？

（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？

【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，根据单价＝总价÷单价结合第二批饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设销售单价为m元，根据获利不少于1200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设第一批饮料进货单价为x元，则第二批饮料进货单价为（x+2）元，

根据题意得：3•，

解得：x＝8，

经检验，x＝8是分式方程的解．

答：第一批饮料进货单价为8元．

（2）设销售单价为m元，

根据题意得：200（m﹣8）+600（m﹣10）≥1200，

解得：m≥11．

答：销售单价至少为11元．

17．（2020•复兴区一模）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元．若甲、乙两车单独运完此堆垃圾，则乙车所运趟数是甲车的2倍，已知乙车每趟运费比甲车少200元．

（1）分别求出甲、乙两车每趟的运费；

（2）若单独租用甲车运完此堆垃圾，需多少趟？

（3）若同时租用甲、乙两车，则甲车运x趟，乙车运y趟，才能运完此堆垃圾，其中x，y均为正整数．

①当x＝10时，y＝　16　；当y＝10时，x＝　13　；

②用含x的代数式表示y；

探究：

（4）在（3）的条件下：

①用含x的代数式表示总运费w；

②要想总运费不大于4000元，甲车最多需运多少趟？

【分析】（1）根据若两车合作，各运12趟才能完成，需支付运费共4800元，乙车每趟运费比甲车少200元，列出方程组，即可解答；

（2）设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运a趟，由题意列出分式方程，即可解答；

（3）①根据题意可得：1，代入x，y的值即可解答；

②根据1，即可解答；

（4）①根据总运费＝甲的运费+乙的运费，列出函数关系式，利用一次函数的性质，即可解答；

②根据题意列不等式即可得到结论．

【解答】（1）解：设甲、乙两车每趟的运费分别为m元、n元，

由题意得

解得：

答：甲、乙两车每趟的运费分别为300元、100元；

（2）解：设单独租用甲车运完此堆垃圾，需运a趟，由题意得

12（）＝1，

解得 a＝18，

经检验a＝18是原方程的解；

答：单独租用甲车运完此堆垃圾，需运18趟；

（3）①由题意得：1，

∴当x＝10时，y＝16；

当y＝10时，x＝13；

故答案为：16，13．

②∵1，

∴y＝36﹣2x，

（4）①w＝300x+100y＝300x+100（36﹣2x）

＝100x+3600，（0＜x＜18，且x为正整数），

②由题意，得100x+3 600≤4 000．

∴x≤4．

答：甲车最多需运4趟．

18．（2020•新华区校级一模）（1）计算：（π﹣3）0+（﹣1）2019﹣|2|；

（2）解方程：1

【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得；

（2）将分式方程转化为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得．

【解答】解：（1）原式＝2﹣1﹣1﹣（2）

＝2﹣1﹣1﹣2

＝﹣2；

（2）两边都乘以x﹣3，得：x﹣2＝﹣2﹣（x﹣3），

解得：x，

当x时，x﹣30，

所以分式方程的解为x．