考点12角、相交线和平行线（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

考点12角、相交线和平行线

考点总结

一、直线、射线和线段

 1、直线的概念

一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。

2、射线的概念

直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。

3、线段的概念

直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。

4、直线的性质

（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

5、线段的性质

（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。

（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

6、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。

逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

二、相交线

1、相交线中的角

两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。

临补角互补，对顶角相等。

直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

2、垂线

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

三、平行线

1、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

2、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3、平行线的判定

平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

平行线的两条判定定理：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

4、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

四、命题、定理、证明

1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

2、命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

真题演练

一．选择题（共12小题）

1．（2021•泰州）互不重合的A、B、C三点在同一直线上，已知AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，这三点的位置关系是（　　）

A．点A在B、C两点之间 B．点B在A、C两点之间 

C．点C在A、B两点之间 D．无法确定

【分析】用假设法分别计算各选项中的a值，再根据a＞0判断即可．

【解答】解：∵AC＝2a+1，BC＝a+4，AB＝3a，A、B、C三点互不重合

∴a＞0，

若点A在B、C之间，

则AB+AC＝BC，

即2a+1+3a＝a+4，

解得a，

故A情况存在，

若点B在A、C之间，

则BC+AB＝AC，

即a+4+3a＝2a+1，

解得a，

故B情况不存在，

若点C在A、B之间，

则BC+AC＝AB，

即a+4+2a+1＝3a，

此时无解，

故C情况不存在，

∵互不重合的A、B、C三点在同一直线上，

故选：A．

2．（2021•扬州）把如图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（　　）

A．五棱锥 B．五棱柱 C．六棱锥 D．六棱柱

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．

【解答】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，

则该几何体为五棱锥，

故选：A．

3．（2021•淮安）如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝70°，则∠2的度数是（　　）

A．70° B．90° C．100° D．110°

【分析】根据邻补角得出∠3的度数，进而利用平行线的性质解答即可．

【解答】解：

∵∠1＝70°，

∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝110°，

故选：D．

4．（2020•宿迁）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）

A．40° B．50° C．130° D．150°

【分析】由a∥b，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠2的度数．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠2＝∠1＝50°．

故选：B．

5．（2020•南通）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（　　）

A．36° B．34° C．32° D．30°

【分析】（方法一）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数；

（方法二）设AE与CD交于点O，由AB∥CD，利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠DOE的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠C的度数．

【解答】解：（方法一）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图1所示．

∵EF∥AB，

∴∠AEF＝∠A＝54°，

∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．

又∵EF∥CD，

∴∠C＝∠CEF＝36°．

（方法二）设AE与CD交于点O，如图2所示．

∵AB∥CD，

∴∠DOE＝∠A＝54°．

又∵∠DOE＝∠C+∠E，

∴∠C＝∠DOE﹣∠E＝54°﹣18°＝36°．

故选：A．

6．（2020•常州）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝140°，则∠2的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】先根据邻补角互补求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答．

【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠1＝140°，

∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣140°＝40°

∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝40°．

故选：B．

7．（2020•泰州）把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（　　）

A．三棱柱 B．四棱柱 C．三棱锥 D．四棱锥

【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．

【解答】解：观察展开图可知，几何体是三棱柱．

故选：A．

8．（2021•邗江区一模）一个几何体的展开图如图所示，则这个几何体是（　　）

A．三棱锥 B．四棱锥 C．长方体 D．圆锥

【分析】根据平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点确定立体图形为三棱锥．

【解答】解：观察图可得，这是个底面为三角形，侧面有三个三角形的展开图，则该几何体的顶点有4个，应该是三棱锥．

故选：A．

9．（2021•江都区一模）下列三棱柱展开图错误的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．

【解答】解：A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D不能围成三棱柱．

故选：D．

10．（2021•秦淮区二模）用一个平面截棱长为1的正方体（如图），截面形状不可能是（　　）

A．边长为1的正方形 

B．长为、宽为1的矩形 

C．边长为的正三角形 

D．三边长分别为1、1、的三角形

【分析】根据用平面截正方体不同的截法，逐一排除各选项即可．

【解答】解：如果沿垂直于底面的方向截正方体，得到边长为1的正方形，故A选项可能，不合题意；

如果沿正面的上面的棱和背面下面的棱构成的平面斜截正方体，得到长为，宽为1的矩形，故B选项可能，不合题意；

如果沿三个面的对角线截，得到边长为的正三角形，故C选项可能，不合题意；

∵12+12＝（）2，

∴这个截面是直角三角形，

而正方体的截面不可能是直角三角形，

故D选项不可能，符合题意；

故选：D．

11．（2021•苏州二模）某几何体的主视图和俯视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积是（　　）

A．60πcm2 B．65πcm2 C．90πcm2 D．120πcm2

【分析】先求出圆锥底面半径及母线长，然后通过S＝πrl求解．

【解答】解：由图象可得圆锥底面半径r＝5cm，

则母线l长为：13cm，

∴侧面积S＝πrl＝5×13π＝65π（cm2），

故选：B．

12．（2021•姜堰区二模）如图，下面每一组图形都由四个等边三角形组成，其中是正三棱锥展开图的是（　　）

A．仅图① B．图①和图② C．图②和图③ D．图①和图③

【分析】由平面图形的折叠及三棱锥的展开图解题．

【解答】解：只有图①和图②能够折叠围成一个三棱锥．

故选：B．

二．填空题（共7小题）

13．（2020•无锡）请写出一个面积为2的平面图形：　长为2，宽为1的长方形（答案不唯一）　．

【分析】根据不同图形面积的计算方法看得出不同的答案．

【解答】解：长为2，宽为1的长方形的面积为2，

故答案为：长为2，宽为1的长方形．

14．（2020•盐城）如图，直线a、b被直线c所截，a∥b，∠1＝60°，那么∠2＝　60　°．

【分析】利用平行线的性质，直接得结论．

【解答】解：∵a∥b，

∴∠2＝∠1＝60°．

故答案为：60°．

15．（2021•泰州）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转 　20　°．

【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．

【解答】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，

∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，

∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．

故答案为：20．

16．（2021•盐都区二模）将一个内部直径为20cm、高为10cm的圆柱形水桶内装满水，然后倒入一个长方形鱼缸中，水只占鱼缸容积的一半，则鱼缸容积为　2000π　cm3．

【分析】利用圆柱体体积求法得出水的体积，进而得出鱼缸容积．

【解答】解：∵一个内径为20cm、高为10cm的圆柱形水桶内装满水，

∴水的体积为：π×102×10＝1000π（cm3），

∵倒入一个长方形鱼缸中，水只占鱼缸的一半，

∴鱼缸容积为：2000πcm3．

故答案为：2000π．

17．（2021•常州一模）若∠α＝40°，则∠α的余角等于　50　°．

【分析】根据互为余角的两角之和为90°，即可得出答案．

【解答】解：∵∠a＝40°，

∴∠a的余角＝90°﹣40°＝50°．

故答案为：50．

18．（2021•洪泽区二模）如图，一副三角板按图示放置，已知∠AOC＝65°，则∠AOB＝　155　°．

【分析】根据角的和差关系即可求解．

【解答】解：∵∠BOC＝90°，

∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝65°+90°＝155°．

故答案为：155．

19．（2021•苏州模拟）用一张边长为4cm的正方形纸片刚好围成一个圆柱的侧面，则该圆柱的底面圆的半径为　　cm．

【分析】正方形的边长等于底面圆的周长，列出方程求出半径即可．

【解答】解：设圆的半径为rcm，

根据题意得：2πr＝4，

∴r（cm），

故答案为：．

三．解答题（共1小题）

20．（2020•南京二模）某长方体包装盒的表面积为146cm2，其展开图如图所示．求这个包装盒的体积．

【分析】分别表示出长方体的各侧面面积，进而得出等式求出答案．

【解答】解：设高为x cm，则长为（13﹣2x）cm，宽为（14﹣2x）cm．由题意，得

[（13﹣2x）（14﹣2x）（14﹣2x）x+x（13﹣2x）]×2＝146，

解得：x1＝2，x2＝﹣9（舍去），

∴长为：9cm，宽为：5cm．长方体的体积为：9×5×2＝90cm3，

答：这个包装盒的体积为90cm3．