考点13三角形及其性质（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

考点13三角形及其性质

考点总结

三角形基础

1、三角形中的主要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

2、三角形的三边关系定理及推论

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

3、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：

①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

真题演练

一．选择题（共10小题）

1．（2021•无锡）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（　　）

A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点 

B．点P是△ABC三条内角平分线的交点 

C．点P是△ABC三条高的交点 

D．点P是△ABC三条中线的交点

【分析】过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，则AP2+CP2+BP2＝3（x）2+3（y﹣2）2，当x，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，此时AD＝PE，AE＝PD＝2，由，得AM＝3，M是AB的中点，同理可得ANAC，N为AC中点，即P是△ABC三条中线的交点．

【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：

∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，

∴四边形AEPD是矩形，

设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，

Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，

Rt△CDP中，CP2＝（8﹣x）2+y2，

Rt△BEP中，BP2＝x2+（6﹣y）2，

∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（8﹣x）2+y2+x2+（6﹣y）2

＝3x2﹣16x+3y2﹣12y+100

＝3（x）2+3（y﹣2）2，

∴x，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，

此时AD＝PE，AE＝PD＝2，

∵∠A＝90°，PD⊥AC，

∴PD∥AB，

∴，即，

∴AM＝3，

∴AMAB，即M是AB的中点，

同理可得ANAC，N为AC中点，

∴P是△ABC三条中线的交点，

故选：D．

2．（2021•南京）下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（　　）

A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2

【分析】根据若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边逐项判定即可．

【解答】解：A、∵1+1+1＝3＜5，

∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；

B、∵1+1+5＝7＜8，

∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；

C、∵1+2+2＝5，

∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；

D、∵2+2+2＝6＞5，

∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故符合题意；

故选：D．

3．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，则∠BDE的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABD，根据平行线的性质得出∠BDE＝∠ABD即可．

【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，

∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD∠ABC＝40°，

∵DE∥AB，

∴∠BDE＝∠ABD＝40°，

故选：B．

4．（2021•盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（　　）

A．45° B．60° C．75° D．105°

【分析】直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．

【解答】解：根据三角板的度数知，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，

∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，

故选：C．

5．（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（　　）

A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm

【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．

【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：

6﹣3＜x＜6+3，

解得：3＜x＜9，

故选：C．

6．（2020•宿迁）在△ABC中，AB＝1，BC，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）

A．2 B．4 C．5 D．6

【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．

【解答】解：∵在△ABC中，AB＝1，BC，

∴1＜AC1，

∵1＜21，41，51，61，

∴AC的长度可以是2，

故选项A正确，选项B、C、D不正确；

故选：A．

7．（2021•镇江一模）我们知道，△ABC的重心就是三条中线AD、BE、CF的交点G，如图1，其中，如图2，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，将Rt△ABC绕其重心G旋转，A、B、C的对应点分别A1、B1、C1，与CA1的最大值最接近的是（　　）

A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．8.5

【分析】连接AG并延长交BC于点E，然后利用重心的性质和已知条件求出AG的长度和CG的长度．再以点G为圆心，OG为半径作圆，连接CG并延长交⊙G与点F，此时CF的长度即为CA1的最大值．

【解答】解：连接AG并延长交BC于点E，

∵点G为△ABC的重心，BC＝8，

∴CE＝4，AG：AE＝2：3，

∴AE4，

∴AG，

以点G为圆心，OG为半径作圆，连接CG并延长交⊙G与点F，交AB于点H，此时CF的长即为CA1的最大值，

∵AC＝4，BC＝8，

∴AB＝4，

∵点G是△ABC的重心，∠ACB＝90°，

∴CHAB＝2，

∴CGCH2，

∴CF＝CG+GF＝CG+GA6.75，

故选：B．

8．（2021•泰兴市二模）如图，△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（　　）

A．线段DE上 B．线段EF上 C．线段BE上 D．线段FG上

【分析】根据三角形的重心是三角形中线的交点即可判断重心的位置．

【解答】解：∵AE＝CE，

∴BE是△ABC的中线，

∵三角形的重心是三角形中线的交点，

∴它的重心在BE上，

故选：C．

9．（2021•新吴区二模）已知：如图，点D是等腰直角△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．3

【分析】延长CD交AB于F．如图，利用等腰直角三角形的性质和重心的性质得到CF平分AB，CD＝2DF，则CFABCA，所以CDCA，再利用旋转的性质可判断△CDE为等腰直角三角形，于是可判定△CDE∽△CAB，然后根据相似三角形的性质计算△CDE的周长．

【解答】解：延长CD交AB于F．如图，

∵点D是等腰直角△ABC的重心，

∴CF平分AB，CD＝2DF，

∴CFAB•CACA，

∴CDCFCA，

∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，

∴CD＝CE，∠DCE＝90°，

∴△CDE为等腰直角三角形，

∴△CDE∽△CAB，

∴△CDE的周长：△CAB的周长＝CD：CA，

∴△CDE的周长6＝2．

故选：A．

10．（2021•海安市模拟）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（　　）

A．3，7，5 B．4，8，5 C．5，12，7 D．7，13，8

【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．

【解答】解：A、3+5＞7，能构成三角形，不合题意；

B、4+5＞8，能构成三角形，不合题意；

C、5+7＝12，不能构成三角形，符合题意；

D、7+8＞13，能构成三角形，不合题意．

故选：C．

二．填空题（共5小题）

11．（2021•泰州）如图，四边形ABCD中，AB＝CD＝4，且AB与CD不平行，P、M、N分别是AD、BD、AC的中点，设△PMN的面积为S，则S的范围是 　0＜S≤2　．

【分析】有中点一般思考中线或者中位线，本题借助三角形中位线求解．

【解答】解：作ME⊥PN，如图所示，

∵P，M，N分别是AD，BD，AC中点，

∴PMAB＝2，PNCD＝2，

∴S△PMNME，

∵AB与CD不平行，

∴M，N不能重合，

∴ME＞0

∵ME≤MP＝2

∴0＜S△≤2．

故答案是：0＜S≤2．

12．（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 　4　．

【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．

【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系知，

4﹣1＜a＜4+1，即3＜a＜5，

又∵第三边的长是偶数，

∴a为4．

故答案为：4．

13．（2021•常州）如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，∠B＝40°，∠C＝60°，若DE∥AB，则∠AED＝　100　°．

【分析】利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．

【解答】解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，

∵∠B＝40°，∠C＝60°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，

∵DE∥AB，

∴∠A+∠AED＝180°，

∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．

故答案为：100．

14．（2020•泰州）如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为 　140°　．

【分析】根据三角形外角性质求出求出∠DFB，再根据三角形外角性质求出∠α即可．

【解答】解：如图，

∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，

∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，

∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，

故答案为：140°．

15．（2020•溧阳市一模）在△ABC中，AC＝5，AB＝6，则△ABC面积的最大值为　15　．

【分析】画出图形，设BD为AC边上的高，利用锐角三角函数表示出BD的长为6sin∠A，再利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积为5×6sin∠A，得到当∠A＝90°时面积最大，从而求值．

【解答】解：如图，△ABC中，AB＝6，AC＝5，BD是AC边上的高，

在Rt△ABD中，

∵sin∠A，

∴BD＝6sin∠A．

∴．

当sin∠A最大时，即∠A＝90°时，△ABC的面积最大，

最大面积为5×6×1＝15．

故答案为：15．