考点15等腰三角形和直角三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版）

这是一份考点15等腰三角形和直角三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（苏科版），共19页。试卷主要包含了等腰三角形，直角三角形，勾股定理及逆定理，互逆命题等内容，欢迎下载使用。

考点15等腰三角形和直角三角形
考点总结
一、等腰三角形
1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：
①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
二.等边三角形
1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
三.线段垂直平分线
1.定义
垂直一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
2.性质
线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等
3.判定
到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
四、直角三角形
1.定义
有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
2.性质
（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
3.判定
（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
五、勾股定理及逆定理
1. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
六、互逆命题、互逆定理
1.互逆命题
如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.互逆定理
若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.
真题演练
一．选择题（共9小题）
1．（2021•丹阳市二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝CB，△ABC的面积为3，将△ABC沿射线AB方向平移至△BEF的位置，连接CE，若∠AEC＝15°，则AB的长为（　　）

A．2 B．3 C．6 D．23
【分析】根据平移的性质得出AB＝BE，再利用三角形的面积公式解答即可．
【解答】解：由平移的性质得出，AB＝BE，
∵△ABC的面积为3，
∴△CBE与△ABC为等底等高的三角形，
∴△CBE的面积＝3，
∴△ACE的面积＝△ABC的面积+△CBE的面积＝3+3＝6，
过C点作CH⊥AE于H，

∵AB＝BC，AB＝BE，
∴CB＝BE，
∵∠AEC＝15°，
∴∠ABC＝30°，
∴2CH＝BC＝AB，
∴△ABC的面积=12AB⋅CH=12AB⋅12AB=3，
∴AB2＝12，
∴AB＝23，
故选：D．
2．（2021•南京二模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC、AC上，AD＝DE，BD＝CE，若∠ADE＝m°，则∠BAD的度数是（　　）

A．m° B．（90−12m）° C．（90﹣m）° D．（90−32m）°
【分析】分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，证明△CEF≌△BDG、△DEF≌△ADG，从而证明△CDE≌△ADB，得到∠EDC＝∠BAD，再利用等边对等角，用m表示出∠AED和∠CED，再利用平角的定义即可表示出∠BAD的度数．
【解答】解：分别过点E、D作EF⊥CD、DG⊥AB，垂直分别为F、G，

∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF⊥CD，DG⊥AB，
∴∠EFC＝∠DGB＝90°，
在△CEF和△BDG中
∠EFC=∠DGB∠C=∠BCE=BD
∴△CEF≌△DGB（AAS），
∴EF＝DG，
在Rt△DEF和Rt△ADG中
DE=ADEF=DG
∴Rt△DEF≌Rt△ADG（HL），
∴∠CED＝∠ADB，∠EDC＝∠DAB，
∵AD＝ED，∠ADE＝m°，
∴∠DEA＝（180−m2）°，
∴∠ADB＝∠CED＝（180−180−m2）°，
∴∠BAD＝∠EDC＝180°﹣（∠ADB+∠ADE）＝180°﹣（180−180−m2+m）°＝（90−32m）°．
故选：D．
3．（2021•昆山市模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝310，sinA=35，则AB的长为（　　）

A．15 B．510 C．20 D．105
【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝3k，则AB＝AC＝5k，继而可求出BD＝k，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
在Rt△ACD中，sinA=35，
设CD＝3k，则AB＝AC＝5k，
∴AD=AC2−CD2=4k，
在Rt△BCD中，∵BD＝AB﹣AD＝5k﹣4k＝k，
在Rt△BCD中，BC=BD2+CD2=k2+9k2=10k，
∵BC＝10，
∴10k＝310，
∴k＝3，
∴AB＝5k＝15，
故选：A．

4．（2021•淮安区一模）如图，在底边BC为23，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为（　　）

A．2+3 B．2+23 C．4 D．33
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BE＝AE，可得AE+EC＝BC＝23，即可得到结论
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∴AE+CE＝BC＝23，
∴△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BC＝2+2 3，
故选：B．
5．（2021•昆山市模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D．若∠ADB＝125°，则∠BAC等于（　　）

A．70° B．55° C．45° D．40°
【分析】设∠BAC＝x，根据已知可以分别表示出∠ABD和∠BAD，再根据三角形内角和定理即可求得∠BAC的度数．
【解答】解：设∠BAC＝x，
∵在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣x），
∵BD是∠ABC的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠ABD=14（180°﹣x），∠DAB=12x，
∵∠ABD+∠DAB+∠ADB＝180°，
∴14（180°﹣x）+12x+125°＝180°，
∴x＝40°．
故选：D．
6．（2017•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，△BCD就是等腰三角形；
②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，△ACE就是等腰三角形；
③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，△BCF就是等腰三角形；
④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，△BCK就是等腰三角形；
⑤作AB的垂直平分线交AC于G，则△AGB是等腰三角形；
⑥作BC的垂直平分线交AB于I，则△BCI是等腰三角形；
⑦作AC的垂直平分线交AB于I，则△ACI是等腰三角形
【解答】解：如图：

故选：D．
7．（2021•常州一模）如图，等边△ABC中，AB＝6，点P是BC边上一点，则AP的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．33
【分析】过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等边三角形的性质得到BH＝CH＝3，利用勾股定理计算出AH＝33，然后根据垂线段最短解决问题．
【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴BH＝CH=12BC＝3，
∴AH=62−32=33，
当P点与H点重合时，AP的值最小，
∴AP的最小值是33．
故选：D．

8．（2021•滨湖区模拟）如图所示，在等边三角形ABC中，BC＝6，E是中线AD上一点，现有一动点P沿着折线A﹣E﹣C运动，在AE上的速度是4单位/秒，在CE上的速度是2单位/秒，则点P从A运动到C所用时间最少时，AE长为（　　）

A．3 B．3 C．332 D．23
【分析】作CM⊥AB于点M，求出点P运动时间为12（AE2+CE），则CE+DM最短时满足题意．
【解答】解：作CM⊥AB于点M，点P在A﹣E﹣C上运动时间为AE4+CE2，AE4+CE2=12（AE2+CE），

∵∠BAD＝30°，
∴EM=12AE，
∴12（AE2+CE）=12（EM+CE），
当C，E，M共线时，点P运动时间最短，
此时CM为三角形中线，点E为重心，
∵∠CAD＝30°，CD=12BC＝3，
∴AD=3CD＝33，
AE=23AD＝23．
故选：D．
9．（2021•扬州）如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．
【解答】解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有0个；
②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．
故共有3个点，
故选：B．
二．填空题（共7小题）
10．（2021•南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝　180°−α2　（用含α的代数式表示）．

【分析】根据已知条件AB＝BD＝BC，可得∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD，根据三角形内角和定理可得∠ABD+∠BAD+∠BDA＝180°，∠DBC+∠BDC+∠BCD＝180°，根据四边形内角和为360°，可得∠ABD+∠BAD+∠BDA+∠DBC+∠BDC+∠BCD＝360°，根据已知条件可得2∠ADC＝360°﹣α，即可得出答案．
【解答】解：∵AB＝BD＝BC，
∴∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD，
∵四边形内角和为360°，
∴∠ABD+∠BAD+∠BDA+∠DBC+∠BDC+∠BCD＝360°，
∴∠ABC+∠ADB+∠ADB+∠BDC+∠BDC＝360°，
即∠ABC+2∠ADB+2∠BDC＝360°，
∵∠ABC＝α，∠ADB+∠BDC＝∠ADC，
∴2∠ADC＝360°﹣α，
∴∠ADC=180°−α2．
解法二：∵AB＝BC＝BD，∴A，C，D可看作是以点B为圆心，BD为半径的圆上的点，则弧AC所对的圆周角的度数为α2，
∴∠ADC＝180°−α2．
故答案为：180°−α2．
11．（2021•苏州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF．若∠CFE＝72°，则∠B＝　54　°．

【分析】根据等边对等角可得∠A＝∠AEF，再根据∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，求出∠A的度数，最后根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，即可求出∠B的度数．
【解答】解：∵AF＝EF，
∴∠A＝∠AEF，
∵∠A+∠AEF＝∠CFE＝72°，
∴∠A=12×72°＝36°，
在Rt△ABC中，∠A＝36°，
∴∠B＝90°﹣36°＝54°．
故答案为：54．
12．（2021•连云港）如图，OA、OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，∠AOB＝30°，∠OBC＝40°，则∠OAC＝　25　°．

【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOC＝100°，求出∠AOC，根据等腰三角形的性质计算．
【解答】解：连接OC，

∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°×2＝100°，
∴∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝100°+30°＝130°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA=12×（180°﹣∠AOC）=12×(180°−130°）＝25°，
故答案为：25．
13．（2021•高邮市二模）如图，△ABC中，AC＝BC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，若CD＝5，2∠ADC＝∠CAD，则AB＝　5　．

【分析】设∠ADC＝α，由2∠ADC＝∠CAD，根据角平分线定义得到∠CAD＝∠DAE＝2α，再根据三角形外角的性质得到∠B＝2α﹣α＝α＝∠ADC，可得AB＝AD，而AC＝BC，得到∠BAC＝∠B＝α，然后三角形外角的性质可得到∠ACD＝2α＝∠DAC，可得AD＝CD＝5，即可得出AB＝5．
【解答】解：设∠ADC＝α，
∵2∠ADC＝∠CAD，
∴∠CAD＝2α，
而AD平分∠CAE，
∴∠CAD＝∠DAE＝2α，
而∠EAD＝∠B+∠ADC，
∴∠B＝2α﹣α＝α＝∠ADC，
∴AB＝AD，
又∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B＝α，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝2α＝∠DAC，可得
∴AD＝CD＝5，
∴AB＝AD＝5．
故答案为：5．
14．（2021•泰兴市模拟）如图，在钝角△ABC中，AB＝AC，经过A、B两点的⊙O交BC于点D，则CDOB的最大值为 　2　．

【分析】作出辅助线，根据同弧所对的圆周角相等求出∠AED＝∠ABD，∠BAE＝∠BFE，再根据等腰三角形性质求角相等，再证相似，进一步证△ABE≌△ACD，推角相等，利用直径所对的圆周角是直角，用三角函数求比值．
【解答】解：在⊙O上取E，连接AE使AE＝AD，连接ED，延长BO交⊙O于点F，连接AF、EF，
∵∠AED、∠ABD对AD，
∴∠AED＝∠ABD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠AED＝∠ADE＝∠AED＝∠ABD．
∴△ABC∽△EAD，
∴∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
∴∠EAB＝∠DAC，
∵AE＝AD，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴CD＝BE，
∵BF为⊙O的直径，
∴∠BAF＝90°，
∵∠BAE、∠BFE对BE，
∴∠BAE＝∠BFE，
∴sin∠BFE=BEBF=CDBF=CD2OB，
∴sin∠BAE＝sin∠DAC=CD2OB，
∴CDOB=2sin∠CAD，
∵△ABC为钝角三角形，则∠CAD可取90°，
此时，2sin∠CAD最大值为2，
∴CDOB最大值为2．
故答案为2．

15．（2021•宿迁）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 　12　尺．

【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EC′的长为10尺，则C′B＝5尺，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解答】解：依题意画出图形，

设芦苇长AC＝AC′＝x尺，
则水深AB＝（x﹣1）尺，
∵C′E＝10尺，
∴C′B＝5尺，
在Rt△AC′B中，
52+（x﹣1）2＝x2，
解得x＝13，
即芦苇长13尺，水深为12尺，
故答案为：12．
16．（2021•南通）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为 　31010　．
【分析】由m﹣n2+4＝0可得3n2﹣9＝3m+3，根据点到坐标原点的距离可求解．
【解答】解：∵m﹣n2+4＝0，
∴n2﹣4＝m，
∴3n2﹣9＝3m+3，
∵P（m，3n2﹣9），
∴P点到原点的距离为m2+(3n2−9)2=m2+(3m+3)2=10m2+18m+9=10(m+910)2+910，
∴点P到原点O的距离的最小值为910=31010，
故答案为31010．
三．解答题（共3小题）
17．（2021•滨海县一模）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若∠BDE＝55°，求∠BAC的度数．

【分析】（1）根据∠B＝∠C，D是BC的中点，根据角平分线的性质即可得出结论．
（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）解：∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∵∠BDE＝55°，
∴∠B＝35°，
∴∠C＝35°，
∴∠BAC＝110°．

18．（2020•海淀区一模）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接DF．
（1）求证：△ABF是等边三角形；
（2）若∠CDF＝45°，CF＝2，求AB的长度．

【分析】（1）根据在▱ABCD中，∠ABC＝60°，可以得到∠DAB的度数，然后根据AF平分∠DAB，可以得到∠FAB的度数，然后等边三角形的判定方法即可得到△ABF是等边三角形；
（2）作FG⊥DC于点G，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以得到CG、FG的长，然后即可得到DG的长，从而可以得到DC的长，然后即可得到AB的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠DAB＝120°，
∵AF平分∠DAB，
∴∠FAB＝60°，
∴∠FAB＝∠ABF＝60°，
∴∠FAB＝∠ABF＝∠AFB＝60°，
∴△ABF是等边三角形；
（2）作FG⊥DC于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴∠FCG＝∠ABC＝60°，
∴∠GFC＝30°，
∵CF＝2，∠FGC＝90°，
∴CG＝1，FG=3，
∵∠FDG＝45°，∠FGD＝90°，
∴∠FDG＝∠DFG＝45°，
∴DG＝FG=3，
∴DC＝DG+CG=3+1，
∴AB=3+1，
即AB的长度是3+1．

19．（2020•淮阴区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
（1）求∠ECD的度数；
（2）若CE＝5，求BC的长．

【分析】（1）由线段垂直平分线定理计算即可求出值；
（2）利用等腰三角形的性质计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE，
∴∠ECD＝∠A＝36°；
（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°．
∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠BEC，
∴BC＝CE＝5．