2022届上海市青浦区高三二模数学试卷及答案

上海市青浦区2022届高三数学一模试卷

一、填空题

1．（2022·青浦模拟）若全集，则集合　          　.

【答案】

【考点】交、并、补集的混合运算

【解析】【解答】由题可知，，

故。

故答案为：。

【分析】利用已知条件结合交集和补集的运算法则，进而求出集合。

2．（2022·青浦模拟）不等式的解集是　                 　.

【答案】

【考点】其他不等式的解法

【解析】【解答】，即，，等价转化为，解得。

故答案为：。

【分析】利用已知条件结合分式不等式求解集的方法，进而求出不等式的解集。

3．（2022·青浦模拟）已知为等差数列，的前5项和，，则　     　．

【答案】11

【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和

【解析】【解答】设等差数列的公差为，

因为，，

所以，解得，

所以。

故答案为：11。

【分析】利用已知条件结合等差数列前n项和公式和等差数列的通项公式，进而求出首项和公差，再结合等差数列的通项公式，进而求出等差数列第10项的值。

4．（2022·青浦模拟）已知的图象经过点，的反函数为，则的图象必经过点　     　.

【答案】

【考点】反函数

【解析】【解答】由题意可得，则，即，故函数的图象必过点。

故答案为：。

【分析】利用已知条件结合原函数与反函数的图象对称关系，进而求出反函数的图像必过的点的坐标，再利用图象的平移得出函数 的图象必经过点的坐标。

5．（2022·青浦模拟）的二项展开式中项的系数为　     　

【答案】84

【考点】二项式定理的应用

【解析】【解答】的二项展开式的通项公式：，

由得，，

所以展开式中项的系数为84。

故答案为：84。

【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出 的二项展开式中项的系数。

6．（2022·青浦模拟）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18 cm的扇形，则圆锥的母线与底面所成角的余弦值为　     　.

【答案】

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；直线与平面所成的角

【解析】【解答】设母线长为，底面半径为，则依题意易知 cm，

由，代入数据即可得 cm，

因此所求角α的余弦值，即为。

故答案为：。

【分析】设母线长为，底面半径为，依题意易知的值，再由，从而代入数据可r的值，再结合余弦函数的定义得出圆锥的母线与底面所成角的余弦值。

7．（2022·青浦模拟）已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，中点横坐标为，则此双曲线的方程是　          　.

【答案】

【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系

【解析】【解答】设点、，

由题意可得，，，

直线的斜率为，

则，两式相减得，

所以，

由于双曲线的一个焦点为，则，，，

因此，该双曲线的标准方程为。

故答案为：。

【分析】设点、，再利用中点坐标公式结合已知条件得出的值，进而结合代入法得出的值，再利用两点求斜率公式，进而得出直线的斜率，再利用代入法结合作差法得出的值，由于双曲线的一个焦点为，再结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而得出a,b的值，进而求出该双曲线的标准方程。

8．（2022·青浦模拟）设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，，则　     　.

【答案】

【考点】向量的物理背景与概念；数量积表示两个向量的夹角

【解析】【解答】∵，，

∴，

∴，∴。

故答案为：。

【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，得出向量与的夹角的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式得出向量与的夹角的正弦值，再利用向量积的模求解公式，进而求出向量与的向量积的模。

9．（2022·青浦模拟）把1､2､3､4､5这五个数随机地排成一个数列，要求该数列恰好先递增后递减，则这样的数列共有　     　.

【答案】14

【考点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题

【解析】【解答】该数列为先增后减，则5一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，

当5前面只有一个数时，有4种情况，

当5前面只有2个数时，有种情况，

当5前面有3个数时，有4种情况，

故一共有。

故答案为：14。

【分析】利用已知条件结合组合数公式和分类加法计数原理，进而求出这样的数列共有的个数。

10．（2022·青浦模拟）已知函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则　     　.

【答案】2

【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；两角和与差的正切公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

【解析】【解答】因为左右平移不改变最值，即与的最值相同，

则，所以，，

因为向右平移个单位得到：

，

而，

所以，

则，即，

从而得出。

故答案为：2。

【分析】利用左右平移不改变最值，即与的最值相同，再利用勾股定理结合实数a的取值范围，进而求出实数a的值，再利用正弦型函数的图像变换结合两角和的正弦公式，得出，再利用，所以，再利用同角三角函数基本关系式得出的值，再结合两角差的正切公式，进而求出的值。
 

11．（2022·青浦模拟）已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是　               　.

【答案】﹣≤a≤2

【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数恒成立问题；一元二次方程的解集及其根与系数的关系

【解析】【解答】画出函数的图像如下图所示，

而，是两条射线组成，且零点为.将向左平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得，将向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得，根据图像可知。

【分析】利用分段函数的解析式画出分段函数的图像，再利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，再利用此分段函数的图像得出函数是两条射线组成，且零点为，将向左平移，直到和函数图像相切的位置，再联立方程组，化简得，再结合判别式法得出a的值，将函数向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程组并化简得，再结合判别式法得出a的值，再根据两分段函数的图像可知实数a的取值范围。

12．（2022·青浦模拟）若数列：中的每一项都为负数，则实数的所有取值组成的集合为　                         　.

【答案】

【考点】函数恒成立问题；数列的极限；类比推理

【解析】【解答】当时，，

，不符合题意，

又因为，所以，则均成立，

则，

即，，以此类推，

对一切正整数恒成立，

因为当时，，则，

所以，解得：，

经检验，符合题意，

综上所述，实数的所有取值组成的集合为。

故答案为：。

【分析】当时结合二倍角的余弦公式得出，进而结合二倍角的余弦公式得出，再利用，所以，则均成立，再结合二倍角的余弦公式得出，即，，以此类推，得出对一切正整数恒成立，再利用数列求极限的方法，得出的值，从而得出，再结合检验法得出实数的所有取值组成的集合。

二、单选题

13．（2022·青浦模拟）下列条件中，能够确定一个平面的是（　　）

A．两个点 B．三个点

C．一条直线和一个点 D．两条相交直线

【答案】D

【考点】平面的基本性质及推论

【解析】【解答】对于A，两个点能确定一条直线，但一条直线不能确定一个平面，所以两个点不能确定一个平面；

对于B，三个不共线的点可以确定一个平面，若三个点共线，则不能确定一个平面，B不能；

对于C，一条直线和这条直线外一点能确定一个平面，若这个点在直线上，则不能确定一个平面，C不能；

对于D，两条相交直线能确定一个平面，D能.

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合确定一个平面的方法，进而找出能够确定一个平面的选项。

14．（2022·青浦模拟）已知公差为的等差数列的前项和为，则“，对，恒成立”是“”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断

【解析】【解答】⇔⇔

∴“，对，恒成立”等价于“”对于，恒成立，

显然“”对于，恒成立，等价于“”,

∴“，对，恒成立”是“”的充分必要条件。

故答案为：C.

【分析】利用已知条件ieh充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“，对，恒成立”是“”的充分必要条件。

15．（2022·青浦模拟）已知均为复数，则下列命题不正确的是（　　）

A．若则为实数 B．若，则为纯虚数

C．若，则为纯虚数 D．若，则

【答案】C

【考点】复数的基本概念；复数相等的充要条件

【解析】【解答】由题意，设复数，

对于A中，由，即，解得，所以复数为实数，所以A符合题意；

对于B中，复数，因为，可得，所以复数为纯虚数，所以是正确的；

对于C中，当时，满足，所以复数不一定为纯虚数，所以不正确；

对于D中，由，可得，即，解得或，

所以，所以是正确的.

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合复数相等的判断方法、复数的乘法运算法则，复数与0的关系，再利用复数求模公式，再结合复数为实数、纯虚数的定义，从而找出命题不正确的选项。

16．（2022·青浦模拟）从圆上的一点向圆引两条切线，连接两切点间的线段称为切点弦，则圆内不与任何切点弦相交的区域面积为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【考点】圆方程的综合应用

【解析】【解答】如图所示，

设为上一点，为圆与的两条切线，为切点弦，因为切点弦有无数条，当无数条切点弦交汇时，圆内不与任何切点弦相交的区域恰好构成虚线部分圆的面积，，则，由等面积法得，解得，又在三角形中，由勾股定理可得，则以为半径的圆的面积为，故圆内不与任何切点弦相交的区域面积为。

故答案为：B

【分析】设为上一点，为圆与的两条切线，为切点弦，因为切点弦有无数条，当无数条切点弦交汇时，圆内不与任何切点弦相交的区域恰好构成虚线部分圆的面积，，再利用勾股定理得出AB的长，由等面积法得出BD的长，在三角形中，由勾股定理可得OD的长，再利用圆的面积公式得出以为半径的圆的面积，进而求出圆内不与任何切点弦相交的区域面积。

三、解答题

17．（2022·青浦模拟）在正四棱柱中，，连接，得到三棱锥的体积为2，点分别为和的中点.

（1）求正四棱柱的表面积；

（2）求异面直线与所成角的大小.

【答案】（1）解：由题可知，正四棱柱中，则平面，

又，三棱锥的体积为2，

则，

所以，

所以正四棱柱的表面积为：.

（2）解：点分别为和的中点，，

则异面直线与所成角，即为直线与所成角，

则或其补角是异面直线与所成角，

，，平面，

平面，则平面，则，

而，，，

所以在中，，

，

即异面直线与所成角的大小为.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；异面直线及其所成的角

【解析】【分析】(1) 由题可知，在正四棱柱中，则平面，再利用结合三棱锥的体积为2，再利用三棱锥的体积公式，从而结合等体积法，进而求出的值，再利用正四棱柱的表面积公式，进而求出正四棱柱的表面积。
（2）利用点分别为和的中点，再结合中点作中位线的方法结合中位线的性质，进而推出，则异面直线与所成角，即为直线与所成角，则或其补角是异面直线与所成角，再利用结合线线垂直证出线面垂直，所以平面，则平面，再利用线面垂直的定义，从而证出线线垂直，则，再结合勾股定理得出的长，再利用结合勾股定理得出的长，在中结合余弦函数的定义，进而求出的值，再结合反三角函数值的求解方法，进而求出异面直线与所成角的大小。

18．（2022·青浦模拟）已知，，

（1）求的最小正周期及单调递减区间；

（2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值．

【答案】（1）解：

．

的最小正周期为：；

当时，

即当时，函数单调递减，

所以函数单调递减区间为：；

（2）因为，所以

，，

，．

设边上的高为，所以有，

由余弦定理可知：，

，，

（当用仅当时，取等号），所以，

因此边上的高的最大值.

【考点】函数的单调性及单调区间；基本不等式在最值问题中的应用；三角函数的周期性及其求法；余弦定理

【解析】【分析】（1）利用诱导公式合二倍角的正弦公式，再结合辅助角公式化简函数为正弦型函数，再利用正弦型函数的最小正周期公式，进而求出正弦型函数f(x)的最小正周期，再利用正弦型函数的图象判断出其单调性，进而求出正弦型函数的单调递减区间。
（2）利用 结合代入法合角A的取值范围，进而求出角A的值，设边上的高为，再利用三角形的面积公式得出，由余弦定理结合均值不等式求最值的方法，进而求出bc的最大值，进而求出边上的高的最大值。

19．（2022·青浦模拟）考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内.已知汽车以公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为升，其中为常数，不同型号汽车值不同，且满足.

（1）若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围；

（2）求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值.

【答案】（1）解：由题意可知，当时，，解得：，

由，即，解得：，

因为要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内，

即，所以，

故汽车每小时的油耗不超过9升，求车速的取值范围.

（2）解：设该汽车行驶100千米的油耗为升，

则，

令，则，

所以，，

可得对称轴为，由，可得，

当时，即时，

则当时，；

当，即时，

则当时，；

综上所述，当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升；

当时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为升.

【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数模型的选择与应用

【解析】【分析】（1） 由题意可知，当时，，从而求出k的值，由，从而解一元二次不等式求解集的方法，进而求出v的取值范围，再利用要求高速公路的车速（公里/小时）控制在范围内，从而得出v的取值范围，再结合交集的运算法则，进而求出v的取值范围，从而得出汽车每小时的油耗不超过9升时的车速的取值范围。
（2) 设该汽车行驶100千米的油耗为升，再结合已知条件得出，利用换元法，令，则，所以，，再利用分类讨论的方法结合二次函数的图象的开口方向和对称性，从而判断出二次函数的单调性，进而求出二次函数的最小值，从而得出不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值。

20．（2022·青浦模拟）已知抛物线.

（1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）；

（2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数

（3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，联立得

，，设，

则；

（2）由题可设过点的一条直线交抛物线于，交直线于，另一条直线交抛物线于，交直线于，则，，直线方程可表示为：，直线方程可表示为：，联立直线与抛物线方程可得

，故，即，同理联立直线和抛物线方程化简可得，故，，即

（3）假设存在点满足，

设，，

则，易知，

化简得，即，

当时，，当且仅当时取到等号，故；

当时，，当且仅当时取到等号，因为，故，令，则，但能取到，此时，故；

故，

【考点】抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1） 由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线的斜截式方程为，设，再利用直线与抛物线相交，联立二者方程结合韦达定理，得出，再结合数量积的坐标表示得出 的值。

（2） 由题可设过点的一条直线交抛物线于，交直线于，另一条直线交抛物线于，交直线于，则，再利用两点求斜率公式得出，再利用点斜式设直线方程为：和直线方程为：，再利用直线与抛物线相交，联立直线与抛物线方程可得，同理联立直线和抛物线方程化简可得，故，从而证出 为常数 。
（3） 假设存在点满足，设，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，即，再利用数量积的坐标表示结合，从而可得，再利用分类讨论的方法结合均值不等式求最值的方法，进而求出点 的纵坐标的取值范围。

21．（2022·青浦模拟）如果数列每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数满足，则称数列具有性质.

（1）若（均为正实数），判断数列是否具有性质；

（2）若数列都具有性质，证明：数列也具有性质；

（3）设实数，方程的两根为，若对任意恒成立，求所有满足条件的.

【答案】（1）对，可看作以为首项，为公比的等比数列，故，故具有性质；

对，若满足，即，整理得，即，，因为，所以不成立，所以不具有性质；

（2）若都具有性质，则，，

，，，

要证数列也具有性质，即证，即，整理得：，因为，，即证①，

因为，，所以，

所以，，

由基本不等式可得，①得证；

（3）由方程的两根为可得，

，，，，，

，即，所以放缩得，即，

当时，；当时，，

所以，即恒成立，故，解得，又，故只能.

【考点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用；数列的函数特性；等比数列

【解析】【分析】（1） 利用数列每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数满足，则称数列具有性质，再利用等比数列的定义和已知条件，进而判断出数列 具有性质和数列 不具有性质。
（2）利用已知条件结合数列每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数满足，则称数列具有性质，再利用分析法的证明方法结合基本不等式求最值的方法，进而证出数列也具有性质。
（3） 由方程的两根为，再结合韦达定理，可得，所以，，，，，再结合均值不等式求最值的方法得出，即，再利用放缩法得出所以放缩得出，当时，；当时，，所以恒成立，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而求出实数a 的取值范围，再结合，从而结合交集的运算法则，进而求出实数a的值。