陕西省西安2022届高三第二次模拟考试数学(文)及答案练习题
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这是一份陕西省西安2022届高三第二次模拟考试数学(文)及答案练习题,共13页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
陕西省西安中学高 2022 届高三第二次模拟考试文科数学试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 请将正确答案填写在答题
纸相应位置.
1. 若复数 z = i2022 + | 3 + 4i | ,则 z 的虚部为( )
3 - 4i
A. - 4 5
B. 4 5
C. - 2 i
5
D. 2 i
5
2. 矩形表示全集U = R ,大圆表示 A = {x 0x2},小圆表示 B = {x x2 - x > 0} ,则阴影表示集合( )
A. {x | x1或x > 2}
C. {x 1x < 2}
B. {x | x < 0或1 < x < 2}
D. {x 1 < x2}
第 2 题图
3. 已知直线l1 : 2x + ay + 2 = 0 与直线l2 : (a -1)x + 3y + 2 = 0 平行,则 a = ( )
A. 3
B. -2
C. -2 或 3
D. 5
4. 设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x > 0 时, f (x) = 2x - 3 ,则 f (-1) = ( )
A. 1
B. -1
C. 1 4
D. - 11
4
5. 设 x Î[0,p],则2 sin x < 1 的概率为( )
A. 1 6
B. 1 4
C. 1 3
D. 1 2
íx - 3y - 3 £ 0
6. 若 x, y 满足ì2x - y +1 ³ 0, 且 z = x + 2 y ,则 z ( )
î
A. 有最小值,有最大值 B. 无最小值,无最大值
C. 有最小值,无最大值 D. 有最大值,无最小值
7. 执行如下程序框图,若输入 N = 6 ,则输出 p 的值是( )
A. 720
B. 120
C. 5040
D. 1440
8. 已知函数 f ( x) =
3 sin 2x - 2 cos2 x ,下列结论中错误的是( )
ç ÷
, )
A. f (x) 的图像关于æ p , -1ö 中心对称 B. f (x) 在(5p 11p 上单调递减
è 12 ø
12 12
C. f (x) 的图像关于 x = p对称
3
D. f (x) 的最大值为 1
9. 若m, n 为两条不同直线,a,b为两个不同平面,则下列命题中正确的有( )
(1)m Ìa, n Ì a, m // b, n // bÞa// b
(2)n // m , n ^aÞ m ^a
(3)a// b, m Ìa, n Ì bÞ m // n
(4)m ^a, m ^ n Þ n //a
第 7 题图
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
10. 某大学生暑假到工厂参加劳动,生产了 100 件产品,质检人员测量其长度(单位:厘米),将所得数据分成 6 组:
[90,91),[91,92),[92,93),[93,94),[94,95),[95,96],得到如图所示的频率分
布直方图,则对这 100 件产品,下列说法中不正确的是( ).
A. b=0.25
B. 长度落在区间[93,94)内的个数为 35
C. 长度的中位数一定落在区间[93,94)内
D. 长度的众数一定落在区间[93,94)内
x2 y2
2 2 2
11. 双曲线 a2 - b2 =1(a > 0, b > 0) 左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 作圆 x + y = a
的切线,交双曲线右支于M ,若ÐF MF = p,则双曲线的渐近线方程为( )
1 2 4
A. y = ± 2x
B. y = ± 3x
C. y = ± x
D. y = ±2x
12. 已知函数 f (x) = 1 x3 + 1 ax2 + bx + c 有两个极值点 x , x ,若 f (x ) = x ,则关于
3 2 1 2 1 1
x 的方程 f 2 (x) + af (x) + b = 0 的不同实根个数为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请将正确答案填写在答题纸相应位置.
r r r r r
13. 已知a = (1, -2) , b = (2, 3) ,则a × (2b - a) = .
14. 下列式子:
13 = (1´1)2 ,
13 + 23 + 33 = (2 ´ 3)2 ,
13 + 23 + 33 + 43 + 53 = (3´ 5)2 ,…
由此可推得,
åi3
i=1
99
= 13 + 23 + 33 +L+ 993 的值为 .
D a2 + b2 - c2
15.
ABC 中, A, B, C 的对边分别为a, b, c ,面积为 ,则C = .
4
16. 已知正三棱柱的各条棱长均为 1,则以其一个顶点为球心,1 为半径的球面与正三棱柱各个面的交线的长度之和为 .
三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~ 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.
17. 随着综合国力逐步增强,西北某地区大力兴建防风林带,引水拉沙,引洪淤地,开展了改造沙漠的巨大工程,该地区于 2017 年投入沙漠治理经费 2 亿
元,从 2018 年到 2020 年连续 3 年每年增加沙漠治理经费 1 亿元,近 4 年沙漠治理经费投入 x (亿元)和沙漠治理面积 y (万亩)的相关数据如下表所示:
年份
2017
2018
2019
2020
x
2
3
4
5
y
26
39
49
54
(I) 建立 y 关于 x 的线性回归方程;
(II) 若保持以往的经费增加幅度,请预测到哪一年沙漠治理面积突破 100 万亩.
参考公式:
å
n
(xi - x )( yi - y)
n
b = i=1 , a = y - bx .
å(xi - x )
2
i=1
18. (12 分)已知数列{an }满足a1 = 3, a2 = 15, an+2 = 5an+1 - 4an .
(I) 设bn = an+1 - an ,求证数列{bn }是等比数列;
(II) 设cn = 10 - log2 (an +1) ,求数列{cn }的前n 项和Tn 的最值.
第 19 题图
19. (12 分)如图,已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 中,E 为 AB 上一点,且DC = 2 AA1 = 2 AD = 4 AE = 4.
(I) 求证:平面 B1DE ^ 平面 AA1C1C ;
(II) 求三棱锥C1 - A1DE 的体积.
2
20. (12 分)椭圆C : x
a2
2
y
+ = 1(a > b > 0) 右焦点为 F (2, 0) ,且点(2, 2) 在C 上.
b2
(I) 求椭圆C 的方程及离心率;
(II) 过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点( 直线不与 x 轴垂直) ,已知 A, P 两点关于 x
轴对称,证明:直线 PB 恒过定点,并求出此定点坐标.
21. (12 分)已知函数 f (x) = a ln x + x -1(a Î R), g(x) = xex .
(I) 求曲线 y = g(x) 在 x = 1 处的切线方程;
(II) 讨论 f (x) 的单调性;
(III) 若 y = f (ex ) - ax +1 与 y = g(a) + ea ln x 图象有两个不同公共点,求 a 的范围.
22. (10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程:
在直角坐标系 xoy 中,曲线C 的参数方程为ìïx = 3 cosaa为参数) ,以
ï
î
1 í y = sina (
坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2 的极坐标方
)
程为rsin(q+ p
= 2 2.
4
(I) 写出直角坐标系下C1 的标准方程和C2 的直角坐标方程;
(II) 设点 P 在C1 上,点Q 在C2 上,求| PQ | 的最小值及此时 P 的直角坐标.
23.(10 分)选修 4-5:不等式选讲
设函数 f ( x) =
x - a +1, a Î R
(I) 当a = 4 时,解不等式 f ( x) < 1+ 2x +1 ;
(II) 若 f (x)2 的解集为[0, 2] , 1 + 1 = a(m > 0, n > 0) ,求m + 2n 的最小值.
m n
陕西省西安中学高 2022 届高三第二次模拟考试文科数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
B
A
C
C
A
B
B
D
A
B
13. -13 ; 14. 4950; 15. p
4
16. 3p
2
17. (1)
2+3+4+5
x
3.5
26+39+49+54
y
42,
由已知数据和参考数据得 = =
4
, = =
4
4
∑(\a\vs4\al\co1(xi-\x\to(x)))(\a\vs4\al\co1(yi-\x\to(y)))=(-1.5)×(-16)+(-0.5)×(-3)+0.5×7
i=1
+1.5×12=47,
4
∑(\a\vs4\al\co1(xi-\x\to(x)))2=(-1.5)2+(-0.5)2+0.52+1.52=5,
i=1
4
^ ∑i=1(\a\vs4\al\co1(xi-\x\to(x)))(\a\vs4\al\co1(yi-\x\to(y))) 47 ^ ^
b=
=9.1.
4
∑i=1(\a\vs4\al\co1(xi-\x\to(x)))2
= 5 =9.4 ,a=y-bx=42 -9.4×3.5
^
所以线性回归方程为y=9.4x+9.1.
7 分
919
(2 由y = 9.4x + 9.1 > 100得x > 94 ,而x ∈ Z,于是x ≥ 10. 所以到2025 年沙漠治理面积可突破100
万亩..
12 分
18. (1) 由 an+2 = 5an+1 - 4an ,可知 an+2 - an+1 = 4(an+1 - an ) ,即bn+1 = 4bn , 由 a1 = 3, a2 = 15 可知, b1 = a2 - a1 = 12 ,
所以{bn }是以 12 为首项,4 为公比的等比数列。
5 分
(2) 由(1) 知, a - a = b
= 12 ´ 4n-1 = 3´ 4n ,
n+1 n n
所 以 a = (a - a
) + (a
- a ) +L+ (a - a ) + a =4n -1 , 所 以
n n n-1
n 2
c = 10 - log 4n = 10 - 2n ,
n-1
n-2 2 1 1
所以, Tn 无最小值,最大值为T4 = T5 = 20.
12 分
19. (1) 证明: 在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中,
A1 A ^ 平面 ABCD , DE Ì 平面 ABCD ,所以 A1 A ^ DE.
因 为 DC = 2 AA1
ÐDAC = ÐDEA.
= 2 AD = 4 AE = 4 , 所 以
AE = AD , 所 以 RtVADE ∽ RtVDCA , 则
AD DC
因为ÐDEA + ÐADE = 90° ,所以ÐDAC + ÐADE = 90°,则 DE ^ AC.
又 A1 AIAC = A , AA1 Ì 平面 AA1C1C , AC Ì 平面 AA1C1C ,
所以 DE ^ 平面 AA1C1C ,又 DE Ì 平面 B1DE ,所以平面 B1DE ^ 平面 AA1C1C.
6 分
(2) 解:由(1) 知 DE ^ 平面 AA1C1C ,设 AC 与 DE 交于点 F,连接 A1F , C1F ,
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
则VC - A DE = VD- A C F + VE ¢- A C F = 3 EF × SVA C F + 3 DF × SVA C F = 3 DE × SVA C F .
易知 DE =
= 5, AC = = 2 ,
AD2 + AE2
AB2 + BC 2
5
1 1
在矩形 AA1C1C 中,易知 SVA FC = 2 S四边形AA C C = 2 ´ 2 5 ´ 2 = 2 5 ,
1 1 1 1
1 1 10
5
1 1 1 1
所以VC - A DE = 3 DE × SVA C F = 3 ´
5 ´ 2 = .
3
12 分
ì 4 + 2
= 1,
ï a2 b2 ì 2
20.
ï 2 2 2 a
(1) 由已知得 a = b + c , 解得í
= 8,
í
ï
ï c = 2,
î
x2 y2
îb2 = 4,
2
c 2
2 2
\椭圆 C 的标准方程为 + = 1,\椭圆 C 的离心率 e = = = .
8 4 a 2
4 分
(2) 证明:设 P(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) ,则 A(x1 , - y1 ) ,
ï
ì y = kx + m,
可设 PB 的直线方程为 y = kx + m ,联立方程í x2 + y2 =
2 2 2
ïî 8 4
1,
-4km
2m2 - 8
整理得(2k
+1)x
+ 4kmx + 2m
- 8 = 0 ,\ x1 + x2 = 2k 2 +1 , x1 x2 =
2k 2 +1 ,
Q k = k
,\ y1 = y2 ,整理得2kx x
+ (m - 2k )(x + x ) - 4m = 0 ,
AF FB
2 - x1 x2 - 2
1 2 1 2
2m2 - 8 -4km
\ 2k × + (m - 2k ) × - 4m = 0 ,解得 m = -4k ,
2k 2 +1 2k 2 +1
\ PB 的直线方程为: y = kx - 4k = k (x - 4) ,则直线 PB 恒过定点(4, 0).
12 分
21. (Ⅰ) g′(x) = ex +???,?′(1) = 2?,?(1) = ?
所以,所求切线为y = 2e(x−1) +e,即2ex−y−e = 0.
3 分
a x + a
(Ⅱ) 因为 f (x) = a ln x + x -1(a Î R) ,所以 f ¢(x) = +1 = (x > 0).
x x
①当 a
0 , f ¢(x) > 0 ,函数 f (x) 在(0, +¥) 上单调递增;
②当 a < 0 ,令 f (x) = 0 ,得 x = -a ,
所以 x Î(0, -a) 时, f ¢(x) < 0 ; x Î(-a, +¥) 时, f ¢(x) > 0 ,
所以 f (x) 在(0, -a) 上单调递减,在(-a, +¥) 上单调递增.
综上所述,当 a
0 , f (x) 的单调递增区间为(0, +¥) ,无单调递减区间;
当 a < 0 , f (x) 的单调递增区间为(-a, +¥) , f (x) 的单调递减区间为(0, -a).
7 分
(III)可知:方程 f (ex ) - ax +1 = ea (ln x + a) ,即ex = ea (ln x + a) 有两个不同的实根,
由ex = ea (ln x + a) 可得 xex = ea+ln x (ln x + a).
令 g(x) = xex ,因为 x > 0 时, g¢(x) = (x +1)ex > 0 ,所以 g(x) 在(0, +¥) 上单调递增,
要使 g(x) = g(ln x + a) 有两个不同的实根,则需 x = ln x + a 有两个不同的实根.
1
令 h(x) = x - ln x - a ,则 h¢(x) = 1- =
x -1
,
x x
当 x Î(0,1) 时, h¢(x) < 0 , h(x) 单调递减;当 x Î (1, +¥) 时, h¢(x) > 0 , h(x) 单调递增, 所以 h(x)min = h(1) = 1- a.
①若 a < 1 ,则 h(x) > 0 , h(x) 没有零点;
②若 a = 1 ,则 h(x)
0 ,当且仅当 x = 1 时取等号, h(x) 只有一 个零点;
③若 a > 1 ,则 h(1) = 1- a < 0 , h(e- a ) = e- a > 0 , h(ea ) = ea - 2a.
令j(a) = ea - 2a ,则当 a > 1 时,j¢(a) = ea - 2 > e - 2 > 0 ,即j(a) 在(1, +¥) 上单调递增,
所以j(a) >j(1) = e - 2 > 0 ,即 h(ea ) > 0.
故此时 h(x) 在(0,1) 上有一个零点,在(1, +¥) 上有一个零点,符合条件.
综上可知,实数 a 的取值范围是 (1, +¥).
12 分
22.
ìïx =
(1) 曲线C 的参数方程为
3 cosa
a为参数) ,
ï
î
1 í y = sina (
x2 2 2 2
x2 2
移项后两边平方可得 + y
3
= cos a+ sin
a= 1 ,所以C1 的普通方程为 3 + y
= 1;
p 2 2
2
2
曲线C2 的极坐标方程为rsin(q+ 4 ) = 2
,即r(
2
sinq+
cosq) = 2 ,
2
由 x = rcosq, y = rsinq得 x + y - 4 = 0 ,即C2 的直角坐标方程为直线 x + y - 4 = 0 ;
(2)由题意可得当直线 x + y - 4 = 0 的平行线与椭圆相切时,两平行线间的距离为| PQ | 的最
小值,设与直线 x + y - 4 = 0 平行的直线方程为 x + y + t = 0 ,
íx2 + 23y = 3
联立ì x + y + t = 0 可得 4x2 + 6tx + 3t 2 - 3 = 0 ,由 V= 36t 2 -16(3t 2 - 3) = 0 ,解得 t = ±2 ,
î
显然t = -2 时,| PQ | 取得最小值,即有| PQ |min
= | -4 - (-2) | = ,
2
1+1
此时4x2 -12x + 9 = 0 ,解得 x = 3 ,即为
2
3 1
P( , ).
2 2
23. (1) 当 a = 4 时,不等式 f (x) < 1+ | 2x +1| 即为| x - 4 | 0 ,解得 x > 1 或 x < -5,
所以原不等式的解集为{x x < -5或x > 1} ;
(2) 证明:由 f (x)2 得| x - a | 1,从而-1+ ax1+ a ,
í
Q f (x)1 的解集为{x | 0x2},\ì-1+ a = 0 得 a = 1 ,\ 1 + 1 = a = 1.
î1+ a = 2 m n
2
又 m > 0 , n > 0 ,\ m + 2n = (m + 2n)( 1 + 1 ) = 3 + ( 2n + m )
3 + 2 ,
m n m n
2
当且仅当 m = 1+
, n = 1+
时,取等号,故 m + 2n
3 + 2
2
2
2
,得证
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