2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷

这是一份2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷，共37页。

2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑
1．（3分）（2021•绥化）现实世界中，对称无处不在，在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2021•绥化）据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次，把704000000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．7.04×107 B．7.04×109 C．0.704×109 D．7.04×108
3．（3分）（2021•绥化）如图所示，图中由7个完全相同小正方体组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）（2021•绥化）若式子x0x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0
5．（3分）（2021•绥化）定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+|﹣b|，那么（-12）▲2的值是（　　）
A．﹣3 B．5 C．-34 D．32
6．（3分）（2021•绥化）下列命题是假命题的是（　　）
A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
7．（3分）（2021•绥化）下列运算正确的是（　　）
A．（a5）2＝a7 B．x4•x4＝x8 C．9=±3 D．3-27-3=23
8．（3分）（2021•绥化）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形
9．（3分）（2021•绥化）近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月A，B两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的员工支付金额a（元）分布情况如表：
支付金额a（元）
0＜a≤1000
1000＜a≤2000
a＞2000
仅使用A
36人
18人
6人
仅使用B
20人
28人
2人
下面有四个推断：
①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的为800人；
②本次调查抽取的样本容量为200人；
③样本中仅使用A种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．
其中正确的是（　　）
A．①③ B．③④ C．①② D．②④
10．（3分）（2021•绥化）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天可生产x箱药品，则下面所列方程正确的是（　　）
A．6000x=4500x+500 B．6000x-500=4500x
C．6000x=4500x-500 D．6000x+500=4500x
11．（3分）（2021•绥化）已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是（　　）

A．532 B．52 C．5 D．3
12．（3分）（2021•绥化）如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接EF、BG、BE，EF与BG交于点N．则下列结论成立的是（　　）
①BN＝AB；
②当点G与点D重合时，EF=352；
③△GNF的面积S的取值范围是94≤S≤72；
④当CF=52时，S△MEG=3134．

A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.
13．（3分）（2021•绥化）在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是 　 　．
14．（3分）（2021•绥化）在实数范围内分解因式：ab2﹣2a＝　 　．
15．（3分）（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 　 　cm．
16．（3分）（2021•绥化）当x=2021+3时，代数式(x+3x2-3x-x-1x2-6x+9)÷x-9x的值是 　 　．
17．（3分）（2021•绥化）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25，则在购买方案中最少费用是 　 　元．
18．（3分）（2021•绥化）已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则1m+1n=　 　．
19．（3分）（2021•绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是 　 　．
20．（3分）（2021•绥化）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y=kx（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为 　 　．

21．（3分）（2021•绥化）在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝　 　．
22．（3分）（2021•绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n个图形中三角形个数是 　 　．

三、解答题（本题共7个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.
23．（6分）（2021•绥化）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 　 　cm．

24．（6分）（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于12；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求，出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．

25．（6分）（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈1.732）

26．（8分）（2021•绥化）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息．已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求CD和EF所在直线的解析式；
（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．

27．（9分）（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，AGAB=14，MN=3，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．

28．（9分）（2021•绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．
（1）求证：△CDE≌△CBH；
（2）当HBHD=15时，求FDFC的值；
（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．

29．（10分）（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y=-12x-52经过点A，且与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．


2021年黑龙江省绥化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑
1．（3分）（2021•绥化）现实世界中，对称无处不在，在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：A．
2．（3分）（2021•绥化）据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次，把704000000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．7.04×107 B．7.04×109 C．0.704×109 D．7.04×108
【解答】解：704000000＝7.04×108，
故选：D．
3．（3分）（2021•绥化）如图所示，图中由7个完全相同小正方体组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从几何体的左面看，共有三列，从左到右每列小正方形的个数分别为3、1、1．
故选：C．
4．（3分）（2021•绥化）若式子x0x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣1 B．x≥﹣1且x≠0 C．x＞﹣1且x≠0 D．x≠0
【解答】解：根据题意得：x+1＞0且x≠0，
解得：x＞﹣1且x≠0，
故选：C．
5．（3分）（2021•绥化）定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+|﹣b|，那么（-12）▲2的值是（　　）
A．﹣3 B．5 C．-34 D．32
【解答】解：根据题中的新定义得：
（-12）▲2
=(-12)-2+(-12)×2+|﹣2|
＝4﹣1+2
＝5．
故选：B．
6．（3分）（2021•绥化）下列命题是假命题的是（　　）
A．任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解答】解：A、任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边，正确，是真命题，不符合题意；
B、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，正确，是真命题，不符合题意；
C、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等或互补，故原命题错误，是假命题，符合题意；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，不符合题意，
故选：C．
7．（3分）（2021•绥化）下列运算正确的是（　　）
A．（a5）2＝a7 B．x4•x4＝x8 C．9=±3 D．3-27-3=23
【解答】解：A．（a5）2＝a10，故本选项不合题意；
B．x4•x4＝x8，故本选项符合题意；
C.9=3，故本选项不符合题意；
D.3-27-3=-3-3，故本选项不合题意；
故选：B．
8．（3分）（2021•绥化）一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（　　）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n﹣2）×180°，
依题意得（n﹣2）×180°＝360°×4，
解得n＝10，
∴这个多边形是十边形．
故选：C．
9．（3分）（2021•绥化）近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月A，B两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的员工支付金额a（元）分布情况如表：
支付金额a（元）
0＜a≤1000
1000＜a≤2000
a＞2000
仅使用A
36人
18人
6人
仅使用B
20人
28人
2人
下面有四个推断：
①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的为800人；
②本次调查抽取的样本容量为200人；
③样本中仅使用A种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用B种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．
其中正确的是（　　）
A．①③ B．③④ C．①② D．②④
【解答】解：①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用A，B两种支付方式的大约有2000×200-10-60-50200=800（人），此推断合理，符合题意；
②本次调查抽取的样本容量为200，故原说法错误，不符合题意；
③样本中仅使用A种支付方式的员工，第30、31个数据均落在0＜a≤1000，所以上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元，此推断合理，符合题意；
④样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的众数无法估计，此推断不正确，不符合题意．
故推断正确的有①③，
故选：A．
10．（3分）（2021•绥化）根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品？设原计划平均每天可生产x箱药品，则下面所列方程正确的是（　　）
A．6000x=4500x+500 B．6000x-500=4500x
C．6000x=4500x-500 D．6000x+500=4500x
【解答】解：设原计划平均每天可生产x箱药品，则现在平均每天可生产（x+500）箱药品，
依题意得：6000x+500=4500x．
故选：D．
11．（3分）（2021•绥化）已知在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5，点E为边AC上的动点，点F为边AB上的动点，则线段FE+EB的最小值是（　　）

A．532 B．52 C．5 D．3
【解答】解：作F关于AC的对称点F'，延长AF'、BC交于点B'，
∴∠BAB'＝30°，EF＝EF'，
∴FE+EB＝BE+EF'，
∴当B、E、F'共线且与AB'垂直时，长度最小，
即作BD⊥AB'于D，
在△ABD中，BD=12AB=52，

故选：B．
12．（3分）（2021•绥化）如图所示，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F分别是矩形的边AD、BC上的动点，将该纸片沿直线EF折叠．使点B落在矩形边AD上，对应点记为点G，点A落在M处，连接EF、BG、BE，EF与BG交于点N．则下列结论成立的是（　　）
①BN＝AB；
②当点G与点D重合时，EF=352；
③△GNF的面积S的取值范围是94≤S≤72；
④当CF=52时，S△MEG=3134．

A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
【解答】解：∵AB＝3是定值，BN=12BG，BG的长是变化的，
∴BN的值也是变化的，
∴BN与AB不一定相等，故①错误．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，
由翻折的性质可知FB＝FG，∠EFB＝∠EFG，
∴∠GEF＝∠EFG，
∴GE＝GF＝BF，
∵GE∥BF，
∴四边形BEGF是平行四边形，
∵FB＝FG，
∴四边形BEGF是菱形，
∴BE＝EG，
当D，G重合时，设BE＝DE＝x，则有x2＝32+（6﹣x）2，
∴x=154，
∵∠A＝90°，AB＝3，AD＝6，
∴BD=AB2+AD2=32+62=35，
∴S菱形BEDF＝DE•AB=12•BD•EF，
∴EF=2×3×15435=352，故②正确，
当D，G重合时，△GNF的面积最大，最大值=14×154×3=4516，
∴S△GNF≤4516，故③错误，
如图2中，当CF=52时，BF＝BE＝EG＝FG＝BC﹣CF＝6-52=72，
∴AE＝EM=BE2-AB2=(72)2-32=132，
∴S△MEG=12•ME•GM=12×132×3=3134，故④正确．
故选：D．


二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.
13．（3分）（2021•绥化）在单词mathematics（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“t”的概率是 　211　．
【解答】解：“mathematics”中共11个字母，其中共2个“t”，
任意取出一个字母，有11种情况可能出现，
取到字母“a”的可能性有两种，故其概率是211；
故答案为：211．
14．（3分）（2021•绥化）在实数范围内分解因式：ab2﹣2a＝　a（b+2）（b-2）　．
【解答】解：ab2﹣2a，
＝a（b2﹣2）﹣﹣（提取公因式）
＝a（b+2）（b-2）．﹣﹣（平方差公式）
15．（3分）（2021•绥化）一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 　40　cm．
【解答】解：设弧所在圆的半径为r，
由题意得，135πr180=2π×5×3，
解得，r＝40cm．
故应填40．
16．（3分）（2021•绥化）当x=2021+3时，代数式(x+3x2-3x-x-1x2-6x+9)÷x-9x的值是 　12021　．
【解答】解：原式＝[x2-9x(x-3)2-x2-xx(x-3)2]•xx-9
=x-9x(x-3)2•xx-9
=1(x-3)2，
当x=2021+3时，原式=1(2021+3-3)2=12021，
故答案为：12021．
17．（3分）（2021•绥化）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个A种奖品和4个B种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个B种奖品共需130元．学校准备购买A，B两种奖品共20个，且A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25，则在购买方案中最少费用是 　330　元．
【解答】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意得：2x+4y=1005x+2y=130，
解得：x=20y=15．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品（20﹣m）个．
∵A种奖品的数量不小于B种奖品数量的25，
∴m≥25（20﹣m），
∴m≥407，
又∵m为整数，
∴m≥6．
设购买总费用为w元，则w＝20m+15（20﹣m）＝5m+300，
∵5＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝5×6+300＝330．
故答案为：330．
18．（3分）（2021•绥化）已知m，n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，则1m+1n=　-32　．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两个根，
∴m+n＝3，mn＝﹣2，
∴1m+1n=m+nmn=-32．
故答案为：-32．
19．（3分）（2021•绥化）边长为4cm的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是 　233　．
【解答】解：∵正六边形的边长为4cm，
∴正六边形的半径是4cm，
则外接圆的半径4cm，
内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是GO=32×4＝23，
因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为423=233．
故答案为：233．

20．（3分）（2021•绥化）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，MN垂直于x轴，以MN为对称轴作△ODE的轴对称图形，对称轴MN与线段DE相交于点F，点D的对应点B恰好落在y=kx（k≠0，x＜0）的双曲线上，点O、E的对应点分别是点C、A．若点A为OE的中点，且S△AEF＝1，则k的值为 　﹣24　．

【解答】解：如图，连接OB，
由于Rt△DOE与Rt△BCA关于MN成轴对称，且OA＝AE，
由对称性可知，AG＝GE，OA＝AE＝EC，
∴AG=14AC，
∵S△AEF＝1，
∴S△AFG=12S△AEF=12，
∵MN∥BC∥OD，
∴△AFG∽△ABC，
∴S△AFGS△ABC=（AGAC）2=116，
∴S△ABC=12×16＝8，
又∵OA=12AC，
∴S△OAB=12S△ABC＝4，
∴S△OBC＝8+4＝12，
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴S△OBC＝12=12|k|，
∵k＜0，
∴k＝﹣24，
故答案为：﹣24．

21．（3分）（2021•绥化）在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝　1或2或-2+344　．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，

∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=42+42=42，
∴OB＝22，
∵PB＝3PC，
∴设PC＝x，则PB＝3x，
有三种情况：
①点P在BC上时，如图2，

∵AD＝4，PB＝3PC，
∴PC＝1；
②点P在AC上时，如图3，

在Rt△BPO中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，
（3x）2＝（22）2+（22-x）2，
解得：x=-2+344（负数舍去），
即PC=-2+344；
③点P在CD上时，如图4，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC2+PC2＝BP2，
42+x2＝（3x）2，
解得：y=2（负数舍去），
即PC=2；
综上，PC的长是1或2或-2+344．
故答案为：1或2或-2+344．
22．（3分）（2021•绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…依此规律，则第n个图形中三角形个数是 　n2+n﹣1　．

【解答】解：观察图中三角形的个数与图形的序号的关系，有如下规律：
第一个图形：12+0，
第二个图形：22+1，
第三个图形：32+2，
第四个图形：42+3，
••••••，
第n个图形：n2+n﹣1．
故答案为：n2+n﹣1．
三、解答题（本题共7个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内.
23．（6分）（2021•绥化）（1）如图，已知△ABC，P为边AB上一点，请用尺规作图的方法在边AC上求作一点E，使AE+EP＝AC．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在图中，如果AC＝6cm，AP＝3cm，则△APE的周长是 　9　cm．

【解答】解：（1）如图，点E即为所求．

（2）∵MN垂直平分线段PC，
∴EP＝EC，
∴△APE的周长＝AP+AE+EP＝AP+AE+EC＝AP+AC＝3+6＝9（cm），
故答案为：9．
24．（6分）（2021•绥化）如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB．
（1）在平面直角坐标系内，以原点O为位似中心，把△OAB缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与△OAB的相似比等于12；
（2）将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求，出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．

【解答】解：（1）如图，△OA′B′或△AA″B″即为所求．

（2）如图，△OA1B1即为所求．
线段OB旋转过程中所形成扇形的周长＝2×213+90π×213180=413+13π．
25．（6分）（2021•绥化）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为△ABC，点B、C、D在同一条直线上，测得∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝32cm，∠BDE＝75°，其中一段支撑杆CD＝84cm，另一段支撑杆DE＝70cm．求支撑杆上的点E到水平地面的距离EF是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，3≈1.732）

【解答】解：方法一：如图1，过点D作DM⊥EF于M，过点D作DN⊥BA交BA延长线于N，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），
∴BC＝AB•cos60°＝32×12=16（cm），
∵DC＝84（cm），
∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），
∵∠F＝90°，∠DMF＝90°，
∴DM∥FN，
∴∠MDB＝∠ABC＝60°，
在Rt△BDN中，sin∠DBN＝sin60°=DNBD，
∴DN=32×100＝503（cm），
∵∠F＝90°，∠N＝90°，∠DMF＝90°，
∴四边形MFND是矩形，
∴DN＝MF＝503，
∵∠BDE＝75°，∠MDB＝60°，
∴∠EDM＝∠BDE﹣∠MDB＝75°﹣60°＝15°，
∵DE＝70（cm），
∴ME＝DE•sin∠EDM＝70×sin15°≈18.2（cm），
∴EF＝ME+MF＝503+18.2≈104.8≈105（cm），
答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．
方法二：如图2，过点D作DH⊥BA交BA延长线于H，过点E作EG⊥HD延长线于G，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝32（cm），
∴BC＝AB•cos60°＝32×12=16（cm），
∵DC＝84（cm），
∴BD＝DC+BC＝84+16＝100（cm），
同方法一得，DH＝BD•sin60°＝503，
∵在Rt△BDH中，∠DBH＝60°，
∴∠BDH＝30°，
∵∠BDE＝75°，
∴∠EDG＝180°﹣∠BDH﹣∠BDE＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠DEG＝90°﹣75°＝15°，
∴DG＝DE•sin15°≈18.2（cm），
∴GH＝DG+DH＝18.2+503≈104.8≈105（cm），
∵∠F＝90°，∠H＝90°，∠G＝90°，
∴EF＝EG≈105（cm），
答：支撑杆上的点E到水平地面的距离EF大约是105cm．


26．（8分）（2021•绥化）小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息．已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离S（米）与小亮出发时间t（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．
（1）m＝　16　，n＝　1603　；
（2）求CD和EF所在直线的解析式；
（3）直接写出t为何值时，两人相距30米．

【解答】解：（1）∵小刚原来的速度＝16÷4＝4米/秒，
小亮的速度＝720÷144＝5米/秒，
B点小亮追上小刚，相遇，
∴4m+16＝5m，
解得：m＝16，
∵E点是小刚到达乙地，
∴n＝[(720-80×54+2+80)-80]×（6﹣5）=1603，
故答案为：16；1603，
（2）由题意可知点C横坐标为16+80-162=48，
∵小刚原来的速度＝16÷4＝4米/秒，
小亮的速度＝720÷144＝5米/秒，
∴纵坐标为（5﹣4）×（48﹣16）＝32，
∴C（48，32），
设SCD＝k1t+b1，将C（48，32），D（80，0）代入，
48k1+b1=3280k1+b1=0，
解得：k1=-1b1=80，
∴SCD＝﹣t+80（48≤t≤80），
∴E点横坐标为720-80×56+80=4003，
E点纵坐标为(4003-80)×(6-5)=1603，
∴E（4003，1603），
设SEF＝k2t+b2，将E，F两点坐标代入可得，
4003k2+b2=1603144k2+b2=0，
解得：k2=-5b2=720，
∴SEF＝﹣5t+720（4003≤t≤144），
（3）∵B（16，0），C（48，32），D（80，0），E（4003，1603），F（144，0），
设SBC＝k3t+b3，将B，C两点坐标代入可得，
16k3+b3=048k3+b3=32，
解得：k3=1b3=-16，
∴SBC＝t﹣16（16＜t≤48），
设SDE＝k4t+b4，将D，E两点坐标代入可得，
80k4+b4=04003k4+b4=1603，
解得：k4=1b4=-80，
∴SDE＝t﹣80（80＜t≤4003），
当S＝30时，
SBC＝t﹣16＝30，解得t＝46；
SCD＝﹣t+80＝30，解得t＝110；
SEF＝﹣5t+720＝30，解得t＝128；
综上，t为46，50，110，138时，两人相距30米．
27．（9分）（2021•绥化）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若弦MN垂直于AB，垂足为G，AGAB=14，MN=3，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，当∠BAC＝36°时，求线段CE的长．

【解答】（1）证明：如图1，连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：如图2，连接OM，
∵AB⊥MN，且AB为⊙O的直径，MN=3，
∴MG=12MN=32，
设⊙O的半径为r，则OM＝r，AB＝2r，
∵AGAB=14，
∴AG=14AB=12r，
∴OG＝OA﹣AG=12r，
在Rt△OGM中，根据勾股定理得，OG2+MG2＝OM2，
∴（12r）2+（32）2＝r2，
∴r＝1，
即⊙O的半径为1；

（3）如图3，作∠ABC的平分线交AC于F，
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝72°，
∴∠ABF＝∠CBF=12∠ABC＝36°＝∠BAC，
∴AF＝BF，
设AF＝BF＝x，
在△BCF中，∠CBF＝36°，∠C＝72°，
∴∠BFC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BC＝BF＝x，
由（2）知，⊙O的半径为1，
∴AB＝AC＝2，
∴CF＝AC﹣AF＝2﹣x，
∵∠CBF＝∠CAB，
∴∠C＝∠C，
∴△BCF∽△ACB，
∴BCAC=CFCB，
∴x2=2-xx，
∴x=5-1或x=-5-1（舍），
∴BC=5-1，
连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CD=12BC=5-12，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°＝∠ADC，
∵∠C＝∠C，
∴△DEC∽△ADC，
∴CECD=CDCA，
∴CE5-12=5-122，
∴CE=3-54．



28．（9分）（2021•绥化）如图所示，四边形ABCD为正方形，在△ECH中，∠ECH＝90°，CE＝CH，HE的延长线与CD的延长线交于点F，点D、B、H在同一条直线上．
（1）求证：△CDE≌△CBH；
（2）当HBHD=15时，求FDFC的值；
（3）当HB＝3，HG＝4时，求sin∠CFE的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠DCB＝90°，
∵∠ECH＝90°，
∴∠DCB﹣∠BCE＝∠ECH﹣∠BCE，
即∠DCE＝∠BCH，
在△CDE和△CBH中，
CD=CB∠DCE=∠BCHCE=CH，
∴△CDE≌△CBH（SAS）；
（2）解：由（1）得：△ACDE≌△CBH，
∴∠CDE＝∠CBH，DE＝BH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDB＝∠DBC＝45°，
∴∠CDE＝∠CBH＝180°﹣45°＝135°，
∴∠EDH＝135°﹣45°＝90°，
∵BH：DH＝1：5，
∴设BH＝a，则DH＝5a，
∴DE＝BH＝a，
在Rt△HDE中，EH=DE2+DH2=a2+(5a)=26a，
过C作CM⊥EH于M，过D作DN⊥FH于N，如图1所示：
则DN∥CM，
∵△DEH的面积=12DN×EH=12DE×DH，
∴12DN×26a=12×a×5a，
解得：DN=52626a，
∵CE＝CH，∠ECH＝90°，
∴CM=12EH=262a，
∵DN∥CM，
∴△FDN∽△FCM，
∴FDFC=DNCM=52626a262a=513；
（3）解：过点E作PE∥DH交CF于P，过点E作EQ⊥CF于Q，如图2所示：
∵PE∥DH，
∴∠BHG＝∠PEF，∠FPE＝∠FDH＝135°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠HBG＝∠FDH＝135°，
∴∠HBG＝∠EPF＝135°，
∵∠CDE＝135°，
∴∠EDQ＝45°，∠EPQ＝45°，
∴△PED为等腰直角三角形，
∴DE＝PE，
由（1）得：△CDE≌△CBH，
∴DE＝BH，
∴DE＝BH＝PE＝3，
在△BHG和△PEF中，
∠BHG=∠PEFBH=PE∠HBG=∠EPF，
∴△BHG≌△PEF（ASA），
∴HG＝EF＝4，
∵△PED是等腰直角三角形，
∴PD=2DE＝32，
∵EQ⊥PD，
∴QE=12PD=322，
在Rt△FEQ中，sin∠CFE=EQEF=3224=328．


29．（10分）（2021•绥化）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0），点B（1，0）（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y=-12x-52经过点A，且与y轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；
（3）点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H（点H在第一象限），当∠EFG＝3∠BAE且HG＝2FG时，求出点F的坐标．

【解答】解：（1）将A（﹣5，0），B（1，0）代入抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）得：
25a-5b+5=0a+b+5=0，
解得：a=-1b=-4，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）∵D（﹣2，9），B（1，0），点N是抛物线上的一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形，
∴此题有两种情形：
①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，
∴N1（﹣5，0），
②方法一：当DN＝BN时（如图1），N在BD的垂直平分线上，
BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，
∵∠KBO+∠OKB＝90°，∠KBO+∠IQB＝90°，
∴∠OKB＝∠IQB，
在Rt△OKB中，sin∠OKB=1010，
∴sin∠IQB=BIBQ=1010，
∵I是BD的中点，BD＝310，
∴BI=3102，
∴BQ＝15，
∴Q（﹣14，0），I（-12，92）
设yQI＝kx+b，代入得：
-14k+b=0-12k+b=92，
解得：k=13b=143，
∴yQI=13x+143，
联立得：y=13x+143y=-x2-4x+5，
解得：x=-13±1816，
∴yQI=13x+143=13(-13±1816)+143=71±18118，
N2（-13-1816，71-18118），N3（-13+1816，71+18118），
方法二：如图2，
过点N作DS⊥NT交NT于点S，
设N（a，﹣a2﹣4a+5），D（﹣2，9），
∵DN＝DB，
∴DS2+SN2＝NT2+TB2，
∴（﹣2﹣a）2+（9+a2+4a﹣5）2＝（﹣a2﹣4a+5）2+（1﹣a）2，
（2+a）2﹣（1﹣a）2＝（a2+4a﹣5）2﹣（9+a2+4a﹣5）2，
（2+a+1﹣a）（2+a﹣1+a）＝（a2+4a﹣5+a2+4a+4）（a2+4a﹣5﹣a2﹣4a﹣4），
解得：a=-13±1816，
把a=-13±1816代入﹣a2﹣4a+5＝﹣（-13±1816）2﹣4（-13±1816）+5=71±18118，
∴N2（-13-1816，71-18118），N3（-13+1816，71+18118），
综上所述，N1（﹣5，0），N2（-13-1816，71-18118），N3（-13+1816，71+18118）；
（3）如图1，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，
∴∠FGM＝∠FMG，
∴∠EFG＝∠BAE+∠FGM＝∠BAE+∠FMG＝∠BAE+2∠BAE＝3∠BAE，
移动F点，当HG＝2FG时，点F为所求．
过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，
∴△FPG∽△HRG，
∴PFHR=PGRG=FGGH=12，GR＝2PG，HR＝2PF，
设F（m，-12m+52），
则OP＝﹣m，PF=12m+52，
HR＝2PF＝m+5，
∵AP＝m+5，
∴AP＝2PF，
∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，
∴在Rt△PMF中，PM2+PF2＝MF2，PM2+PF2＝（2PF﹣MP）2，
∴PM=34PF=34×m+52=38m+158，
∴GP=38m+158，
∴GR＝2PG=34m+154，
∴PR＝3PG＝3PM，
∴AR＝AP+PR＝AP+3PM＝2PF+3×34PF=174PF=178m+858，
∴OR=178m+858-5=178m+458，
∴H（178m+458，m+5），
∵B（1，0），D（﹣2，9），
∴BD解析式为：yBD＝﹣3x+3，
把H代入上式并解得：m=-15159，
再把m=-15159代入y=-12x-52得：y=-7259，
∴F（-15159，-7259）．