考点17全等三角形（解析版）练习题

这是一份考点17全等三角形（解析版）练习题，共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点17全等三角形
考点总结
考点1 全等三角形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。
考点2 全等三角形的表示和性质
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。
注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
考点3 三角形全等的判定
三角形全等的判定定理：
（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。
直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

真题演练

一、单选题
1．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在中，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点；②过点作直线，分别交，于点；③连结．则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
首先根据题意可知道MN为线段BC的中垂线，然后结合中垂线与中线的性质逐项分析即可．
【详解】
由题意可知，MN为线段BC的中垂线，
∵O为中垂线MN上一点，
∴OB=OC，故A正确；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵MN⊥BC，
∴∠ODB=∠ODC，
∴∠BOD=∠COD，故B正确；
∵D为BC边的中点，BE为AC边上的中线，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，故C正确；
由题意可知DB=DC，
假设DB=DE成立，
则DB=DE=DC，∠BEC=90°，
而题干中只给出BE是中线，无法保证BE一定与AC垂直，
∴DB不一定与DE相等，故D错误；
故选：D．
2．（2021·浙江温州·中考真题）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．过点作的垂线交小正方形对角线的延长线于点，连结，延长交于点．若，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，根据题意可知BE=PC=DF，AE=BP=CF，根据可得BE=PE=PC=PF=DF，根据正方形的性质可证明△FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD，根据三角形中位线的性质可得PH=FQ，CH=QH=CQ，利用ASA可证明△CPH≌△GDQ，可得PH=QD，即可得出PH=BE，可得BH=，利用勾股定理可用BE表示长CH的长，即可表示出CG的长，进而可得答案．
【详解】
如图，设BH交CF于P，CG交DF于Q，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
∴BE=PC=DF，AE=BP=CF，
∵，
∴BE=PE=PC=PF=DF，
∵∠CFD=∠BPC，
∴DF//EH，
∴PH为△CFQ的中位线，
∴PH=QF，CH=HQ，
∵四边形EPFN是正方形，
∴∠EFN=45°，
∵GD⊥DF，
∴△FDG是等腰直角三角形，
∴DG=FD=PC，
∵∠GDQ=∠CPH=90°，
∴DG//CF，
∴∠DGQ=∠PCH，
在△DGQ和△PCH中，，
∴△DGQ≌△PCH，
∴PH=DQ，CH=GQ，
∴PH=DF=BE，CG=3CH，
∴BH=BE+PE+PH=，
在Rt△PCH中，CH==，
∴CG=BE，
∴．

故选：C．
3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【分析】
此题是有关剪纸的问题，此类问题应亲自动手折一折，剪一剪．
【详解】
解：由题可知，AD平分,折叠后与重合，故全等，所以EO=OF;
又作了AD的垂直平分线，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；
由平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以AEDF为平行四边形；
又AD⊥EF，所以平行四边形AEDF为菱形．

故选：
4．（2020·浙江宁波·中考真题）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形DECHF的周长，则只需知道（　　）

A．△ABC的周长 B．△AFH的周长
C．四边形FBGH的周长 D．四边形ADEC的周长
【答案】A
【分析】
由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．
【详解】
解：∵△GFH为等边三角形，
∴FH＝GH，∠FHG＝60°，
∴∠AHF+∠GHC＝120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，
∴∠GHC+∠HGC＝120°，
∴∠AHF＝∠HGC，
∴△AFH≌△CHG（AAS），
∴AF＝CH．
∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，
∴BE＝FH，
∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF
＝BD+CE+AF+BE+DF
＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），
＝AB+BC．
∴只需知道△ABC的周长即可．
故选：A．

5．（2020·浙江嘉兴·中考真题）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；
②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；
③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．
则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．10 C．4 D．5
【答案】D
【分析】
如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：如图，设OA交BC于T．

∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AE＝，
在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，
解得r＝5，
故选：D．
6．（2020·浙江·中考真题）如图，已知OT是Rt△ABO斜边AB上的高线，AO=BO．以O为圆心，OT为半径的圆交OA于点C，过点C作⊙O的切线CD，交AB于点D．则下列结论中错误的是（　　）

A．DC=DT B．AD=DT C．BD=BO D．2OC=5AC
【答案】D
【分析】
根据切线的判定知DT是⊙O的切线，根据切线长定理可判断选项A正确；可证得△ADC是等腰直角三角形，可计算判断选项B正确；根据切线的性质得到CD=CT，根据全等三角形的性质得到∠DOC=∠TOC，根据三角形的外角的性质可判断选项C正确；
【详解】
解：如图，连接OD．

∵OT是半径，OT⊥AB，
∴DT是⊙O的切线，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC=DT，故选项A正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵DC是切线，
∴CD⊥OC，
∴∠ACD=90°，
∴∠A=∠ADC=45°，
∴AC=CD=DT，
∴AD=CD=DT，故选项B正确；
∵OD=OD，OC=OT，DC=DT，
∴△DOC≌△DOT（SSS），
∴∠DOC=∠DOT，
∵OA=OB，OT⊥AB，∠AOB=90°，
∴∠AOT=∠BOT=45°，
∴∠DOT=∠DOC=22.5°，
∴∠BOD=∠ODB=67.5°，
∴BO=BD，故选项C正确；
∵OA=OB，∠AOB=90°，OT⊥AB，
设⊙O的半径为2，
∴OT=OC=AT=BT=2，
∴OA=OB=2，
∴，
2OC5AC故选项D错误；
故选：D．
7．（2020·浙江台州·中考真题）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ）

A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD
【答案】D
【分析】
根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案
【详解】
解：由作图知AC=AD=BC=BD，
∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，
不能判断AB=CD，
故选：D．
8．（2020·浙江金华·中考真题）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
证明，得出．设，则，，由勾股定理得出，则可得出答案．
【详解】
解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
又，
，
，
，，
，
．
设，
为，的交点，
，，
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，
，
，
，
．
故选：．
9．（2021·浙江宁波·一模）如图，四边形和均为正方形，点在对角线上，点在边上，连结和．若知道正方形和的面积，则一定能求出（ ）

A．四边形的周长 B．四边形的周长
C．四边形的周长 D．四边形的周长
【答案】B
【分析】
根据正方形的性质易证，再根据全等三角形的性质得出，结合各个选项只有四边形的周长是由与确定，从而得出答案．
【详解】
解：四边形和均为正方形，



，
．
四边形的周长


．
因为知道正方形和的面积，
所以它们的边长和对角线均可确定，
即与确定，一定能求出四边形的周长,其他选项不符合；
故B正确．
10．（2021·浙江·温州市教育教学研究院一模）《几何原本》关于毕达哥拉斯定理，欧几里德给出证明．如图，中，，以AC，BC，AB为边分别向外作正方形，连结CD，CE，过C作，的面积为，的面积为，若，，则正方形BCGH的边长（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
过D作DM⊥AC，过E作EN⊥BC，设CF交AB于J，证明≌，≌，分别得到，，分别得到和，根据，可得，设，可求出CJ和FJ，根据CF=13求出x值，从而可得BC．
【详解】
解：过D作DM⊥AC，延长CA交DM于点M，过E作EN⊥BC，设CF交AB于J，

∵，
∴，
又∵，
∴，
∴在与中，
，
∴≌，
∴，
同理，≌，
∴，
，，
∵，
∴，即，
设，则，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形BCGH边长．
故选C．

二、填空题
11．（2021·浙江兰溪·一模）如图，在等腰直角三角形中，，点D为的中点，一块的三角板底角与点D重合，并绕点D旋转，另外两边分别与和相交于点E，点F，在旋转过程中，恰好存在，此时，，则________．


【答案】
【分析】
过点D作于点G，通过角度等量代换，证明，进一步推导=2，在中，根据勾股定理求得长度，转化求得AB、BC长度，根据CF=BC-BF，即可求得CF的长度．
【详解】
如下图：


过点D作于点G，
∵,，
∴，
又∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴=2，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
12．（2021·浙江拱墅·二模）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝___．（用含a的代数式表示）

【答案】
【分析】
过点O作OF∥BD交AB于点F，连接BD，通过三角形内心的性质可得出∠FAO=∠EAC，然后证明△FBO≌△EBO，然后根据成比例线段的性质，根据＝a，得出，BF=BE，，从而得到＝．
【详解】
解：过点O作OF∥BD交AB于点F，连接BD，

∴∠AOF=∠ADB=∠ACE，
∵点O是△ABC的内心，
∴∠FAO=∠EAC，
∴∠AFO=180°-∠FAO-∠AOF=180°-∠EAC-∠ACE=∠AEC，
∴∠BFO=∠BEO，
在△FBO和△EBO中，
，
∴△FBO≌△EBO（AAS），
∴OF=OE，BF=BE，
∵∠OBD=∠OBE+∠CBD=∠ABO+∠CAD，
∠OBD=∠ABO+∠BAO=∠BOD，
∴OD=OB，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAE=∠OAE，
∴，
∴，
∵＝a，
∴，
∴，
∵BF=BE，
∴，
∴＝．
故答案为．
13．（2021·浙江滨江·三模）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重合）处压平后得到折痕．若，当时，则______；若（为整数）则______．（用含的式子表示）

【答案】
【分析】
连接，，．由题设，得四边形和四边形关于直线对称．由轴对称的性质知，．又有，设．由得，；设，则，．在中，由勾股定理可解得的值，从而得以的值，在和在中，由勾股定理知，，有．设，则可求得的值，得到的值从而得到．连接，，令，则，设，则，由勾股定理得；作于，可证得，由此得，从而可得的值．
【详解】
解：如图1，连接，，．

由题设，得四边形和四边形关于直线对称．
垂直平分，
，．
四边形是正方形，
，
设．
，
．
设，则，．
在中，．
，
解得，即．
在和在中，，，
．
设，则，
，
解得，即，
．
当四边形为正方形时，连接，，
不妨令，则，设，则，
，
，
；
如图2，作于，则，

又点，关于对称，则，；
，
，
在和中，
，
，
，
，
则：．
14．（2021·浙江·杭州市采荷中学三模）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为______．

【答案】5
【分析】
如图，设交于．解直角三角形求出，再在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：如图，设交于．半径为，

，平分，
，，
，
在中，则有，
解得，
故答案为：5．
15．（2021·浙江柯桥·一模）等腰三角形ABC中，过C作CD⊥AB交AB边于点E，且AB=AC=CD，连结AD并延长交CB延长线于点F，若DB=5．BC=8，则∠AFC=__，AB=__．
【答案】45°； 或
【分析】
（1）要求∠F的度数，要利用∠ADC是的外角，将其转化中已知的两个等腰三角形之中加以解决；（2）因为AB=CD，所以要求AB的长，需求CD的长即可，这样，将未知量和已知量集中在中，分别过点D、A作DM⊥FC于M，AN⊥FC于N，借助于勾股定理求得CD的长，但需考虑问题本身没有给出图形，可能需要分情况进行讨论．
【详解】
解：（1）如图1所示，

设,则．
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=．
∵CD⊥AB，
∴∠ABC+∠DCF=90°．
∴∠ABC=90°-∠DCF=．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=．
∴．
在ACD中，∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°，
∵2（）+=180°．
∴．
故答案为：45°．
（2）过点D作DM⊥FC于M，AN⊥FC于N．分两种情况：
当点M在点B左侧时，如图2所示，

∵∠CAN+∠ACB=90°，∠DCM+∠ABC=90°，∠ACB=∠ABC，
∴∠CAN=∠DCM．
在和中，，
∴．
∴．
∴在RtDBM中，．
∴CM=CB+BM=8+3=11．
在RtDCM中，．
∴AB=DC=．
当点M在点B右侧时，如图2所示，

此时，CM=CB-BM=8-3=5，其它不变．
在RtDCM中，．
∴AB=DC=．
综合得，AB=或．
故答案为：或．

三、解答题
16．（2021·浙江宁波·中考真题）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．

（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连结．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；②
【分析】
（1）利用圆周角定理求得，再根据，求得，即可得到答案；
（2）由，得到，从而推出，证得，由此得到结论；
（3）①连结．利用已知求出，证得，得到，利用中，根据正弦求出，求出EF的长，再利用中，，求出EG及DE，再利用勾股定理求出DF即可得到答案；
②过点C作于H，证明，得到，证明，得到，设，得到，利用勾股定理得到 ，求得，利用函数的最值解答即可．
【详解】
解：（1）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（3）①如图，连结．

∵为的直径，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴的周长为．
②如图，过点C作于H．

∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
∴，
∴．
在中， ，
∴，
当时，的最小值为3，
∴的最小值为．
17．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）在中，，以为直径的交于点．


（1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求；
（2）如图②，过点作的切线交于点，求证：；
（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）由三角形内角和角的计算问题；
（2）证明，则，得到，即可求解；
（3）设，，，则，由，得到，同理可得：，即可求解．
【详解】
解：（1）由题意知，，
，
，又，
；
（2）如图2，为圆的切线，连接，

则，，，
，
，
，，且．
．
，
；
（3）过作的垂线交于，过作的垂线交于，连接，

，，
，
设，，，则，
而，
，
则，
，
则，
，
，
同理可得：，
则，
所以．
18．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）定义：如图1，四边形EFGH的四个顶点分别在□ABCD四条边上（不与□ABCD的顶点重合），我们称四边形EFGH为□ABCD的内接四边形．

（1）如图1，若ABCD的内接四边形EFGH是平行四边形，求证：AE＝CG
（2）若ABCD的内接四边形EFGH是矩形．
①请用无刻度的直尺与圆规，在图2中作出一个符合要求的矩形EFGH．（不必说明作图过程，但要保留作图痕迹）
②如图3，已知，AB＝10，H是AD的中点，HG＝2HE，求AD的长．
（3）已知，ABCD的内接四边形EFGH是平行四边形，且，求证：点E，F，G，H中至少存在两个点是□ABCD边的中点．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②10；（3）见解析
【分析】
（1）连接EG，只需要证明△AEH≌△CGF即可得到结论；
（2）①根据矩形的判定条件和直径所对的圆周角是90°作图即可；②过点H作HN⊥HB，并延长NH交CD延长线于M，先证明△MDH≌△ANH，得到HM=HN，AN=MD，再由
，，得到,
设，，，然后证明△HMG∽△ENH，得到，由此求解即可；
（3）由，可以得到，设MN=h，HN=t，AB=a，AE=y，则MH=h-t，DG=a-y，则，由此即可求解．
【详解】
解：（1）如图所示，连接EG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB∥CD，
∴∠AEG=∠CGE，
∵四边形HEFG是平行四边形，
∴GF∥HE，HE=GF
∴∠HEG=∠FGE，
∵∠AEH+∠HEG=∠CGF+∠FGE，
∴∠AEH=∠CGF，
∴△AEH≌△CGF（AAS），
∴AE=CG

（2）①如图，连接BD与AC交于O，以O为圆心，以OB的长为半径画圆，分别于AB交于E，BC交于F，CD交于G，AD交于H，顺次连接E、F、G、H即为所求；
理由：直径所对的圆周角是直角，连接OG，OE，可以通过，∠ODG=∠OGD=∠OBE=OEB证明∠DOG=∠BOE，即G、O、E三点共线；

②如图，过点H作HN⊥HB，并延长NH交CD延长线于M，
∴∠HNA=∠HMD=90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=10
∴∠MDH=∠NAH，
∵H是AD的中点，
∴AH=DH，
∴△MDH≌△ANH（AAS），
∴HM=HN，AN=MD，
∵，
∴，
∴,
设，，，
∵四边形HEFG是矩形，
∴∠GHE=90°，
∴∠MHG+∠EHN=90°，
又∵∠EHN+∠HEN=90°，
∴∠MHG=∠NEH，
∵∠HMG=∠ENH=90°，
∴△HMG∽△ENH，
∴，
∵HG＝2HE，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
解得，
∴；

（3）同（2）②作辅助线
由（1）证明△AEH≌△CGF，同理可以证明△DHG≌△BFE，
∴，，DG=BE
∵，
∴，
设MN=h，HN=t，AB=a，AE=y，则MH=h-t，DG=a-y，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴H是AD的中点或E是AB的中点，
又∵AE=CG，
∴当E是中点的时候，G也是CD的中点，
同理当H是中点的时候，F是BC的中点，
∴点E，F，G，H中至少存在两个点是□ABCD边的中点．

19．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）已知正方形ABCD，AB＝4，点P在边AD上运动，点M是线段CP上一动点．

（1）如图1，当点P在A点时，若PM＝3CM，过点M作CM的垂线交BC于点Q，则＝_______；
（2）如图2，当点P在边AD上，若点M是CP的中点，过点M作CM的垂线交AB于点N，记DP＝x，BN＝y，试求y关于x的函数表达式；
（3）如图3，当点P在边AD上，若点M是CP的中点，过点M作CM的垂线交正方形对角线BD于点R，试判断MR和CP的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）1；（2）y＝x2﹣x+2(0≤x≤4)；（3）PC＝2MR，理由见解析
【分析】
（1）利用勾股定理求出CQ和BQ即可得到答案；
（2）连接NP，CN，根据垂直平分线的性质得到PN=NC，可得PA2+AN2＝BC2+BN2，由此构建关系式求解即可；
（3）证明△PRC是等腰直角三角形，即可得到PC＝2RM.
【详解】
解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝4，∠B＝90°，∠CMQ＝90°，
∴，
∵PM＝3CM，
∴CM＝，
∵MQ⊥CM，
∴∠CMQ＝90°，
∴∠MCQ＝∠MQC＝45°,
∴CM＝MQ＝，
∴CQ＝2，
∴BQ＝BC﹣CQ＝4﹣2＝2，
∴ ；
故答案为：1.
(2)如图2中，连接NP，CN，

∵MN垂直平分线段PC，
∴PN＝NC，
∴PA2+AN2＝BC2+BN2，
∴(4﹣x)2+(4﹣y)2＝42+y2，
∴y＝x2﹣x+2(0≤x≤4)；
(3)如图3中，结论：PC＝2MR，

理由：连接RP，RC，过点R作RE⊥CD于E，RF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠RDE＝∠RDF＝45°，
∵RE⊥CD，RF⊥AD，
∴RE＝RF，
∵RM垂直平分线段PC，
∴RQ＝RC，
∵∠REC＝∠RFP＝90°，
∴Rt△REC≌Rt△RFP(HL)，
∴∠ERC＝∠FRP，
∵∠RED＝∠RFD＝∠EDF＝90°，
∴∠ERF＝90°，
∴∠PRC＝∠ERF＝90°，
∴△PRC是等腰直角三角形，
∴PC＝2RM.
20．（2021·浙江庆元·一模）如图，在四边形中，，，，E是BC边上一动点，连结AE，将AE绕点A逆时针旋转135°到AF，连结EF与AD交于点G，连结DE，DF，设BE的长为x．
（1）求证：．
（2）若的面积为y，求y关于x的函数表达式，并求y的最大值．
（3）当是等腰三角形时，求x的值．

【答案】（1）见解析；（2），最大值为；（3）或或2
【分析】
（1）根据已知条件以及旋转的性质即可证明；
（2）过点E作，交FC于点H，根据已知条件求得EH的值，根据（1）中可知，，再根据三角形面积公式表示y，并根据二次函数求值即可．
（3）分情况讨论，当时，求x得值；当时，求x的值；当时，求x得值．
【详解】
（1）∵，，
∴．
∵AE绕点A逆时针旋转135°到AF，
∴，．
∴
在和中
∵
∴
（2）过点E作，交FC于点H．
∵，

∴
∵，
∴，
∴，
∴点C，D，F三点共线．
又∵，
∵，
∴为等腰．
∴
当时，有最大值，．
（3）①当时，则，即，解得．
②当时，则，即，，
解得（注：也得满分）
③当时，．