考点08一元二次方程（解析版）练习题

这是一份考点08一元二次方程（解析版）练习题，共21页。试卷主要包含了一元二次方程的概念，一元二次方程的解法，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系等内容，欢迎下载使用。

考点08一元二次方程
考点总结

考点1 一元二次方程
一、一元二次方程的概念
1、一元二次方程
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法
配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的求根公式：

4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
四、一元二次方程根与系数的关系
如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
五、 一元二次方程的应用
列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
考点2 一元二次方程的解法
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
考点3 一元二次方程根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
考点4 一元二次方程的应用
1．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
①审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
④解：准确求出方程的解．
⑤验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
⑥答：写出答案．

真题演练

一、单选题
1．（2021·浙江丽水·中考真题）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．
【详解】
解：，
，
，
，
故选：D．
2．（2021·浙江杭州·中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】A
【分析】
根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
【详解】
解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，
对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；
对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
故选A．
3．（2021·浙江台州·中考真题）关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【答案】D
【分析】
根据方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，可得，进而即可求解．
【详解】
解：∵关于x的方程x24x＋m＝0有两个不相等的实数根，
∴，解得：m＜4，
故选D．
4．（2020·浙江衢州·中考真题）某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程（　　）

A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461
C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=442
【答案】B
【分析】
本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增长率为x，根据“2月份的180万只，4月份的利润将达到461万只”，即可得出方程．
【详解】
解：从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程：180（1+x）2=461，
故选：B．
5．（2020·浙江·中考真题）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数与实数b的取值有关
【答案】A
【分析】
先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】
解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
6．（2021·浙江湖州·模拟预测）为贯彻落实中央关于全面建成小康社会的部署，广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．某县2018年初统计贫困人口数有729人，经过两年的精准扶贫，2020年初贫困人口还有118人，设每年贫困人口的平均降低率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，根据该地区2018年初及2020年初贫困人口的数量，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
解：设2018年初至2020年初该地区贫困人口的年平均下降率为x，
依题意得：，
故选：A．
7．（2021·浙江上城·一模）对于代数式，甲同学认为：当时，该代数式的值与k无关；乙同学认为：当该代数式是一个完全平方式时，k只能为5，则下列结论正确的是（ ）
A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误
【答案】A
【分析】
当x=1时，计算代数式的值，即知该代数式的值是否与k的值有关；计算二次三项式的判别式，当判别式为0时，可求得k的值，从而最后可作出判断．
【详解】
当x=1时，，它与k的值无关，所以甲同学的正确；
当时，代数式是完全平方式
解方程得：k=5或k=−1
即当k=5或k=−1时，代数式是完全平方式，所以乙同学的说法错误
故选：A
8．（2021·浙江杭州·三模）某商店销售连衣裙，每条盈利元，每天可以销售条．商店决定降价销售，经调查，每降价元，商店每天可多销售条连衣裙．若想要商店每天盈利元，每条连衣裙应降价（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D．元或元
【答案】D
【分析】
假设每条连衣裙降价元，根据题意可列出每天可售出多少条，再根据总利润单件利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解出即为结论．
【详解】
设每条连衣裙降价元，则每天售出条，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
每条连衣裙应降价元或元，
故选：．
9．（2021·浙江温州·一模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0 B．3 C．6 D．9
【答案】D
【分析】
利用一元二次方程根的判别式，解出c即可．
【详解】
根据题意得：，
解得：．
故选：D．
10．（2021·浙江滨江·一模）已知，如图，线段是的直径，弦于点E．若，，则的长度为（ ）

A． B． C． D．5
【答案】B
【分析】
连接OD，设⊙O的半径为R，由垂径定理得DE=CE=CD=3，在Rt△ODE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
解：连接OD，如图所示：


设⊙O的半径为R，
∵弦CD⊥AB于点E．CD=6，
∴DE=CE=CD=3，∠OED=90°，
∴在Rt△ODE中，由勾股定理得：DE2+OE2=OD2，即32+（R-2）2=R2，
解得：R=，即OB的长为，
故选：B．

二、填空题
11．（2021·浙江丽水·中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数同时满足，求代数式的值．

结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当时，a的值是__________．
（2）当时，代数式的值是__________．
【答案】或1 7
【分析】
（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；
（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．
【详解】
解：已知，实数，同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴或
①+②得，
（1）当时，将代入得，

解得，，
∴，
把代入得，3=3，成立；
把代入得，0=0，成立；
∴当时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当时，则，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
12．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标． 反比例函数（常数，）的图象恰好经过正方形ABCD的两个顶点，则k的值是_______．

【答案】5或22.5
【分析】
先设一个未知数用来表示出B、C两点的坐标，再利用反比例函数图像恰好经过B、C、D的其中两个点进行分类讨论，建立方程求出未知数的值，符合题意时进一步求出k的值即可．
【详解】
解：如图所示，分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点，并过C点向BF作垂线，垂足为点G；
∵正方形ABCD，
∴∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA，
∴∠DAE+∠BAF=90°，
又∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠DAE=∠ABF，∠ADE=∠BAF，
∴≌，
同理可证△ADE≌△BAF≌△CBG；
∴DE=AF=BG，AE=BF=CG；
设AE=m，
∵点D的坐标 (,2) ，
∴OE=，DE=AF=BG=2，
∴B（，），C（，）,
∵，
当时，，不符题意，舍去；
当时，由解得,符合题意；故该情况成立，此时 ；
当时，由 解得,符合题意，故该情况成立，此时;
故答案为：5或22.5．

13．（2021·浙江萧山·一模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E在AD上（不与A、D重合），连接BE，CE，CE交BD于点F．当AE＝DF时，则AE＝____．

【答案】
【分析】
通过证明△DEF∽△BCF，可得，即可求解．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AD∥BC，∠BCD=∠A=60°，AB＝AD＝CD＝BC．
∴△ABD和△CBD都是等边三角形．
∴AD＝BD＝BC＝2．
∵AE=DF，
∴DE=BF．
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF．
∴．
设AE=DF=x，则DE=BF=2-x．
∴．
整理得，．
解得，．
∵，不合题意，舍去，
∴AE＝3-．
故答案为：
14．（2021·浙江椒江·一模）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及常数确定实际销售价格为，这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得，据此可得，最佳乐观系数k的值等于____．
【答案】
【分析】
由，得：，再根据，可得，在列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：由，得：
即：
∴
∵
∴
∴
解得：，
∵
∴不合题意
∴
故答案为：
15．（2021·浙江新昌·一模）如图，在矩形中，．将矩形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为（），得到矩形，边与相交于点，边与的延长线相交于点．在矩形旋转过程中，当落在线段上时，_____，当是线段的三等分点时，_____．


【答案】 或
【分析】
设，则，然后利用旋转的性质和勾股定理求出，然后求比值即可；分两种情况：①当时，②当时，分情况进行讨论即可．
【详解】
∵四边形是矩形，

当落在线段上时，此时点与点E重合，

设，则，
由旋转的性质可知．
在中，，
；
①当时，
设，则，
过点F作交于点G，连接CF，

，
，
，
，
在中，，
，
．
令，
，
解得（不符合题意，舍去），
；
②当时，
设，则，
同理可求．
在中，，
，
．
令，
，
解得（不符合题意，舍去），
，
综上所述，当是线段的三等分点时，的值为或．
故答案为：，或．

三、解答题
16．（2021·浙江金华·中考真题）背景：点A在反比例函数的图象上，轴于点B，轴于点C，分别在射线上取点，使得四边形为正方形．如图1，点A在第一象限内，当时，小李测得．
探究：通过改变点A的位置，小李发现点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．

（1）求k的值．
（2）设点的横坐标分别为，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了时“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式．
②补画时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．
③过点作一直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
【答案】（1）4；（2）①；②图见解析，性质如下（答案不唯一）：函数的图象是两个分支组成的曲线；函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称；当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大；③2，3，4，6．
【分析】
（1）利用待定系数法解题；
（2）①设点A坐标为，继而解得点D的横坐标为，根据题意解题即可；②根据解析式在网格中描点，连线即可画出图象，根据图象的性质解题；③分两种种情况讨论，当过点的直线与x轴垂直时，或当过点的直线与x轴不垂直时，结合一元二次方程解题即可．
【详解】
解：（1）由题意得，，
点A的坐标是，所以；
（2）①设点A坐标为，所以点D的横坐标为，
所以这个“Z函数”表达式为；
②画出的图象如图：

性质如下（答案不唯一）；
（a）函数的图象是两个分支组成的，是两条曲线
（b）函数的图象关于直角坐标系的原点成中心对称．
（c）当时，函数值z随自变量x的增大而增大，当时，函数值z随自变量x的增大面增大．
③第一种情况，当过点的直线与x轴垂直时，；
第二种情况，当过点的直线与x轴不垂直时，设该直线的函数表达式为，
，即，
，
由题意得，
，

（a）当时，，解得；
（b）当时，，
解得，
当时，．解得；
当时，，解
所以x的值为．
17．（2021·浙江·中考真题）已知在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一个动点，连结的延长线交反比例函数的图象于点，过点作轴于点．

（1）如图1，过点作轴于点，连结．
①若，求证：四边形是平行四边形；
②连结，若，求的面积．
（2）如图2，过点作，交反比例函数的图象于点，连结．试探究：对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积是否会发生变化？请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析，②1；（2）不改变，见解析
【分析】
（1）①计算得出，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
②证明，利用反比例函数的几何意义求得，即可求解；
（2）点的坐标为，点的坐标为，可知四边形是平行四边形，由，利用相似三角形的性质得到关于的一元二次方程，利用三角形的面积公式即可求解．
【详解】
（1）①证明：设点的坐标为，
则当时，点的坐标为，
，
轴，
，
∴四边形是平行四边形；
②解：过点作轴于点，
轴，
，
，
，
∴当时，则，即．
；

（2）解 不改变．
理由如下：
过点作轴于点与轴交于点，
设点的坐标为，点的坐标为，
则，OH=b，
由题意，可知四边形是平行四边形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴，
，
即，
∴，
，
解得，
异号，，
，
．
∴对于确定的实数，动点在运动过程中，的面积不会发生变化．
．
18．（2021·浙江·中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示：
购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点


和
门票价格
100元/人
80元/人
160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【答案】（1）20%；（2）①798万元，②当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元
【分析】
（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，则四月份的游客为人，五月份的游客为人，再列方程，解方程可得答案；
（2）①分别计算购买甲，乙，丙种门票的人数，再计算门票收入即可得到答案；②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大利润即可得到答案．
【详解】
解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为，
由题意，得

解这个方程，得（舍去）
答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．
（2）①由题意，丙种门票价格下降10元，得：
购买丙种门票的人数增加：（万人），
购买甲种门票的人数为：（万人），
购买乙种门票的人数为：（万人），
所以：门票收入问；
（万元）
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，
由题意，得

化简，得，
，
∴当时，取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，为817.6万元．