平均数、众数和中位数知识点及习题学案

平均数、众数和中位数

【学习目标】

1. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述；

2. 能解释统计的结果，根据结果作出简单的判断和预测；

3. 知道可以通过样本的平均数来估计总体的平均数，并用它们去解决实际问题．

【要点梳理】

要点一、平均数

1.算术平均数

一般地，有n个数，我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数.记作（读做“x拔”）.

要点诠释：

（1）平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.

（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会引起平均数的变动，所以平均数容易受到个别特殊值的影响.

2.加权平均数

     在一组数据中，数据重复出现的次数f叫做这个数据的权.按照这种方法求出的平均数，叫做加权平均数.

加权平均数的计算公式为：若数据出现次，出现次，出现次……出现次，这组数据的平均数为，则=（+++…+）（其中n=+++…+）

     “权”越大，对平均数的影响就越大.加权平均数的分母恰好为各权的和.

要点诠释：

（1）越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.

（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算.

要点二、众数和中位数

1.众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.

要点诠释：

（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个.

（2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.

2.中位数

将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数.

要点诠释：

（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中.

（2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据各占一半.

要点三、平均数、中位数与众数的联系与区别

联系：平均数、中位数、众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度.

区别：平均数容易受极端值的影响；中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.

在一组存在极端值的数据中，用中位数或众数作为表示这组数据特征的统计量有时会更贴近实际.

要点四、用样本估计总体

在考察总体的平均水平时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平近似估计得到总体的平均水平.

要点诠释：

（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.

（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价.

【典型例题】

类型一、平均数、众数和中位数

1、某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，则这位选手得分的众数和中位数分别是（　　）

A．99.60，99.70         B．99.60，99.60

C．99.60，98.80         D．99.70，99.60

【思路点拨】根据众数和中位数的定义求解即可．

【答案】B；

【解析】解：数据99.60出现3次，次数最多，所以众数是99.60；数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．故选B．

【总结升华】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

举一反三：

【高清课堂  数据的分析 例8】

【变式1】若数据3.2，3.4，3.2，，3.9，3.7的中位数是3.5，则其众数是________，平均数是________．

【答案】3.2；3.5；

解：由题意，所以众数是3.2，平均数是3.5.

【变式2】某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（　　）

A．6.2小时    B．6.4小时    C．6.5小时    D．7小时

【答案】B；

解：根据题意得：

（5×10+6×15+7×20+8×5）÷50

=（50+90+140+40）÷50

=320÷50

=6.4（小时）．

故这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是6.4小时． 

类型二、利用平均数、众数、中位数解决问题 

2、某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示：

    (1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，说明理由；

    (2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试得分按5:3:2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由．

【思路点拨】（1）运用求平均数公式即可求出三人的平均成绩，比较得出结果；（2）将三人的成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果.

【答案与解析】

解：(1)甲的平均成绩为：(85＋70＋64)÷3＝73，

乙的平均成绩为：(73＋71＋72)÷3＝72，

丙的平均成绩为：(73＋65＋84)÷3＝74，

∴ 候选人丙将被录用．

    (2)甲的测试成绩为：(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3，

乙的测试成绩为：(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2，

丙的测试成绩为：(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8，

       ∴ 候选人甲将被录用．

【总结升华】5、3、2即各个数据的“权”，反映了各个数据在这组数据中的重要程度，按加权平均数来录用．

举一反三：

【高清课堂  数据的分析 例10】

【变式】小王在八年级第一学期的数学成绩分别为：测验一得89分，测验二得78分，测验三得85分，期中考试得90分，期末考试得87分，如果按照平时、期中、期末的10％、30％、60％量分，那么小王该学期的总评成绩应该为多少?

【答案】

解：小王平时测试的平均成绩（分）．

所以（分）．

答：小王该学期的总评成绩应该为87.6分．

3、（2015春•东莞期末）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋20双，各种尺码鞋的销售量如表：

（1）求出这些尺码鞋的平均数，中位数，众数．

（2）如果你是老板，去鞋厂进货时哪个尺码的鞋子可以多进一些？为什么？

【思路点拨】（1）直接利用平均数公式求出即可，再利用中位数以及众数的定义得出答案；

（2）利用众数的意义得出答案．

【答案与解析】

解：（1）这组数据的平均数是：

=（23.5×3+24×4+24.5×4+25×7+25.5+26）

=24.55，

中位数是：24.5，众数是25；

（2）去鞋厂进货时25尺码型号的鞋子可以多进一些，

原因是这组数据中的众数是25，故销售的女鞋中25尺码型号的鞋卖的最好．

【总结升华】此题主要考查了众数、中位数的定义以及平均数求法，正确掌握中位数的定义是解题关键．

举一反三：

【变式】某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并绘制了统计图表如图所示的统计图．

请根据图表中的信息，回答以下问题.

    (1)求的值；

    (2)求这50名学生每人一周内的零花钱额的众数和平均数．

【答案】

解：(1) ＝50－15－20－5＝10．

(2)众数是15．

平均数为(5×10＋10×15＋15×20＋20×5)＝12．

类型三、用样本估计总体

4、我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量(单位：t)，并将调查结果绘成了如图所示的条形统计图．

    (1)求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；

(2)根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有多少户．

【思路点拨】（1）根据条形统计图，即可知道每一名同学家庭中一年的月均用水量．再根据加权平均数的计算方法、中位数和众数的概念进行求解；（2）首先计算样本中家庭月均用水量不超过7t的用户所占的百分比，再进一步估计总体．

【答案与解析】

 解：(1)观察条形图，可知这组样本数据的平均数是

．

∴ 这组样本数据的平均数为6.8．

∴ 在这组样本数据中，6.5出现了4次，出现的次数最多．

∴ 这组数据的众数是6.5．

∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是6.5，有．

      ∴ 这组数据的中位数是6.5．

(2)∵ 10户中月均用水量不超过7t的有7户，有．

∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7t的约有35户．

【总结升华】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．

举一反三：

【变式】（2014•清河区二模）4月23日是“世界读书日”，向阳中学对在校学生课外阅读情况进行了随机问卷调查，共发放100份调查问卷，并全部收回．根据调查问卷，将课外阅读情况整理后，制成表格如下：

请你根据以上信息，解答下列问题：

（1）被调查的学生月平均阅读册数为　    　  本；

（2）被调查的学生月阅读册数的中位数是　      ；

（3）在平均数、中位数这两个统计量中，　      　更能反映被调查学生月阅读的一般水平；

（4）若向阳中学共有学生1600人，求四月份该校学生共阅读课外书籍多少本？

【答案】

解：（1）平均阅读册数为：=2.3（本）；

（2）∵共有100名学生，

∴第50和51为同学的阅读量的平均数为中位数：=2；

（3）在平均数、中位数这两个统计量中，中位数更能反映被调查学生月阅读的一般水平；

（4）2.3×1600=3680（本）．

平均数、众数和中位数

【巩固练习】

一. 选择题

1.已知一组数据2，l，，7，3，5，3，2的众数是2，则这组数据的中位数是(    )．

    A．2    B．2．5    C．3    D．5

2．8名学生在一次数学测试中的成绩为80，82，79，69，74，78，，81，这组成绩的平均数是77，则的值为(    )．

    A．76    B．75    C．74    D．73

3．有8个数的平均数是11，还有12个数的平均数是12，则这20个数的平均数是(    )．

    A．11.6    B．232    C．23.2    D．11.5

4. 某班体育委员记录了第一小组七位同学定点投篮(每人投10次)的情况，投进篮筐的个数为6，10，5，3，4，8，4，这组数据的中位数是(    )．

    A．4    B．7    C．5    D．3

5.（2015•济南）济南某中学足球队的18名队员的年龄如表所示：

这18名队员年龄的众数和中位数分别是（　　）

A．13岁，14岁    B．14岁，14岁    C．14岁，13岁    D．14岁，15岁

6. 已知一组数据，，，，的平均数是2，那么另一组数据，，，，的平均数为(    )．

A．1    B．2    C．3    D．4

二. 填空题

7．已知三个不相等的正整数的平均数、中位数都是3，则这三个数分别为________．

8．数据1、2、4、4、3、5、l、4、4、3、2、3、4、5，它们的众数是____、中位数是____、平均数是_______．

9. 给出一组数据：23，22，25，23，27，25，23，则这组数据的中位数是______．

10．在数据－1，0，4，5，8中插入一个数据，使得该数据组的中位数为3，则＝________．

11．某次射击训练中，一小组的成绩如下表所示：

    若该小组的平均成绩为7.7环，则成绩为8环的人数为_________．

12.（2015•上海）已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：

那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是　    　岁．

三. 解答题

13.（2015•呼和浩特）学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表：

（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁；

（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．

14. 小亮和小莹自制了一个标靶进行投标比赛，两人各投了10次，如图是他们投标成绩的统计图．

（1）根据图中信息填写下表

（2）分别用平均数和中位数解释谁的成绩比较好．

15. 为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．

（1）小明一共调查了多少户家庭？

（2）求所调查家庭5月份用水量的众数、平均数；

（3）若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．

【答案与解析】

一. 选择题

1.【答案】B；

【解析】由众数的意义可知＝2，然后按照从小到大的顺序排列这组数据，则中位数应为．

2．【答案】D；

  【解析】由题意，解得.

3．【答案】A；

  【解析】

4.【答案】C；

【解析】把这组数据按从小到大的顺序排列为3，4，4，5，6，8，10，则中位数为5.

5.【答案】B；

【解析】解：∵济南某中学足球队的18名队员中，14岁的最多，有6人，

∴这18名队员年龄的众数是14岁；

∵18÷2=9，第9名和第10名的成绩是中间两个数，

∵这组数据的中间两个数分别是14岁、14岁，

∴这18名队员年龄的中位数是：

（14+14）÷2

=28÷2

=14（岁）

综上，可得这18名队员年龄的众数是14岁，中位数是14岁．

故选：B．

6.【答案】D；

【解析】本题可推广为：若，…，的平均数是，则，，…，的平均数为；，…，的平均数为，因此,，的平均数为.

二. 填空题

7．【答案】1、3、5或2、3、4.

8．【答案】4；3.5；3.21；

【解析】 数据中4出现了5次，出现的次数最多，所以众数是4；把数据重新排列，最中间的两个数是3和4，所以这组数据的中位数是3.5；这组数据的平均数是．

9.【答案】23；

  【解析】先把这组数据按照从小到大的顺序排列，不难发现处于中间的数是23.

10．【答案】2；

11．【答案】4；

   【解析】设成绩为8环的人数为，则.

12.【答案】14；

   【解析】解：从小到大排列此数据，第27名成员的年龄是14岁，

所以这个小组成员年龄的中位数是14．

故答案为14．

三. 解答题

13.【解析】

解：（1）=（73+80+82+83）÷4=79.5，

∵80.25＞79.5，

∴应选派甲；

（2）=（85×2+78×1+85×3+73×4）÷（2+1+3+4）=79.5，

=（73×2+80×1+82×3+83×4）÷（2+1+3+4）=80.4，

∵79.5＜80.4，

∴应选派乙．

14.【解析】

解：（1）根据题意得：小亮的环数为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，

平均数为（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7（环），中位数为7，众数为7；

小莹的环数为：3，4，6，9，5，7，8，9，9，10，

平均数为（3+4+6+9+5+7+8+9+9+10）=7（环），中位数为7.5，众数为9，

填表如下：

（2）平均数相等说明：两人整体水平相当，成绩一样好；小莹的中位数大说明：小莹的成绩比小亮好．

15.【解析】

解：（1）1+1+3+6+4+2+2+1=20，

答：小明一共调查了20户家庭；

（2）每月用水4吨的户数最多，有6户，故众数为4吨；

平均数：（1×1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8×1）÷20=4.5（吨）；

（3）400×4.5=1800（吨），

答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．