考点18三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

这是一份考点18三角形（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版），共15页。试卷主要包含了 三角形的概念， 与三角形有关的线段，解答题等内容，欢迎下载使用。
考点18三角形考点总结一、 三角形的概念三角形的概念 ：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。三角形特性（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上    三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。三角形按边分类  ：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。三角形三边的关系（重点） （1）三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。（2） 已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：         不等边三角形三角形                   底和腰不相等的等腰三角形         等腰三角形                         等边三角形三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形   锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）三角形的稳定性    三角形具有稳定性     四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。二、 与三角形有关的线段三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。注意：三角形的角平分线是一条线段，角的平分线是一条射线。知识点三 与三角形有关的角三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。备注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。等角的补角相等，等角的余角相等。三角形的外角和定理：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 2.三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。真题演练 一、单选题1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，则以下两个角的关系中不成立的是（   ）A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠2 C．∠4＝∠5 D．∠4＝∠C【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质和同角的余角相等可判定选项A、B、D正确；根据三角形的外角的性质可判定选项C错误．【详解】∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠1＝∠2；∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠2+∠C=90°，∠3+∠C=90°，∴∠3＝∠2；∵∠2+∠C=90°，∠2+∠4=90°，∴∠4＝∠C；∵∠4＝∠5+∠1，∴选项C错误．综上，符合要求的只有选项C．故选C．2．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（    ）A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定【答案】A【分析】根据点A的坐标，求出OA=2，根据点与圆的位置关系即可做出判断．【详解】解：∵点A的坐标为（1，），∴由勾股定理可得：OA=，又∵⊙O的半径为2，∴点A在⊙O上．故选：A．3．如图所示，在正方形中，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分），得到长为的正方形，则下列等式成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，在中，，，，即可得出结论．【详解】根据题意，在正方形ABCD中，将它剪去4个全等的直角三角形，得到长为c的正方形，∴在中，，，，∴，A选项不符合题意；根据勾股定理得：，符合题意；C：，不符合题意；D：，不符合题意；故选：B．4．一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理求出斜边的长，以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．【详解】∵直角三角形两条直角边分别是，，∴斜边，∵要做一个与其相似的三角形木架，∴两个三角形对应边成比例，∵直角三角形中斜边最大，∴以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，则有2种情况，①，解得：，②，解得：，∴另两边中长度最大的一边最多可达到，故选：C．5．一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与相等的角是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质，三角板的特点即可求出各角的度数，即可求解．【详解】解：由三角板的特点得∠2=45°，∠4=30°，∠5=60°，∵AB∥CD，∴∠1=∠2=45°，∴∠3=∠1+∠4=75°，∴与相等的角是∠2．故选：A6．如图，分别与交于点B，F，若，，则的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意易得，则有，进而根据三角形外角的性质可求解问题．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴；故选A．7．用直角三角板作的高，下列作法正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据高线的定义即可得出结论．【详解】解：A、B、D均不是高线．故选：C．8．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）A．1，，2 B．1，1，2 C．2，3，4 D．4，5，6【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可．【详解】解：A、∵12+（）2＝22，∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵42+52≠62，∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．9．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　）A．2 B．2 C． D．2【答案】A【分析】连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，易证△OAP≌△OBP，通过构建直角三角形，可解答．【详解】解：连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，∵OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OPA=∠OPB=90°，∴△OAP≌△OBP，∴在直角△OPA中，OA=2，OP=1，∴AP=,∴AB=2．故选A．10．下列说法中，正确的是（  ）A．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补B．相等的角是对顶角C．三角形的外角等于两个内角的和D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角【答案】D【详解】试题分析：A、若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补，错误；B、相等的角是对顶角，错误；C、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故错误；D、若三条直线两两相交，则共有6对对顶角，故正确；故选D．二、填空题11．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则sin∠ACB的值为 __________________．【答案】【分析】作辅助线BD使∠ACB直角三角形BCD中，然后用正弦函数的定义即可．【详解】解：作如图所示的辅助线，则BD⊥AC，∵BC＝，BD＝，∴sin∠ACB＝，故答案为：．12．如图所示的正方形网格内，点A，B，C，D，E是网格线交点，那么_____°．【答案】90【分析】由题意设出网格边长，根据勾股定理分别表示出，再利用勾股定理逆定理可得结论．【详解】解：设正方形网格边长为a，由勾股定理求得，∴  ∴为直角三角形，即故答案为：90．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(5，4)．若四边形OABC是平行四边形，则平行四边形OABC的周长等于___．【答案】14【分析】根据点A坐标，知边长OA=2，根据A、B两点坐标，利用距离公式算出AB长度，即可求出周长．【详解】解：，，，，∴平行四边形的周长为：．故答案为：1414．如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在上任取一点C，以点C为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点P，点Q，连接    ①    ，理由是    ②    第二步过点C作的垂线，交于点D，交于点E， ③    第三步作射线射线平分射线为所求作． 【答案】见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．             ①∵OQ是直径∴∠OPQ=90°故答案为：90；                ②故答案为：直径所对的圆周角是直角；         ③∵CE⊥PQ∴由垂径定理得：．  故答案为：15．如图，平分，点B在射线上，若使，则还需添加的一个条件是_______（只填一个即可）．
 【答案】AC=AD或或．【分析】由AE平分∠CAD，可得∠CAB=∠DAB，由AB共用从边上考虑，只能添加AC=AD，可证，从角上考虑，可添加或，即可．【详解】解：因为AE平分∠CAD，所以∠CAB=∠DAB，又∵AB=AB，已具备一边一角，从边上考虑，只能添加AC=AD，在△ABC和△ABD中，，，从角上考虑，可添加或，添加在△ABC和△ABD中，，，添加，在△ABC和△ABD中，，，故答案为：AC=AD或或．三、解答题16．《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点，使两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取的中点，那么直线表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；
 （2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在中，______________，是的中点，（______________）（填推理的依据）．∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向．【答案】（1）图见详解；（2），等腰三角形的三线合一【分析】（1）分别以点A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与AC的交点即为所求点D；（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答．【详解】解：（1）如图所示：
 （2）证明：在中，，是的中点，（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）．∵直线表示的方向为东西方向，∴直线表示的方向为南北方向；故答案为，等腰三角形的三线合一．17．如图，点F，G分别在△ADE的AD，DE边上，C，B依次为GF延长线上两点，AB=AD，∠BAF=∠CAE，∠B=∠D．（1）求证：BC=DE；（2）若∠B=35°，∠AFB=78°，直接写出∠DGB的度数．【答案】（1）见解析；（2）67°．【详解】（1）证明：∵∠BAF=∠CAE，∴∠BAF﹣∠CAF=∠CAE﹣∠CAF，∴∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴BC=DE；（2）解：∠DGB的度数为67°，理由为：∵∠B=∠D，∠AFB=∠GFD，∴∠DGB=∠BAD，在△AFB中，∠B=35°，∠AFB=78°，∴∠DGB=∠BAD=180°﹣35°﹣78°=67°．18．如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD．求证：∠E=∠D．【答案】证明见解析．【详解】本题考查了等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．先由等角对等边得出AB=CB，再由HL证明Rt△EAB≌Rt△DCB，得出对应角相等即可．证明：在△ABC中∵∠BAC=∠BCA，∴AB=CB．∵∠BAE=∠BCD=90°，在Rt△EAB和Rt△DCB中，∴Rt△EAB≌Rt△DCB．∴∠E=∠D．