考点20圆（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

这是一份考点20圆（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版），共21页。试卷主要包含了圆的有关概念及其对称性，垂径定理，圆心角，圆心角与圆周角，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，三角形的内切圆等内容，欢迎下载使用。
考点20圆考点总结一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做圆心，定长叫做半径．2．圆的对称性：(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形．二、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2．推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角1．定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角．2．性质：(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．[来源:](4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．五、点与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．[来源:学*科*网Z*X*X*K]2．点和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d。d＞r点在圆外；d＝r点在圆上；d＜r点在圆内.3．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心．[六、直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系：相离、相切、相交．2．概念：(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆相交；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．3．直线和圆的位置关系的判断：如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交d＜r；直线l和⊙O相切d＝r；直线l和⊙O相离d＞r.[来源:ZXXK][来源:]七、切线的判定和性质1．切线的判定方法：(1)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．2．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．八、三角形(多边形)的内切圆1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心．2．三角形的内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．九、圆与圆的位置关系1．概念：①两圆外离：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部；②两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的外部；③两圆相交：两个圆有两个公共点；④两圆内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；⑤两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部．2．圆与圆位置关系的判断：设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2＝D．两圆外离d＞R＋r；两圆外切d＝R＋r；两圆相交R－r＜d＜R＋r(R≥r)；两圆内切d＝R－r(R＞r)；两圆内含0≤d＜R－r(R＞r)． 十、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝.[来源:]2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝或S＝lr.十一、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h.如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．因此圆锥的侧面积：S侧＝l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.十二、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．[来源:]真题演练一、单选题1．如图，是的直径，点，在上，点是的中点，过点画的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为（    ）
 A． B． C． D．【答案】B【分析】根据切线的性质得到BA⊥AD，根据直角三角形的性质求出∠B，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，进而求出∠BAC，根据垂径定理得到BA⊥EC，进而得出答案．【详解】解：∵AD是⊙O的切线，∴BA⊥AD，∵∠ADB=58.5°，∴∠B=90°-∠ADB=31.5°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC=90°-∠B=58.5°，∵点A是弧EC的中点，∴BA⊥EC，∴∠ACE=90°-∠BAC=31.5°，故选：B．2．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）
 A．64° B．58° C．68° D．55°【答案】A【分析】利用圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．即可解答．【详解】解：，故选：A．3．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（   ）A．4 B． C．3 D．【答案】B【分析】过点作，交于点，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．【详解】解：过点作，交于点，是的外接圆，，，又，，，，在中，，，，，故选：．4．如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图可知，树叶形图案的面积是两个圆心角为90°，且半径为a的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出树叶形图案的面积．【详解】解：树叶形图案的面积为： ．故选：B．5．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为3的扇形，这个圆锥的底面圆的半径为（    ）A． B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长即可解答．【详解】设此圆锥的底面半径为r，∴2πr=，r=1．故选D．6．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．若⊙O的半径为5，则半径OA，OB与围成的扇形的面积是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】先求出圆心角∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可求解．【详解】∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆．∴∠AOB=∴OB与围成的扇形的面积是故选B．7．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（    ）A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定【答案】A【分析】根据点A的坐标，求出OA=2，根据点与圆的位置关系即可做出判断．【详解】解：∵点A的坐标为（1，），∴由勾股定理可得：OA=，又∵⊙O的半径为2，∴点A在⊙O上．故选：A．8．半径为，圆心角为的扇形的面积等于（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用扇形的面积公式 即可求出面积．【详解】扇形的面积为： 故选：B9．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　）A．2 B．2 C． D．2【答案】A【分析】连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，易证△OAP≌△OBP，通过构建直角三角形，可解答．【详解】解：连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，∵OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OPA=∠OPB=90°，∴△OAP≌△OBP，∴在直角△OPA中，OA=2，OP=1，∴AP=,∴AB=2．故选A．10．如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解．【详解】解：如图，
 ∵AB为⊙O的直径，P在上，∴∠APB=90°，∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ，∴∠BPQ=25°，∴∠BOQ=2∠BPQ=50°，∵点C、D将分成相等的三段弧，∴，∴∠BOD=，∵∠BOQ<∠BOD，∴Q在上，故选D．二、填空题11．如图所示的网格是正方形网格，，，，是网格线交点，恰好经过点，，，OD为与网格线重合的一条半径，则∠ABC 与∠AOD大小关系为：∠ABC ____∠AOD（填“＞”，“＝”或“＜”）．【答案】=【分析】分别连接、；结合题意，根据圆周角和圆心角的性质，得；根据垂径定理，得，从而得，即可得到答案．【详解】如图，分别连接、 ∵恰好经过点，，∴ ∵OD为与网格线重合的一条半径∴ ∴ ∴ ∴故答案为：＝．12．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝50°，则∠ABO=_______°．【答案】40【分析】，在中求解即可．【详解】，∠ACB＝50°∴又∵在中，OA=OB，∴．故答案为：4013．若两圆的半径分别是1和3，且两圆的位置关系是相切，则圆心距为_________．【答案】2或4【分析】两圆相切可分为内切和外切，所以根据两种情况分别计算出圆心距即可．【详解】内切时圆心距为：3-1=2；外切时圆心距为：3+1=4；故答案为：2或414．如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径是2，∠BAC＝60°，则的长是________．【答案】【分析】连接OC、OB，根据∠BAC=60°，则∠BOC=120°，则的长度是圆周长的三分之一．【详解】如图，连接OC、OB，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∵半径为2，∴长度为=，故填：．15．如下是小华设计的“作的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空（保留作图痕迹）．步骤作法推断第一步在上任取一点C，以点C为圆心，为半径作半圆，分别交射线于点P，点Q，连接    ①    ，理由是    ②    第二步过点C作的垂线，交于点D，交于点E， ③    第三步作射线射线平分射线为所求作． 【答案】见解析；①90；②直径所对的圆周角是直角；③【分析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论【详解】解：补全的图形如图1所示．             ①∵OQ是直径∴∠OPQ=90°故答案为：90；                ②故答案为：直径所对的圆周角是直角；         ③∵CE⊥PQ∴由垂径定理得：．  故答案为：三、解答题16．如图，是的外接圆，是的直径，于点．（1）求证：；（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．【答案】（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：∵是的直径，，∴，∴；（2）解：由题意可得如图所示：由（1）可得点E为BC的中点，∵点O是BG的中点，∴，∴，∴，∵，∴，∵的半径为5，∴，∴，∴．17．对于平面直角坐标系中的一点和，给出如下的定义：若上存在一个点，连接PA，将射线PA绕点P顺时针旋转90°得到射线PM，若射线PM与相交于点B，则称为的直角点．（1）当的半径为时，①在点、、中，的直角点是    ．②已知直线：，若直线上存在的直角点，求的取值范围．（2）若，的半径为，直线 上存在的直角点，直接写出的取值范围．【答案】（1）①D，E；②；（2）【分析】（1）①如图，由定义可得：都在上，且 再分别画出图形，即可得到答案；②由定义可知，如图的直角点，分布在以为圆心以为半径的圆上或圆内，结合①可得直线的两个极限位置，从而可得答案；（2）先求解与轴的交点坐标，再求解 再分两种情况讨论：情况1：q＞0时，结合①画出图形求解，再利用对称性得到．情况2：q＜0时， ，从而可得答案．【详解】解：（1）①如图，由定义可得：都在上，且 当重合时，则，此时故是的直角点，如图，同理可得；是的直角点，当时，＜ 不是的直角点，故答案为：D，E；②由定义可知，如图的直角点，分布在以为圆心以为半径的圆上或圆内由①可得：当直线过时， 当直线过时， 所以；（2） ，当，则 当 则 所以直线与轴交点为，与轴的交点 情况1：q＞0时，如图（半径为）与直线相切时，∵，，∴，∴，∴．情况2：q＜0时，根据对称性，，∴的取值范围为18．如图，AB是直径，点C是上一点，过点C作的切线CG，过点B作CG的垂线，垂足为点D，交于点E，连接CB．（1）求证：CB平分∠ABD；（2）若，BC＝5，求CE长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）解：连结OC．由CG为的切线，可得∠OCD＝90° ，由ED⊥CG，可得OC∥ED．由OC＝OB，可证∠1＝∠2；（2）连接AC，AB为的直径，可得∠1＋∠A＝90° ，由ED⊥CG，可得∠2＋∠3＝90°，进而可得∠3＝∠E，由BC＝5，可求BD=Bcsin∠3=3，由勾股定理CD＝，即可求出．【详解】（1）解：连结OC．∵CG为的切线，∴∠OCD＝90° ∵ED⊥CG，∴∠EDC＝90°．∴OC∥ED．∴∠OCB＝∠2. ∵OC＝OB，∴∠1＝∠OCB，∴∠1＝∠2，∴CB平分∠OBD ；（2）连接AC，∵AB为的直径，∴∠ACB=90°，∴∠1＋∠A＝90° ，∵ED⊥CG，∴∠2＋∠3＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠A＝∠3，∵∠E＝∠A，∴∠3＝∠E，∴，∵BC＝5，∴BD=Bcsin∠3＝5×=3，∴CD＝，∴，∴．