考点25投影与视图（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点25投影与视图

考点总结

一、投影

一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影

概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影。

特征：

1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.
2.等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.

平行投影变化规律:

1.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.

2.在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.　即：

.
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.
注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

中心投影

概念：由同一点 (点光源) 发出的光线形成的投影叫做中心投影。
特征：

1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.
　　　　　　　　　　　　　
2等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.
考查题型（求点光源的位置）

点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.

中心投影与平行投影的区别与联系：

正投影

正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.

1.线段的正投影分为三种情况.如图所示.
　　　　　　　　　　　　　

①       线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；、

②       线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长；

③       线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.

2.平面图形正投影也分三种情况，如图所示.
　　　　　　　　　　　　
①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；

②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.
③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.

3.立体图形的正投影.
　　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.
 

二、三视图

三视图的概念：

视图概念：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.
正面、水平面和侧面概念：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.
三视图概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
三视图之间的关系

1.位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.
　　　　　　　　　　　　　
2.大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示.

画几何体三视图的基本方法：
画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：
1.确定主视图的位置，画出主视图；
2.在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；
3.在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.
注意：几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.

由三视图想象几何体的形状
　　由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.
利用三视图计算几何体面积

利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积。

真题演练

一、单选题

1．如图，是某几何体的三视图，则该几何体是（    ）

A．长方体 B．正方体

C．三棱柱 D．圆柱

【答案】A

【分析】

该几何体的主视图为正方形，俯视图与左视图均为矩形，易得出该几何体的形状．

【详解】

解：该几何体的主视图为正方形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，

则可得出该几何体是长方体．

故选：A．

2．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．

【详解】

解：A、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆，故A选项不合题意；

B、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故B选项不合题意；

C、三棱柱主视图是一行两个矩形，中间线为虚线，俯视图是三角形，故C选项不合题意；

D、球的主视图和俯视图都是圆，故D选项符合题意；

故选：D．

3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（    ）

A．长方体 B．三棱柱 C．三棱锥 D．圆锥

【答案】B

【分析】

根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱．

【详解】

根据俯视图判定几何体可能是三棱柱或三棱锥，根据主视图判定为三棱柱．

故选B．

4．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（    ）

A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．正方体

【答案】D

【分析】

依题意，主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．

【详解】

A、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故A选项不合题意；

B、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆，故B选项不合题意；

C、三棱柱主视图是一行两个矩形，俯视图是三角形，故C选项不合题意；

D、正方体主视图和俯视图都为正方形，故D选项符合题意；

故选：D．

5．一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．18

【答案】B

【分析】

从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有6个，右侧有2个，根据三视图的思路可解答该题．

【详解】

解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子．主视图可知左侧碟子有6个，右侧有2个，

而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个，

故选：B．

6．将3个完全相同的长方体按如图方式摆放，其中每个长方体的长、宽、高分别为10，6，1，则这3个长方体组成的图形左视图面积为（    ）

A．10 B．18 C．30 D．60

【答案】C

【分析】

求出左视图为长为10，宽为3的长方形，即可求得面积．

【详解】

解：根据几何体可以得到，这3个长方体组成的图形左视图为长为10，宽为3的长方形，

左视图的面积为

故答案为C．

7．下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】

根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案．

【详解】

解：太阳光下的影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上可知，选项C中的图形比较符合题意；

故选C．

8．矩形纸片在平行投影下的正投影不可能是（  ）

A．矩形 B．平行四边形 C．线段 D．点

【答案】D

【分析】

根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行，即可得出答案．

【详解】

解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．

故长方形的正投影不可能是点，

故选：D．

9．如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项

【详解】

因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，

故选D

10．下列现象中，属于中心投影的是（　　）

A．白天旗杆的影子 B．阳光下广告牌的影子

C．舞台上演员的影子 D．中午小明跑步的影子

【答案】C

【分析】

根据中心投影的意义和性质解答．

【详解】

A、白天旗杆的影子为平行投影，所以A选项不合题意；

B、阳光下广告牌的影子为平行投影，所以B选项不合题意；

C、舞台上演员的影子中心投影，所以C选项符合题意；

D、中午小明跑步的影子平行投影，所以D选项不合题意．

故选：C．

二、填空题

11．如图，该正方体的主视图是_______形．

【答案】正方

【分析】

根据主视图为正面所看到的图形进而得出答案．

【详解】

解：正方形的主视图为正方形，

故答案为正方．

12．某立体图形的三视图中，主视图是矩形，请写出一个符合题意的立体图形名称：_________．

【答案】圆柱

【分析】

根据三视图的定义求解即可．

【详解】

解：圆柱的主视图是矩形，

故答案为：圆柱．

13．在如图所示的几何体中，其三视图中有三角形的是________．（填序号）

【答案】②③

【分析】

主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此作答．

【详解】

①圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，

②圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，

③三棱锥的主视图、左视图是矩形，俯视图是三角形，

④球的三视图完全相同，都是圆．

∴其三视图中有三角形的是②③．

故答案为：②③．

14．从三个方向看所得到的图形都相同的几何体是 __________ (写出一个即可)

【答案】球（答案不唯一）

【分析】

根据三视图的特征即可确定符合题意的几何体.

【详解】

解：球体的三视图均为圆，
故答案为：球体（答案不唯一）．

15．在同一时刻，测得身高的小明同学的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为____________________．

【答案】12

【分析】

根据同时同地物高与影长成比例列式计算即可得解．

【详解】

解：设旗杆高度为xm，
由题意得，，

解得：x=12．
故答案为：12．

三、解答题

16．如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区．

（1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？

（2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由．

【答案】（1）；（2）见详解

【分析】

（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解；

（2）把摄像头安装在AB的中点处，计算出监控盲区的面积，然后把摄像头安装在AB的其他位置，表达出监控盲区的面积，即可得到结论．

【详解】

解：（1）设小正方形的边长为1，

∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3，

∴站在监控盲区的概率=3÷20=；

（2）如图所示：摄像头安装在AB的中点处，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2，

若摄像头不安装在AB的中点处，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2．

17．如图，一棵被大风吹折的大树在处断裂，树梢着地．经测量,折断部分与地面的夹角,树干在某一时刻阳光下的影长米，而在同时刻身高米的人的影子长为米．求大树未折断前的高度(精确到米)． (参考数据：)

【答案】米

【分析】

利用比例式求得BC的长，然后在Rt△ACB中求得AB的长，两者相加即可得到铁塔的高度．

【详解】

解：依题意，得

即

在中，（米）

（米）

答：大树未折断前的高度为米

18．实验学校某班开展数学“综合与实践”测量活动．有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一斜坡，且圆柱底部到坡脚水平线的距离皆为．王诗嬑观测到高度矮圆柱的影子落在地面上，其长为；而高圆柱的部分影子落在坡上，如图所示．已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，测得斜坡坡度，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请解答下列问题：

（1）若王诗嬑的身高为，且此刻她的影子完全落在地面上，则影子长为多少？

（2）猜想：此刻高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内．请直接回答这个猜想是否正确？

（3）若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为，则高圆柱的高度为多少？

【答案】（1）120cm；（2）正确；（3）280cm

【分析】

（1）根据同一时刻，物长与影从成正比，构建方程即可解决问题．

（2）根据落在地面上的影子皆与坡脚水平线互相垂直，并视太阳光为平行光，结合横截面分析可得；

（3）过点F作FG⊥CE于点G，设FG=4m，CG=3m，利用勾股定理求出CG和FG，得到BG，过点F作FH⊥AB于点H，再根据同一时刻身高与影长的比例，求出AH的长度，即可得到AB.

【详解】

解：（1）设王诗嬑的影长为xcm，

由题意可得：，

解得：x=120，

经检验：x=120是分式方程的解，

王诗嬑的的影子长为120cm；

（2）正确，

因为高圆柱在地面的影子与MN垂直，所以太阳光的光线与MN垂直，

则在斜坡上的影子也与MN垂直，则过斜坡上的影子的横截面与MN垂直，

而横截面与地面垂直，高圆柱也与地面垂直，

∴高圆柱和它的影子与斜坡的某个横截面一定同在一个垂直于地面的平面内；

（3）如图，AB为高圆柱，AF为太阳光，△CDE为斜坡，CF为圆柱在斜坡上的影子，

过点F作FG⊥CE于点G，

由题意可得：BC=100，CF=100，

∵斜坡坡度，

∴，

∴设FG=4m，CG=3m，在△CFG中，

，

解得：m=20，

∴CG=60，FG=80，

∴BG=BC+CG=160，

过点F作FH⊥AB于点H，

∵同一时刻，90cm矮圆柱的影子落在地面上，其长为72cm，

FG⊥BE，AB⊥BE，FH⊥AB，

可知四边形HBGF为矩形，

∴，

∴AH==200，

∴AB=AH+BH=AH+FG=200+80=280，

故高圆柱的高度为280cm.