考点02实数运算（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点02实数运算

考点总结

一．平方根、算术平方根、立方根

1．平方根

（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．

（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．

一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．

2．算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．

记为．

（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．

（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．

3．立方根

（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．

（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根。

（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。

注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根。4．平方根和立方根的性质

（1）平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（2）立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

二、无理数定义及估算

1．无理数定义

（1）定义：无限不循环小数叫做无理数．

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．

（2）无理数与有理数的区别：

　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．

　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．

（3）常见三种类型

①开不尽的方根，如等．

②特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．

③含有π的绝大部分数，如2π．

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．

2．估算无理数的大小

估算无理数大小要用逼近法，即用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．

三、实数的运算

1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．

2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．

3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．

真题演练

一、单选题

1．已知．若为整数且，则的值为（    ）

A．43 B．44 C．45 D．46

【答案】B

【分析】

由题意可直接进行求解．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

∴；

故选B．

2．将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】

易得正方形的面积，求得正方形面积的算术平方根即为所求的边长，利用四数的平方与正方形面积作差的绝对值进行比较即可解答．

【详解】

解：正方形的面积与原长方形的面积相等，S长方形=，

∴S正方形=8，

设正方形的边长为x

则x2=8

解得：x=

则正方形的边长为=，

∵12=1,22=4,32=9,42=16

∴8-1=7，8-4=4，9-8=1，16-8=8；

∵8>7>4>1

∴正方形的边长最接近整数3

故选：C．

3．下列各数中，小于的正整数是（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】

根据即可解答．

【详解】

∵，

∴小于的正整数是1．

故选C．

4．A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），若点A，B分别对应的实数为a，b，且，则中最大的数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），确定点A在原点左侧，点B在原点右侧，从而得到b＞a，又根据|a|>| b| ，得到-a>b，即-b＞a，即可得出最大的数.

【详解】

∵A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），

所以点A在原点左侧，点B在原点右侧，

所以a＜0，b＞0，即b＞a，

又因为|a|>|b| ，所以-a>b，即-b＞a，

所以-a＞b＞a，

又因为b＞0，所以-b＜0，

所以-a＞b＞-b＞a；

故选：B.

5．比大，比小的整数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】

由，得出，即可得出选项

【详解】

解：∵，

∴大于且小于的整数是2．

故选：B

6．下列命题中，真命题是（　　）

A．两个锐角的和一定是钝角

B．相等的角是对顶角

C．垂线段最短

D．带根号的数一定是无理数

【答案】C

【分析】

根据锐角、对顶角、垂线段及无理数的定义即可依次判断．

【详解】

解：A、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；

C、垂线段最短，正确，是真命题，符合题意；

D、带根号的数不一定是无理数，如，故原命题错误，不符合题意，

故选：C．

7．实数在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与

【答案】D

【分析】

由数轴可知，，，表示的数为，，2，3，根据互为相反数的绝对值相等，即可解答．

【详解】

解：由数轴可知，，，表示的数为，，2，3，

，

与互为相反数，

故选：．

8．已知，那么a，b，c的大小顺序是（　　）

A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b

【答案】A

【分析】

先估算出的值，再分别求出a、b、c的值比较其大小．

【详解】

解：∵≈2.236，

∴a＝2﹣≈2﹣2.236＝﹣0.236；

b＝﹣2≈2.236﹣2＝0.236；

c＝5﹣2≈5﹣4. 472＝0.528，

∵0.528＞0.236＞﹣0.236，

∴5﹣2＞﹣2＞2﹣，即a＜b＜c．

故选：A．

9．一个正方形的面积是12，估计它的边长大小在（   ）

A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间

【答案】B

【分析】

先设正方形的边长等于a，再根据其面积公式求出a的值，估算出a的取值范围即可．

【详解】

设正方形的边长等于a，

∵正方形的面积是12，

∴

∵9<12<16，

∴3<<4，即3<a<4.

故选:B.

10．下列实数中，在2和3之间的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

分析：先求出每个数的范围，逐一分析得出选项.

详解：

A、3<π<4，故本选项不符合题意；
B、1<π−2<2，故本选项不符合题意；
C、2<<3，故本选项符合题意；
D、3<<4，故本选项不符合题意；

故选C.

二、填空题

11．写出一个比大且比小的整数________.

【答案】2或3．

【分析】

先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，即可得出答案．

【详解】

∵，，

∴比大且比小的整数是2或3，

故答案为：2或3．

12．从四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有则的最大值______________．

【答案】5

【分析】

找出ai+bi的值，结合对于任意的Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，即可得出S的最大值．

【详解】

解：∵-1+1=0，-1+2=1，-1+4=3，1+2=3，1+4=5，2+4=6，

∴ai+bi共有5个不同的值．

又∵对于任意的Mi={ai，bi}和Mj={aj，bj}（i≠j，1≤i≤S，1≤j≤S）都有ai+bi≠aj+bj，

∴S的最大值为5，

故答案为：5．

13．已知，则________．

【答案】1．

【分析】

根据非负数的性质列式求出、，然后代入代数式进行计算即可得解．

【详解】

解：由题意得：，，

解得，，

所以，．

故答案是：1．

14．在3.141，，，，0，，0.1010010001中，无理数有________个．

【答案】2

【分析】

根据无理数定义，直接判断即可．

【详解】

解：∵

无理数有：，，

故答案为：2．

15．已知a、b为两个连续的整数，且，则a+b＝_____．

【答案】11

【详解】

试题解析：

∴a=5，b=6，

∴a+b=11.

故答案为11.

三、解答题

16．计算

【答案】

【分析】

直接利用二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值的性质以及零指数幂的性质进行化简，进而求出答案．

【详解】

解：原式

17．在平面直角坐标系中，任意两点，，定义线段的“直角长度”为．

（1）已知点．

① ________；

② 已知点，若，求m的值；

（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点．

① 点．如果为“和距三角形”，求d的取值范围；

② 在平面直角坐标系中，点C为直线上一点，点K是坐标系中的一点，且满足，当点C在直线上运动时，点K均满足使为“和距三角形”，请你直接写出点C的横坐标的取值范围．

【答案】（1）① 5；②或7；（2）①且；②＜或

【分析】

（1）①根据题意把，代入计算即可；②把，代入公式，求得，去绝对值求得m的值即可；

（2）①据题意，锐角三角形不可能为 “和距三角形”，结合图像求出d的取值范围；②结合图形画出所有可能情况即可求出的取值范围．

【详解】

解：（1）① ∵

∴；

故答案为：5

② 知点，若，

∴

∴，

或

∴或7；

（2）①

当＞时，不存在“和距三角形”，

∴当时，构成直角三角形如图，符合要求，

当时，构成钝角三角形如图，符合要求，

∴且

② 据题意，点K的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆，且锐角三角形不可能为“和距三角形”，如图：

∴综上所述：＜或

18．计算：．

【答案】－1

【分析】

直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．

【详解】

解：原式

．