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平面向量数量积的运算-平面向量数量积的概念辨析练习题

查看最受欢迎《6.2 平面向量的运算》练习 2024年人教A版 (2019)数学必修第二册同步练习题（全套）

2024-02-24 16:53
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高中数学人教A版 (2019)必修第二册6.2 平面向量的运算当堂检测题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第二册6.2 平面向量的运算当堂检测题，共13页。

1. 对于任意两个向量和，下列命题正确的是（）

A．若，满足，且与同向，则 B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据向量的定义判断A，向量减法的三角形法则判断BD，向量数量积公式判断C.

【详解】

A.向量不能比较大小，所以A不正确；

B.根据向量减法运算公式可知，当向量与不共线时，两边之和大于第三边，即，当与反向时，等号成立，不B正确；

C.，故C不正确；

D.当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即，故D不正确.

故选：B

2. 若·＞0，则与的夹角θ的取值范围是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据数量积的定义可得，从而可得夹角的取值范围.

【详解】

因为，所以，而，所以，

故选：A.

3．（2019·山西大同市·大同一中高一月考）下列说法：①如果是第一象限的角，则角是第四象限的角；②函数在上的值域是；③已知角的终边上的点P的坐标为，则；④中，和的夹角等于A；其中正确的是（）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据象限角的定义、正弦函数的单调性、任意角三角函数的定义和向量夹角的概念分别判断即可.

【详解】

若是第一象限角，，则，所以为第四象限角，故①正确；

函数在单调递增，在上单调递减，所以函数在上的值域是，故②错误；

根据三角函数的定义可知，故③正确；

由向量夹角的概念可知中，和的夹角等于A的补角.

故选：B.

【点睛】

本题考查了象限角的定义和表示、正弦函数的性质、任意角三角函数的定义、向量夹角的概念，属于基础题.

5．下列命题中正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

利用平面向量的减法法则可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量的加法法则可判断D选项.

【详解】

对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，，B选项错误；

对于C选项，，C选项错误；

对于D选项，，D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查平面向量线性运算以及平面向量数量积运算的判断，考查计算能力，属于基础题.

8．下列命题正确的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据平面向量数量积的定义及运算律一一判断即可；

【详解】

解：对于A：，故A错误；

对于B：由可以得到，但是由得不到，当时，故B错误；

对于C：若则或，故C错误；

对于D：，故D正确；

故选：D

12．对于任意两个向量和，下列命题正确的是（）

A．若，满足，且与同向，则 B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据向量的定义判断A，向量减法的三角形法则判断BD，向量数量积公式判断C.

【详解】

A.向量不能比较大小，所以A不正确；

B.根据向量减法运算公式可知，当向量与不共线时，两边之和大于第三边，即，当与反向时，等号成立，不B正确；

C.，故C不正确；

D.当向量与不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即，故D不正确.

故选：B

13．已知向量，，则“或”是“”的（）条件

A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既不充分又非必要

【答案】A

【分析】

利用充分条件和必要条件的定义即可判断.

【详解】

若“或”则，

若，则“或”或，

所以“或”是“”的充分不必要条件，

故选：A

15．对任意向量､，下列关系式中不恒成立的是（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据向量的平方即为模的平方．即可判断A；运用平方差公式和向量数量积的性质，即可判断 B；运用向量数量积的定义，即可判断C；运用向量模的性质，即可判断D.

【详解】

A，由模的平方等于向量的平方知恒成立，故正确；

B，由平方差公式知恒成立，故正确；

C，恒成立，故正确；

D，当不共线时，由三角形中两边之差小于第三边知，，故不恒成立，故D错误.

故选：D

17．以下命题：

①存在，对任意的，使得；

②已知为非零向量，若，则；

③若，则的充要条件是；

④对任意的，均有.

其中，真命题的个数为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

通过赋值，判断①③是否成立；根据向量的概念判断②④是否成立.

【详解】

①当时，对任意的，使得，所以①成立；

②当时非零向量时，若，则，所以②成立；

③当，，此时，当，所以③不成立；

④，所以④不成立；

故选：C

4．已知、是单位向量，以下命题正确的是（）

A． B．

C． D．若，则

【答案】C

【分析】

根据数量积的定义及运算律判断可得；

【详解】

解：因为、是单位向量，所以，，因为向量与向量的夹角未知，故A、B均错误，

若，则向量或，故D错误；

根据平面向量的运算律可知，故C正确；

故选：C

5．下列等式正确的是（）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据向量的数量的性质，逐项分析判断即可得解.

【详解】

对A，，故A错误；

对B，由于向量的数量积为数，所以向量不满足乘法的结合律，故B错误；

对C，，故C错误，

对D，向量的数量积为数，故正确.

故选：D.

6．若为单位向量，则下列各式中，正确的是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据向量的数量积的性质，以及模长的概念，逐项分析判断即可得解.

【详解】

对A，夹角未知，故A错误；

对B，由于模长都为1，故B正确；

对C，为向量，故C错误；

对D，模长相减为数，故D错误.

故选：B.

在直角中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是

A.
B.
C.
D.

【答案】C

【解析】

【分析】
本题主要考查平面向量的数量积的定义．要会巧妙变形和等积变换．
根据，是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案．
【解答】
解：，是正确的，同理B也正确，
对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确
故选C．

下列命题中正确命题的个数为

若，则；

对任意向量都成立；

对任意向量，有

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查了向量的数量积，根据数量积的运算性质求解即可．
【解答】
解：向量的数量积不满足消去律，错误；
，，
，故正确；
向量的数量积不满足结合律，错误；
，正确，
故选C．

1．已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）

A．

B．若且则

C．，则

D．若，则与共线且反向

【答案】AD

【分析】

对于A，由向量的夹角公式判断即可；对于B，举反例即可；对于C，若，则不一定共线；对于D，对两边平方化简即可

【详解】

解：对于A，若中有零向量，则显然成立，若均不为零向量，则因为，所以，所以A正确；

对于B，若所在的直线在所在直线夹角的平分线上，且，则有，而不成立，所以B错误；

对于C，若，则，而不一定共线，所以C错误；

对于D，因为，所以，所以，所以与共线且反向，所以D正确，

故选：AD

3．下列关于向量，，的运算，一定成立的有（）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】

根据数量积的运算律和定义可判断ABC的正确，从而可判断D的正误.

【详解】

选项B中左边为的共线向量，右边为的共线向量不正确，

根据数量积的分配律可知A正确，

根据数量积的定义可知，关于C正确；

而，根据C判断可知，

故，故D正确.

故选：ACD.

9．下列说法错误的是（）

A．若，，则

B．若，则存在唯一实数使得

C．若，且，则

D．两个非零向量，，若，则与共线且反向

【答案】ABC

【分析】

对于ABC，通过举例判断，对于D，对两边平方化简可得结论

【详解】

解：对于A，当时，因为零向量与任何向量都共线，所以当有，时，不一定共线，所以A错误，

对于B，当时，不唯一，所以B错误,

对于C，当时，成立，但不一定有，所以C错误，

对于D，由，得，所以，因为，为非零向量，所以与共线且反向，所以D正确，

故选：ABC

下列说法正确的是______将所有正确项的写在横线上
；      ；
；
若；         若，则

【答案】

【解析】解：在中，由数乘向量运算法则得正确，故正确；
在中，由向量数量积公式得，，
不正确，故错误；
在中，由向量乘法的分配很得，故正确；
在中，由向量的数量积不满足分配律，得不成立，故错误；
在中，由向量的数量积公式得不一定成立，故错误；
在中，若，则由向量相等的定义得，故正确．
故答案为：．
在中，由数乘向量运算法则得；在中，由向量数量积公式得不正确；在中，由向量乘法的分配很得；在中，向量的数量积不满足分配律；在中，由向量的数量积公式得不一定成立；在中，由向量相等的定义得
本题考查命题真假的判断，考查数乘向量运算法则、向量的数量积、向量乘法分配律、向量相等等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

设是平面内互不平行的三个向量，，有下列命题：
方程不可能有两个不同的实数解；
方程有实数解的充要条件是；
方程有唯一的实数解；
方程没有实数解．
其中真命题有______ 写出所有真命题的序号

【答案】

【解析】解：对于：
对方程变形可得，
由平面向量基本定理分析可得最多有一解，
故正确；
对于：
方程是关于向量的方程，不能按实数方程有解的条件来判断，
故正确；
对于、，方程中，
，
又由、不平行，必有，
则方程没有实数解，
故不正确而正确
故答案为：．
对于、，是关于向量的方程，将方程变形可得，由向量共线的条件分析，也不能按照实数方程有解的条件来判断，对于、，是实系数方程，利用一元二次方程的根的判别式和数量积的性质，对题设中的四个选项依次进行判断，能够得到结果．
本题考查命题的真假判断和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式和数量积的性质的灵活运用．