人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算巩固练习

11．在中，角所对的边分别为，且点满足，若，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

利用向量知识可得，两边平方可得，再利用不等式知识可求得结果.

【详解】

因为，所以，所以，

所以，

所以，整理得，

所以，

因为，所以，

所以，解得.

所以的最大值为

故选：A

【点睛】

关键点点睛：将向量条件化为，利用向量数量积的运算律运算得到是解题关键.

2．设非零向量的夹角为，若，且不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据题先利用平面向量的数量积的运算法则进行转化为恒成立，然后结合函数的恒成立，列出不等式组，即可求解.

【详解】

由题意，非零向量的夹角为，且，

则，

不等式对任意恒成立，

所以，即，

整理得恒成立，

因为，所以，即，可得，

即实数的取值范围为.

故选：A.

【点睛】

求平面向量的模的两种方法：

1、利用及，把向量模的运算转化为数量积的运算；

2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.

48.已知平面向量、、为三个单位向量，且，若，则的可能取值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】

将两边同时平方后整理，利用基本不等式构造二次不等式，求出的范围即可．

【详解】

解：由，两边同时平方得

，即，

因为平面向量、、为三个单位向量，且，

，

解得．

故选：ABC．

【点睛】

关键点：将向量关系两边同时平方，即可用到向量的模和夹角进行计算．

11．已知向量，及实数满足，若，则的最大值是________．

【答案】

【分析】

根据，整理为，再两边平方结合，得到，然后利用基本不等式求解.

【详解】

因为，

所以，

两边平方得，

因为，即，

所以，

而，

所以，

解得，当且仅当时等号成立，

所以的最大值是

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题关键是由这一信息，将，转化为，再遇模平方，利用基本不等式从而得解.

2．已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______.

【答案】.

【分析】

由，可得，，共线，再由向量的数量积的几何意义可得为的平分线，由角平分线的性质定理可得，可得的轨迹为圆，求得圆的直径与的关系，即可得到所求最值．

【详解】

解：由，

可得，，共线，

由，

可得，

即有，

则为的平分线，

由角平分线的性质定理可得，

即的轨迹为圆心在上的圆，

由，可得，

由，可得，

可得，

由函数在上递增，可得，

即有，

即，由题意可得，

故的最小值为．

故答案为：．

14．已知向量的夹角为，，，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】

可设，，根据，结合余弦函数的性质，即可得出的取值范围.

【详解】

可设，

.

，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了用定义求向量的数量积，已知模长求参数，涉及了求余弦函数的值域，属于中档题.

5．已知平面上三个向量 的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.

（1）求证：(－)⊥；

（2）若|＋＋|>1(k∈R)，求k的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）(－∞，0)∪(2，＋∞).

【分析】

（1）计算(－)·＝0，证明(－)⊥；

（2）先计算|＋＋|，得到不等式k2－2k>0，解出k的取值范围.

【详解】

（1）证明　因为||＝||＝||＝1，

且，，之间夹角均为120°，

所以(－)·＝·－·

＝||||cos 120°－||||·cos 120°＝0，

所以(－)⊥.

（2）解　因为|k＋＋|>1，

所以(k＋＋)·(ka＋＋)>1，

即k22＋2＋2＋2k·＋2k·＋2·>1.

因为·＝·＝·＝cos 120°＝－，

所以k2－2k>0，解得k<0或k>2，

即k的取值范围是 (－∞，0)∪(2，＋∞).

【点睛】

向量的数量积有较为广泛的应用：

（1）证明垂直： ·=0；（2）求模长：；（3）求角：；（4）利用向量的射影求距离.

8．已知向量，，，及实数，，且，，，若，，且．

（1）求关于的函数关系式及定义域；

（2）求函数的最大值与最小值．

【答案】（1），；（2），

【分析】

（1）根据得到，根据计算得到，得到答案.

（2）根据二次函数性质计算得到答案.

【详解】

（1）

，故，

，解得，

故解析式为，.

（2），

故，.

【点睛】

本题考查了根据向量垂直求函数解析式，求函数最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.