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    2020-2022学年高中数学新北师大版必修第二册 第1章 1 周期变化 学案

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    北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化导学案

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    这是一份北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化导学案,共8页。

    1.周期函数的概念
    一般地,对于函数y=f(x),x∈D,如果存在一个非零常数T,使得对任意的x∈D,都有x+T∈D且满足f(x+T)=f(x),那么函数y=f(x)称作周期函数,非零常数T称作这个函数的周期.
    2.最小正周期
    如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.
    思考:1.为什么规定T非零?
    提示:T若为零,则任意函数都是周期函数.
    2.常函数f(x)=c,x∈R是周期函数吗?若是,其周期是什么?
    提示:是周期函数,其周期是任意非零实数.
    1.下列变化中,不是周期现象的是( )
    A.“春去春又回”
    B.钟表的分针的运行
    C.天干地支表示年、月、日的时间顺序
    D.某同学每天上学的时间
    D [由周期现象的概念知,某同学每天上学的时间不是周期变化.故选D.]
    2.探索如图所呈现的规律,判断2 019至2 020箭头的方向是( )
    A B C D
    C [观察题图可知0到4为一个周期,则从2 019到2 020对应着3到4.]
    3.某物体作周期运动,如果一个周期为0.4秒,那么运动4秒,该物体经过了________个周期.
    10 [4÷0.4=10,所以经过了10个周期.]
    4.已知函数feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的偶函数,且对于任意的 x∈R都有feq (\a\vs4\al\c1(x+4))=feq (\a\vs4\al\c1(x))+feq (\a\vs4\al\c1(2)),f(1)=4,求feq (\a\vs4\al\c1(3))+feq (\a\vs4\al\c1(10))的值.
    [解] 由题意可知feq (\a\vs4\al\c1(x+4))=feq (\a\vs4\al\c1(x))+feq (\a\vs4\al\c1(2)),
    令x=-2,可求得feq (\a\vs4\al\c1(-2))=0,
    又函数feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的偶函数,所以feq (\a\vs4\al\c1(2))=0,即feq (\a\vs4\al\c1(x+4))=feq (\a\vs4\al\c1(x)),
    所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是以4为周期的周期函数,又feq (\a\vs4\al\c1(1))=4,
    所以feq (\a\vs4\al\c1(3))+feq (\a\vs4\al\c1(10))=feq (\a\vs4\al\c1(-1))+feq (\a\vs4\al\c1(2))=feq (\a\vs4\al\c1(1))+0=4.
    【例1】 水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,假设水车5分钟转一圈,计算1小时内最多盛水多少升?
    [思路点拨] 由于水车每隔5分钟转一圈,所以要计算1小时内最多盛水多少升,关键是确定1小时内水车转多少圈.
    [解] 因为1小时=60分钟=12×5分钟,且水车5分钟转一圈,
    所以1小时内水车转12圈.
    又因为水车上装有16个盛水槽,每个盛水槽最多盛水10升,
    所以每转一圈,最多盛水16×10=160(升),
    所以水车1小时内最多盛水160×12=1 920(升).
    1.周期现象的判断
    首先要认真审题,明确题目的实际背景,然后应抓住“间隔相同,现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断.
    2.收集数据、画散点图,分析数据特点,能直观的发现函数的周期性.
    eq \([跟进训练])
    1.利用本例中的水车盛800升的水,至少需要多少时间?
    [解] 设x分钟后盛水y升,由例1知每转一圈,水车最多盛水16×10=160(升),
    所以y=eq \f(x,5)×160=32x,
    为使水车盛800升的水,则有32x≥800,
    所以x≥25,即水车盛800升的水至少需要25分钟.
    [探究问题]
    1.若存在非零常数a,使函数feq (\a\vs4\al\c1(x))在定义域上满足:feq (\a\vs4\al\c1(x+a))=-feq (\a\vs4\al\c1(x)),则feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数吗?若是,其周期是什么?
    提示:由已知得,feq (\a\vs4\al\c1(x+2a))=-feq (\a\vs4\al\c1(x+a))=-eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-f(\a\vs4\al\c1(x))))=feq (\a\vs4\al\c1(x)),根据周期函数的定义,feq (\a\vs4\al\c1(x))是以2a为一个周期的周期函数.
    2.若存在非零常数a,使函数feq (\a\vs4\al\c1(x))在定义域上满足:feq (\a\vs4\al\c1(x+a))=eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x))),则feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数吗?若是,其周期是什么?
    提示:由已知得,feq (\a\vs4\al\c1(x+2a))=eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x+a)))=eq \f(1,\f(1,f(\a\vs4\al\c1(x))))=feq (\a\vs4\al\c1(x)),根据周期函数的定义,feq (\a\vs4\al\c1(x))是以2a为一个周期的周期函数.
    【例2】 已知函数feq (\a\vs4\al\c1(x))满足feq (\a\vs4\al\c1(x))feq (\a\vs4\al\c1(x+2))=13,求证:feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数.
    [证明] 由已知得feq (\a\vs4\al\c1(x+2))=eq \f(13,f(\a\vs4\al\c1(x))),
    所以feq (\a\vs4\al\c1(x+4))=eq \f(13,f(\a\vs4\al\c1(x+2)))=eq \f(13,\f(13,f(\a\vs4\al\c1(x))))=feq (\a\vs4\al\c1(x)).
    所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数,4是它的一个周期.
    判定一个函数是周期函数需分两步
    1先猜想出其周期;
    2用周期函数的定义证之.
    eq \([跟进训练])
    2.已知函数feq (\a\vs4\al\c1(x))满足feq (\a\vs4\al\c1(x+1))=eq \f(1+f(\a\vs4\al\c1(x)),1-f(\a\vs4\al\c1(x))),求证:feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数.
    [证明] 由已知得,feq (\a\vs4\al\c1(x+2))=eq \f(1+f(\a\vs4\al\c1(x+1)),1-f(\a\vs4\al\c1(x+1)))=eq \f(1+\f(1+f(\a\vs4\al\c1(x)),1-f(\a\vs4\al\c1(x))),1-\f(1+f(\a\vs4\al\c1(x)),1-f(\a\vs4\al\c1(x))))=eq \f(2,-2f(\a\vs4\al\c1(x)))=-eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x))).
    所以feq (\a\vs4\al\c1(x+4))=-eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x+2)))=-eq \f(1,-\f(1,f(\a\vs4\al\c1(x))))=feq (\a\vs4\al\c1(x)).
    所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数,4是它的一个周期.
    【例3】 设feq (\a\vs4\al\c1(x))是(-∞,+∞)上的奇函数,feq (\a\vs4\al\c1(x+2))=-feq (\a\vs4\al\c1(x)),当0≤x≤1时,feq (\a\vs4\al\c1(x))=x.
    (1)求feq (\a\vs4\al\c1(π))的值;
    (2)当-4≤x≤4时,求feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象与x轴所围成图形的面积;
    (3)写出(-∞,+∞)内函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的单调递增(或减)区间.
    [思路点拨] 第(1)问先求函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的周期,再求feq (\a\vs4\al\c1(π));
    第(2)问,推断函数y=feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象关于直线x=1对称,再结合周期画出图象,由图象易求面积;
    第(3)问,观察图象写出.
    [解] (1)由feq (\a\vs4\al\c1(x+2))=-feq (\a\vs4\al\c1(x)),得feq (\a\vs4\al\c1(x+4))=-feq (\a\vs4\al\c1(x+2))=-eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-f(\a\vs4\al\c1(x))))=feq (\a\vs4\al\c1(x)),
    所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是以4为周期的周期函数,
    ∴feq (\a\vs4\al\c1(π))=feq (\a\vs4\al\c1(-1×4+π))=feq (\a\vs4\al\c1(π-4))=-feq (\a\vs4\al\c1(4-π))=-eq (\a\vs4\al\c1(4-π))=π-4.
    (2)由feq (\a\vs4\al\c1(x))是奇函数与feq (\a\vs4\al\c1(x+2))=-feq (\a\vs4\al\c1(x)),
    得feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((\a\vs4\al\c1(x-1))+2))=-feq (\a\vs4\al\c1(x-1))=feq (\a\vs4\al\c1(1-x)),
    即feq (\a\vs4\al\c1(1+x))=feq (\a\vs4\al\c1(1-x)).
    故知函数y=feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象关于直线x=1对称.
    又0≤x≤1时,feq (\a\vs4\al\c1(x))=x,且feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象关于原点成中心对称,则feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象如图所示.
    当-4≤x≤4时,feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象与x轴围成的图形面积为S,则S=4S△OAB=4×eq (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))=4.
    (3)函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间为[4k+1,4k+3](k∈Z).
    1.已知feq (\a\vs4\al\c1(x))是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,feq (\a\vs4\al\c1(x))=x3-x,则函数y=feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
    A.6 B.7
    C.8 D.9
    B [当0≤x<2时,令feq (\a\vs4\al\c1(x))=x3-x=0,得x=0或x=1或x=-1(舍去),
    又feq (\a\vs4\al\c1(x))的最小正周期为2,
    ∴f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0,f(1)=f(3)=f(5)=0,
    ∴y=feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.]
    2.已知feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数,且满足feq (\a\vs4\al\c1(x+4))=feq (\a\vs4\al\c1(x)),则f(2)=( )
    A.0B.1
    C.2D.3
    A [由题意,feq (\a\vs4\al\c1(x))为周期函数且周期为4,
    ∴f(-2)=f(-2+4)=f(2),
    又f(-2)=-f(2),则f(2) =-f(2),
    所以f(2)=0.]
    研究周期函数时,通常先研究其在一个周期上的性质,然后把它拓展到定义域上,这样可简化对函数的研究.
    1.应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的.
    2.只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”,就可以把问题转化到一个周期内来解决.
    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)
    (1)任何周期函数都有最小正周期.( )
    (2)若T是奇函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的一个周期,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2)))=0.( )
    (3)若T是函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的一个周期,则nTeq (\a\vs4\al\c1(n∈N*))也是函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的一个周期.
    ( )
    [答案] (1)× (2)√ (3)√
    2.设feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的周期为3的周期函数,如图表示该函数在区间(-2,1]上的图象,则feq (\a\vs4\al\c1(16))=( )
    A.1 B.0
    C.-1D.2
    A [由于feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的周期为3的周期函数,
    所以feq (\a\vs4\al\c1(16))=feq (\a\vs4\al\c1(5×3+1))=feq (\a\vs4\al\c1(1)),
    而由图象可知f(1)=1,
    所以feq (\a\vs4\al\c1(16))=1.]
    3.一个质点,在平衡位置O点附近振动,如果不考虑阻力,可将此振动看作周期运动,从O点开始计时,质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s,又经过0.2 s,第二次通过M点,则质点第三次通过M点,还要经过的时间可能是________s.
    1.4 [质点从O点向左运动,O→M用了0.3 s,M→A→M用了0.2 s,由于M→O与O→M用时相同,因此质点运动半周期eq \f(T,2)=0.2+0.3×2=0.8(s),从而当质点第三次经过M时用时应为M→O→B→O→M,所用时间为0.3×2+0.8=1.4(s).]
    4.设函数feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数,x,feq (\a\vs4\al\c1(2+x))=-feq (\a\vs4\al\c1(1-x)).
    (1)证明y=feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数,并指出其周期;
    (2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.
    [解] (1)由feq (\a\vs4\al\c1(2+x))=-feq (\a\vs4\al\c1(1-x)),
    知feq (\a\vs4\al\c1(3+x))=feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2+(\a\vs4\al\c1(1+x))))=-feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1-(\a\vs4\al\c1(1+x))))=-feq (\a\vs4\al\c1(-x))=feq (\a\vs4\al\c1(x)),
    所以y=feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数,且T=3是其一个周期.
    (2)因为feq (\a\vs4\al\c1(x))为定义在R上的奇函数,
    所以feq (\a\vs4\al\c1(0))=0,且f(-1)=-f(1)=-2,
    又T=3是y=feq (\a\vs4\al\c1(x))的一个周期,
    所以feq (\a\vs4\al\c1(2))+feq (\a\vs4\al\c1(3))=feq (\a\vs4\al\c1(-1))+feq (\a\vs4\al\c1(0))=-2+0=-2.
    学习 目 标
    核 心 素 养
    1.了解现实生活中的周期现象,能判断简单的实际问题中的周期.(难点)
    2.初步了解周期函数的概念,能判断简单的函数的周期性.(难点、重点)
    1.通过周期函数的概念的学习,逐步培养数学抽象素养.
    2.借助周期函数的判定,培养逻辑推理素养.
    周期现象
    周期函数
    周期函数的应用

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