北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化导学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化导学案，共8页。

1．周期函数的概念
一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期．
思考：1.为什么规定T非零？
提示：T若为零，则任意函数都是周期函数．
2．常函数f(x)＝c，x∈R是周期函数吗？若是，其周期是什么？
提示：是周期函数，其周期是任意非零实数．
1．下列变化中，不是周期现象的是( )
A．“春去春又回”
B．钟表的分针的运行
C．天干地支表示年、月、日的时间顺序
D．某同学每天上学的时间
D [由周期现象的概念知，某同学每天上学的时间不是周期变化．故选D．]
2．探索如图所呈现的规律，判断2 019至2 020箭头的方向是( )
A B C D
C [观察题图可知0到4为一个周期，则从2 019到2 020对应着3到4.]
3．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．
10 [4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．]
4．已知函数feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的偶函数，且对于任意的 x∈R都有feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))＋feq (\a\vs4\al\c1(2))，f(1)＝4，求feq (\a\vs4\al\c1(3))＋feq (\a\vs4\al\c1(10))的值．
[解] 由题意可知feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))＋feq (\a\vs4\al\c1(2))，
令x＝－2，可求得feq (\a\vs4\al\c1(－2))＝0，
又函数feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的偶函数，所以feq (\a\vs4\al\c1(2))＝0，即feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，
所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是以4为周期的周期函数，又feq (\a\vs4\al\c1(1))＝4，
所以feq (\a\vs4\al\c1(3))＋feq (\a\vs4\al\c1(10))＝feq (\a\vs4\al\c1(－1))＋feq (\a\vs4\al\c1(2))＝feq (\a\vs4\al\c1(1))＋0＝4.
【例1】 水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？
[思路点拨] 由于水车每隔5分钟转一圈，所以要计算1小时内最多盛水多少升，关键是确定1小时内水车转多少圈．
[解] 因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，
所以1小时内水车转12圈．
又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，
所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升)，
所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．
1．周期现象的判断
首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．
2．收集数据、画散点图，分析数据特点，能直观的发现函数的周期性．
eq \([跟进训练])
1．利用本例中的水车盛800升的水，至少需要多少时间？
[解] 设x分钟后盛水y升，由例1知每转一圈，水车最多盛水16×10＝160(升)，
所以y＝eq \f(x,5)×160＝32x，
为使水车盛800升的水，则有32x≥800，
所以x≥25，即水车盛800升的水至少需要25分钟．
[探究问题]
1．若存在非零常数a，使函数feq (\a\vs4\al\c1(x))在定义域上满足：feq (\a\vs4\al\c1(x＋a))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x))，则feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数吗？若是，其周期是什么？
提示：由已知得，feq (\a\vs4\al\c1(x＋2a))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x＋a))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－f(\a\vs4\al\c1(x))))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，根据周期函数的定义，feq (\a\vs4\al\c1(x))是以2a为一个周期的周期函数．
2．若存在非零常数a，使函数feq (\a\vs4\al\c1(x))在定义域上满足：feq (\a\vs4\al\c1(x＋a))＝eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x)))，则feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数吗？若是，其周期是什么？
提示：由已知得，feq (\a\vs4\al\c1(x＋2a))＝eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x＋a)))＝eq \f(1,\f(1,f(\a\vs4\al\c1(x))))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，根据周期函数的定义，feq (\a\vs4\al\c1(x))是以2a为一个周期的周期函数．
【例2】 已知函数feq (\a\vs4\al\c1(x))满足feq (\a\vs4\al\c1(x))feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝13，求证：feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数．
[证明] 由已知得feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝eq \f(13,f(\a\vs4\al\c1(x)))，
所以feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝eq \f(13,f(\a\vs4\al\c1(x＋2)))＝eq \f(13,\f(13,f(\a\vs4\al\c1(x))))＝feq (\a\vs4\al\c1(x)).
所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数，4是它的一个周期．
判定一个函数是周期函数需分两步
1先猜想出其周期；
2用周期函数的定义证之.
eq \([跟进训练])
2．已知函数feq (\a\vs4\al\c1(x))满足feq (\a\vs4\al\c1(x＋1))＝eq \f(1＋f(\a\vs4\al\c1(x)),1－f(\a\vs4\al\c1(x)))，求证：feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数．
[证明] 由已知得，feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝eq \f(1＋f(\a\vs4\al\c1(x＋1)),1－f(\a\vs4\al\c1(x＋1)))＝eq \f(1＋\f(1＋f(\a\vs4\al\c1(x)),1－f(\a\vs4\al\c1(x))),1－\f(1＋f(\a\vs4\al\c1(x)),1－f(\a\vs4\al\c1(x))))＝eq \f(2,－2f(\a\vs4\al\c1(x)))＝－eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x))).
所以feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝－eq \f(1,f(\a\vs4\al\c1(x＋2)))＝－eq \f(1,－\f(1,f(\a\vs4\al\c1(x))))＝feq (\a\vs4\al\c1(x)).
所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数，4是它的一个周期．
【例3】 设feq (\a\vs4\al\c1(x))是(－∞，＋∞)上的奇函数，feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x))，当0≤x≤1时，feq (\a\vs4\al\c1(x))＝x.
(1)求feq (\a\vs4\al\c1(π))的值；
(2)当－4≤x≤4时，求feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象与x轴所围成图形的面积；
(3)写出(－∞，＋∞)内函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的单调递增(或减)区间．
[思路点拨] 第(1)问先求函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的周期，再求feq (\a\vs4\al\c1(π))；
第(2)问，推断函数y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象关于直线x＝1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；
第(3)问，观察图象写出．
[解] (1)由feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x))，得feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－f(\a\vs4\al\c1(x))))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，
所以feq (\a\vs4\al\c1(x))是以4为周期的周期函数，
∴feq (\a\vs4\al\c1(π))＝feq (\a\vs4\al\c1(－1×4＋π))＝feq (\a\vs4\al\c1(π－4))＝－feq (\a\vs4\al\c1(4－π))＝－eq (\a\vs4\al\c1(4－π))＝π－4.
(2)由feq (\a\vs4\al\c1(x))是奇函数与feq (\a\vs4\al\c1(x＋2))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x))，
得feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((\a\vs4\al\c1(x－1))＋2))＝－feq (\a\vs4\al\c1(x－1))＝feq (\a\vs4\al\c1(1－x))，
即feq (\a\vs4\al\c1(1＋x))＝feq (\a\vs4\al\c1(1－x)).
故知函数y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象关于直线x＝1对称．
又0≤x≤1时，feq (\a\vs4\al\c1(x))＝x，且feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象关于原点成中心对称，则feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×1))＝4.
(3)函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的单调递增区间为[4k－1,4k＋1](k∈Z)，单调递减区间为[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．
1．已知feq (\a\vs4\al\c1(x))是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，feq (\a\vs4\al\c1(x))＝x3－x，则函数y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
B [当0≤x＜2时，令feq (\a\vs4\al\c1(x))＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1(舍去)，
又feq (\a\vs4\al\c1(x))的最小正周期为2，
∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝f(6)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，
∴y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.]
2．已知feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数，且满足feq (\a\vs4\al\c1(x＋4))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，则f(2)＝( )
A．0B．1
C．2D．3
A [由题意，feq (\a\vs4\al\c1(x))为周期函数且周期为4，
∴f(－2)＝f(－2＋4)＝f(2)，
又f(－2)＝－f(2)，则f(2) ＝－f(2)，
所以f(2)＝0.]
研究周期函数时，通常先研究其在一个周期上的性质，然后把它拓展到定义域上，这样可简化对函数的研究.
1．应用周期现象中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的．
2．只要确定好周期现象中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何周期函数都有最小正周期．( )
(2)若T是奇函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的一个周期，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2)))＝0．( )
(3)若T是函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的一个周期，则nTeq (\a\vs4\al\c1(n∈N*))也是函数feq (\a\vs4\al\c1(x))的一个周期．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2.设feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则feq (\a\vs4\al\c1(16))＝( )
A．1 B．0
C．－1D．2
A [由于feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的周期为3的周期函数，
所以feq (\a\vs4\al\c1(16))＝feq (\a\vs4\al\c1(5×3＋1))＝feq (\a\vs4\al\c1(1))，
而由图象可知f(1)＝1，
所以feq (\a\vs4\al\c1(16))＝1.]
3．一个质点，在平衡位置O点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O点开始计时，质点向左运动第一次到达M点用了0.3 s，又经过0.2 s，第二次通过M点，则质点第三次通过M点，还要经过的时间可能是________s.
1.4 [质点从O点向左运动，O→M用了0.3 s，M→A→M用了0.2 s，由于M→O与O→M用时相同，因此质点运动半周期eq \f(T,2)＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M时用时应为M→O→B→O→M，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．]
4．设函数feq (\a\vs4\al\c1(x))是定义在R上的奇函数，x，feq (\a\vs4\al\c1(2＋x))＝－feq (\a\vs4\al\c1(1－x)).
(1)证明y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
[解] (1)由feq (\a\vs4\al\c1(2＋x))＝－feq (\a\vs4\al\c1(1－x))，
知feq (\a\vs4\al\c1(3＋x))＝feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2＋(\a\vs4\al\c1(1＋x))))＝－feq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－(\a\vs4\al\c1(1＋x))))＝－feq (\a\vs4\al\c1(－x))＝feq (\a\vs4\al\c1(x))，
所以y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))是周期函数，且T＝3是其一个周期．
(2)因为feq (\a\vs4\al\c1(x))为定义在R上的奇函数，
所以feq (\a\vs4\al\c1(0))＝0，且f(－1)＝－f(1)＝－2，
又T＝3是y＝feq (\a\vs4\al\c1(x))的一个周期，
所以feq (\a\vs4\al\c1(2))＋feq (\a\vs4\al\c1(3))＝feq (\a\vs4\al\c1(－1))＋feq (\a\vs4\al\c1(0))＝－2＋0＝－2.
学习 目 标
核 心 素 养
1.了解现实生活中的周期现象，能判断简单的实际问题中的周期．(难点)
2．初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性．(难点、重点)
1.通过周期函数的概念的学习，逐步培养数学抽象素养．
2．借助周期函数的判定，培养逻辑推理素养.
周期现象
周期函数
周期函数的应用