北师大版 (2019)必修 第二册4.3 诱导公式与对称学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册4.3 诱导公式与对称学案，共8页。


1．2kπ±α，－α，π±α(k∈Z)的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sin(2kπ＋α)＝sin α，cs(2kπ＋α)＝cs α.
sin(－α)＝－sin α，cs(－α)＝cs α.
sin(α－π)＝－sin α，cs(α－π)＝－cs α.
sin(π－α)＝sin α，cs(π－α)＝－cs α.
sin(π＋α)＝－sin α，cs(π＋α)＝－cs α.
这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号．
思考：1.设α为任意角，则角2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的关系？
提示：
2.eq \f(π,2)±α的诱导公式
对任意角α，有下列关系式成立：
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α.
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α.
这两组诱导公式的记忆：eq \f(π,2)－α，eq \f(π,2)＋α的正(余)弦函数值，等于α的余(正)弦三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．
思考：2.设α为任意角，则角eq \f(π,2)±α与α的终边有什么关系？
提示：eq \f(π,2)＋α的终边与α的终边垂直，eq \f(π,2)－α的终边与α的终边关于y＝x对称．
1．sin 585°的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),2)
A [sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)
＝－sin 45°＝－eq \f(\r(2),2).]
2．若sin α＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))的值为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2)D．－eq \f(\r(3),2)
C [∵sin α＝eq \f(1,2)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－eq \f(1,2).]
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称 .若sin α＝eq \f(1,3)，则sin β＝________.
eq \f(1,3) [α与β的终边关于y轴对称，则α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z.
∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝eq \f(1,3).]
4．化简：eq \f(sin(θ－5π)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－θ))cs(8π－θ),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(3π,2)))sin(－θ－π)).
[解] 原式＝eq \f(sin(θ－π)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))cs(－θ),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))[－sin(θ＋π)])＝eq \f(－sin θ(－sin θ)cs θ,cs θsin θ)＝sin θ.
角度一 给角求值问题
【例1】 求下列三角函数的值：
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,4)))；(2)cs 960°.
[解] (1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,4)))＝－sineq \f(19,4)π＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4π＋\f(3π,4)))＝－sineq \f(3,4)π＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,4)))＝－sineq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2).
(2)cs 960°＝cs(240°＋2×360°)＝cs 240°＝cs(180°＋60°)＝－cs 60°＝－eq \f(1,2).
角度二 给值求值问题
【例2】 已知sin(α－75°)＝－eq \f(2\r(2),3)，求sin(105°＋α)的值．
[解] sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝eq \f(2\r(2),3).
1．已知角求值，一般利用诱导公式，逐步把角化为锐角再求．
2．利用诱导公式求值时，要注意已知条件中的角和问题结论中的角之间的联系，例如105°＋α与75°－α互补，eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α互余．
eq \([跟进训练])
1．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))的值．
[解] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3).
【例3】 化简：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4n＋1,4)π＋α))＋cseq \f(4n－1,4)π－α(n∈Z)．
[思路点拨] 先对n分奇偶讨论，再使用诱导公式．
[解] 原式＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(nπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋csnπ－eq \f(π,4)＋α.
当n为偶数时，
原式＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))；
当n为奇数时，
原式＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))π＋π＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))π＋π－eq \f(π,4)＋α＝csπ＋eq \f(π,4)＋α＋csπ－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)).
综上可知，原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，n为偶数,－2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，n为奇数)) .
若将本例中的“cs”改为“sin”应如何化简？
[解] 原式＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(nπ＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(nπ－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))).
当n为偶数时，
原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝0；
当n为奇数时，
原式＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin(n－1)π＋π＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sin(n－1)π＋π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(sinπ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋sinπ－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))))＝0.
综上可知，原式＝0.
利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，当三角函数式中含有kπ±α，eq \f(k,2)π±αk∈Z时，要注意对k的奇偶性进行讨论.
【例4】 已知sin(α－3π)＝2cs(α－4π)，求eq \f(sin (\a\vs4\al\c1(π－α))＋5cs (\a\vs4\al\c1(2π－α)),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－sin (\a\vs4\al\c1(－α)))的值．
[解] 由sin(α－3π)＝2cs(α－4π) 得sin(α－π)＝2cs α，即sin α＝－2cs α.
∴eq \f(sin (\a\vs4\al\c1(π－α))＋5cs (\a\vs4\al\c1(2π－α)),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－sin (\a\vs4\al\c1(－α)))＝eq \f(sin α＋5cs α,－2cs α＋sin α)＝eq \f(－2cs α＋5cs α,－2cs α－2cs α)＝eq \f(3cs α,－4cs α)＝－eq \f(3,4).
1．若例3中的条件不变改为求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin (\a\vs4\al\c1(π＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sin (\a\vs4\al\c1(2π－α)))的值，则结果如何？
[解] 原式＝eq \f(cs α(－sin α),(－sin α)sin(－α))＝eq \f(－sin αcs α,sin αsin α)＝eq \f(1,2).
2．若将例3中的条件“sin(α－3π)＝2cs(α－4π)”改为“已知α＝－eq \f(31π,3)”．求原式的值．
[解] ∵α＝－eq \f(31π,3)，
∴sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5×2π＋\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
cs α＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5×2π＋\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
∵eq \f(sin(π－α)＋5cs(2π－α),2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))－sin(－α))＝eq \f(sin α＋5cs α,－2cs α＋sin α)＝eq \f(－\f(\r(3),2)＋\f(5,2),－1－\f(\r(3),2))＝eq \f(5－\r(3),－2－\r(3))＝－13＋7eq \r(3).
所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值.
1．诱导公式的选择方法：先将－α化为正角，再用2kπ＋α(k∈Z)把角化为[0,2π)内的角，再用π±α，eq \f(π,2)＋α，2π－α化为锐角的三角函数，还可继续用eq \f(π,2)－α化为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))内的角的三角函数．由此看，利用诱导公式能将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，这也正是：诱导公式真是好，负化正后大化小．
2．解决给式求值问题的常见思路有：若条件简单，结论复杂，可从化简结论入手，用上条件；若条件复杂，结论简单，可从化简条件入手，转化出结论的形式；若条件、结论都比较复杂，可同时化简它们，直到找出它们间的联系为止．无论使用哪种方法都要时刻瞄准目标，根据需要变形．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sineq (\a\vs4\al\c1(nπ－α))＝sin αeq (\a\vs4\al\c1(n∈Z))．( )
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sin α．( )
(3)cseq (\a\vs4\al\c1(2nπ－α))＝cs α．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．cs 765°的值为( )
A．－eq \f(\r(2),2) B．eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(\r(3),2)D．eq \f(\r(3),2)
B [cs 765°＝cs(2×360°＋45°)＝cs 45°＝eq \f(\r(2),2).]
3．若sin(3π＋α)＝－eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))等于( )
A．－eq \f(1,2)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),2)D．－eq \f(\r(3),2)
A [∵sin(3π＋α)＝－sin α，∴sin α＝eq \f(1,2)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝－sin α＝－eq \f(1,2).]
4．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝________.
－eq \f(1,3) [cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(7π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝－eq \f(1,3).]
5．已知sin(π＋α)＝－eq \f(1,3).计算cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2))).
[解] ∵sin(π＋α)＝－sin α＝－eq \f(1,3)，
∴sin α＝eq \f(1,3).
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))＝－sin α＝－eq \f(1,3).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用．(重点)
2．理解诱导公式的推导过程．(难点)
3．能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题．(难点)
1.借助诱导公式的推导，培养逻辑推理素养．
2．通过诱导公式的应用，提升数学运算素养.
相关角
终边之间的关系
2kπ＋α与α
终边相同
π＋α与α
关于原点对称
－α与α
关于x轴对称
2kπ－α与α
关于x轴对称
π－α与α
关于y轴对称
条件求值
利用诱导公式化简和证明
诱导公式的综合应用