数学必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用导学案

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1. 两角和与差的正弦公式
sin(α＋β)＝sin_αcs_β＋cs_αsin_β.(Sα＋β)
sin(α－β)＝sin_αcs_β－cs_αsin_β.(Sα－β)
2. 两角和与差的正切公式
(1)两角和与差的正切公式
(2)两角和与差的正切公式的变形
①Tα＋β的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．
tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β).
②Tα－β的变形：
tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．
tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)．
tan αtan β＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
思考：1. 两角和与差的正弦公式在结构上有什么特点？
提示：正弦公式右边函数名的排列顺序为：正·余±余·正，左右两边加减运算符号相同．
2．两角和与差的正切公式中的“＋”“－”符号有什么规律？
提示：等号左边的“＋”“－”和右边分式的分子相同，和分母相反．
1．若tan α＝3，tan β＝eq \f(4,3)，则tan(α－β)等于( )
A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C．3D．－3
A [tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(3－\f(4,3),1＋3×\f(4,3))＝eq \f(1,3).]
2．计算sin 43°cs 13°－cs 43°sin 13°的结果等于( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),2)
A [sin 43°cs 13°－cs 43°sin 13°＝sin(43°－13°) ＝sin30°＝eq \f(1,2).]
3．已知sin α＝eq \f(3,5)，0＜α＜eq \f(π,2)，则cs α＝__________________，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
eq \f(4,5) eq \f(7\r(2),10) [因为sin α＝eq \f(3,5)，0＜α＜eq \f(π,2)，所以cs α＝eq \f(4,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4) ＋cs αsin eq \f(π,4) ＝eq \f(7\r(2),10).]
【例1】 (1)计算：sin 14°cs 16°＋sin 76°cs 74°；
(2)计算：tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°.
[解] (1)原式＝sin 14°cs 16°＋sin(90°－14°)cs(90°－16°)
＝sin 14°cs 16°＋cs 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
(2)法一：tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°
＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋eq \r(3)tan 23°tan 37°
＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋eq \r(3)tan 23°tan 37°＝eq \r(3).
法二：∵tan(23°＋37°)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，
∴eq \r(3)＝eq \f(tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°)，∴eq \r(3)－eq \r(3)tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°＝eq \r(3).
解决给角求值问题的策略
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子，分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
[跟进训练]
1．(1)已知角α的终边经过点(－3,4)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为( )
A．eq \f(\r(2),5)B．－eq \f(\r(2),5)
C．eq \f(\r(2),10)D．－eq \f(\r(2),10)
(2)eq \f(1＋tan 15°,1－tan 15°)＝________.
(1)C (2)eq \r(3) [(1)因为角α的终边经过点(－3,4)，则sin α＝eq \f(4,5)，cs α＝－eq \f(3,5)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs αsin eq \f(π,4)＝eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10).
(2)原式＝eq \f(tan 45°＋tan 15°,1－tan 45°tan 15°)＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝eq \r(3).]
【例2】 (1)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，且0<α(2)若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(1,6)，则tan α＝________.
(1)[解] ∵0<α又∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))＝eq \f(5,13)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝eq \f(3,5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))＝－eq \f(12,13)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))＝－eq \f(4,5).
∴cs(α＋β)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α＋β))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋α))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－β))
＝eq \f(5,13)×eq \f(3,5)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－eq \f(33,65).
(2)eq \f(7,5) [法一：∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tan α－tan\f(π,4),1＋tan αtan\f(π,4))＝eq \f(tan α－1,1＋tan α)＝eq \f(1,6).
∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝eq \f(7,5).
法二：tan α＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))
＝eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))·tan\f(π,4))＝eq \f(\f(1,6)＋1,1－\f(1,6))＝eq \f(7,5).]
给值(式)求值的策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
[跟进训练]
2．(1)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝eq \f(1,7)，则tan β的值为________．
(2)eq \f(sin 50°－sin 20°cs 30°,cs 20°)＝________.
(1)3 (2)eq \f(1,2) [(1)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f(\f(1,7)－－2,1＋\f(1,7)×－2)＝3.
(2)原式＝eq \f(sin20°＋30°－sin 20°cs30°,cs 20°)
＝eq \f(sin 20°cs 30°＋cs 20°sin 30°－sin 20°cs 30°,cs 20°)
＝eq \f(cs 20°sin 30°,cs 20°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).]
[探究问题]
1．若已知角α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，通过求角α的哪个三角函数值来求角α的值比较方便？
提示：因为正弦函数y＝sin x和正切函数y＝tan x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上都是单调函数，所以通过求sin α或tan α的值，进而求出角α的值比较方便．
2. 若已知角α∈(0，π)，通过求角α的哪个三角函数值来求角α的值比较方便？
提示：因为余弦函数y＝cs x在(0，π)上是单调函数，所以通过求cs α的值，进而求出角α的值比较方便．
【例3】 (1)已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，求α－β的值．
(2)已知α，β均为锐角，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，则α＋β＝________.
[思路点拨] (1)eq \x(求cs α，sin β)→eq \x(求sinα－β)
→eq \x(确定α－β的范围)→eq \x(求α－β的值)
(2)eq \x(求tanα＋β)→eq \x(确定α＋β的范围)→eq \x(求α＋β的值)
(1)[解] 因为α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，
所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(3\r(10),10)，
所以sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝－eq \f(\r(2),2)，
又α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α－β＝－eq \f(π,4).
(2)eq \f(π,4) [因为tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)＋\f(1,3),1－\f(1,2)×\f(1,3))＝1.
因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq \f(π,4).]
1. 在例3(1)中，求出cs(α－β)的值，再求α－β的值．
[解] 因为α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(\r(5),5)，cs β＝eq \f(\r(10),10)，
所以cs α＝eq \f(2\r(5),5)， sin β＝eq \f(3\r(10),10)，
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＋eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2).
因为sin α2．例3(2)的条件改为“tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))”，则α＋β的值是什么？
[解] 因为tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两根，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan α＋tan β＝－3\r(3)<0，,tan α·tan β＝4>0.))所以tan α<0，tan β<0，所以α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)).
所以－π<α＋β<0，tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \f(3\r(3),3)＝eq \r(3).
所以α＋β＝－eq \f(2π,3).
解决给值(式)求角问题的方法
(1)解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正、余弦公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角．
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．
应用公式需注意的三点
(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．
(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式．
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin2α＋cs2α，1＝sin 90°，eq \f(1,2)＝cs 60°，eq \f(\r(3),2)＝sin 60°等，再如：0，eq \f(1,2)，eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(3),2)等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β．( )
(2)存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcs β－cs αsin β．( )
(3)使公式tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β)有意义，只需α，β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)即可．
( )
[提示] (1)正确．由两角和的正弦公式知结论正确．
(2)错误．由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sin αcs β－cs αsin β.
(3)错误．还应使α±β≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．cs 2 020°cs 1 580°－sin 2 020°sin 1 580°等于( )
A．0 B．eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(2),2)D．1
D [原式＝cs(2 020°＋1 580°)＝cs 3 600°＝1.]
3．已知cs α＝－eq \f(4,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等于( )
A．－eq \f(1,7)B．－7
C．eq \f(1,7)D．7
D [由cs α＝－eq \f(4,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，得sin α＝eq \f(3,5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4)，
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(tan\f(π,4)－tan α,1＋tan\f(π,4)tan α)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4))),1－\f(3,4))＝7. 故选D．]
4．已知cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).求：
(1)cs(2α－β)的值；
(2)β的值．
[解] (1)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，又sin(α－β)＝eq \f(\r(10),10)>0，
所以0<α－βcs(α－β)＝eq \r(1－sin2α－β)＝eq \f(3\r(10),10)，
cs(2α－β)＝cs[α＋(α－β)]＝cs αcs(α－β)－sin αsin(α－β)＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),10).
(2)cs β＝cs[α－(α－β)]＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
又因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以β＝eq \f(π,4).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式、正切公式，了解它们的内在联系．(重点)
2．会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. (重点、难点)
1.通过对两角和与差的正弦、正切公式的推导，培养学生逻辑推理素养．
2．通过应用两角和与差的正弦、正切公式进行求值、化简和证明，培养学生数学运算和逻辑推理素养.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角
和的
正切
Tα＋β
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
α，β，α＋β均不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
两角
差的
正切
Tα－β
tan(α－β)＝
eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
α，β，α－β均不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
给角求值
给值(式)求值
给值求角