高中数学第二章 平面向量及其应用5 从力的做功到向量的数量积5.2 向量数量积的坐标表示学案

这是一份高中数学第二章 平面向量及其应用5 从力的做功到向量的数量积5.2 向量数量积的坐标表示学案，共7页。

1．平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示
(1)数量积的坐标表示：
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)模、夹角、垂直的坐标表示：
2．平面直角坐标系中，两点间的距离公式
如果表示向量a的有向线段eq \(AB,\s\up8(→))的起点和终点的坐标分别是Aeq (\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq (\a\vs4\al\c1(x2，y2))，那么a＝(x2－x1，y2－y1)．
则|a|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))))＝eq \r((\a\vs4\al\c1(x2－x1))2＋(\a\vs4\al\c1(y2－y1))2).
思考 如何利用向量知识与方法推导平面直角坐标系中，两点间的距离公式？
[提示] eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up8(→))·\(AB,\s\up8(→)))＝eq \r((\a\vs4\al\c1(x2－x1))2＋(\a\vs4\al\c1(y2－y1))2).
1．已知向量a＝(－4,7)，向量b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．34B．27
C．－43D．－6
D [a·b＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6.]
2．设向量eq \(OA,\s\up8(→))＝(1,0)，eq \(OB,\s\up8(→))＝(1,1)，则向量eq \(OA,\s\up8(→))，eq \(OB,\s\up8(→))的夹角为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(π,2)
B [cs θ＝eq \f(\(OA,\s\up8(→))·\(OB,\s\up8(→)),|\(OA,\s\up8(→))||\(OB,\s\up8(→))|)＝eq \f(1×1＋0×1,\r(1)·\r(12＋12))＝eq \f(\r(2),2)，
∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，π))，∴θ＝eq \f(π,4).]
3．已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________.
2 [由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.]
4．已知a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq \r(5).
(1)求|a＋2b|；
(2)若(a＋b)·c＝eq \f(5,2)，求向量a与c的夹角.
[解] (1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，
∴|a＋2b|＝eq \r((－3)2＋(－6)2)＝3eq \r(5).
(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，
∴a＋b＝－a，
∴(a＋b)·c＝－a·c＝eq \f(5,2).∴a·c＝－eq \f(5,2).
又|a|＝eq \r(5)，|c|＝eq \r(5)，
∴cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(－\f(5,2),|\r(5)||\r(5)|)＝－eq \f(1,2)，又〈a，c〉∈[0，π]，∴〈a，c〉＝eq \f(2π,3).
∴向量a与c的夹角为eq \f(2π,3).
【例1】 已知向量a和b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：
(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.
[解] (1)设a＝λb＝(λ，2λ)．
∵a·b＝10，
∴eq \r(5)λ·eq \r(5)cs 0°＝10，解得λ＝2.∴a＝(2,4)．
(2)(a·c)·b＝[(2×2＋4×(－1)]·b＝0·b＝0.
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
eq \([跟进训练])
1．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．
[解] (1)a·b＝3＋(－1)×(－2)＝5.
(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝16＋9＝25.
(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(9＋1)－(1＋4)＝5.
【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，求满足下列条件的实数λ的取值范围．
(1)a与b的夹角为90°；
(2)a与b的夹角为锐角．
[思路点拨] 由向量的夹角公式，可转化判定a·b的符号．
[解] (1)a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
∵a⊥b，∴a·b＝0，∴1＋2λ＝0，∴λ＝－eq \f(1,2).
(2)∵a与b的夹角为锐角，∴a·b>0且a与b不同向．
因此1＋2λ>0，∴λ>－eq \f(1,2).
又∵a与b共线且同向时，λ＝2.
∴a与b的夹角为锐角时，λ的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)．
若本例条件不变，如何求a与b的夹角为钝角时，λ的取值范围？
[解] ∵a与b的夹角θ为钝角，
∴cs θ