数学必修 第二册3.1 向量的数乘运算导学案

这是一份数学必修 第二册3.1 向量的数乘运算导学案，共8页。


1．数乘运算的定义
(1)实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa.
(2)|λa|＝|λ||a|.
(3)方向：λa的方向eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(当λ>0时，与a的方向相同；,当λ<0时，与a的方向相反；,当λ＝0，0a＝0.))
(4)几何意义：当λ>0时，表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍；
当λ<0时，表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍．
思考：若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？
提示：不一定，若b＝0，此时必有a∥b，b∥c成立，但a与c不一定共线．
2．数乘运算的运算律
设λ，μ为实数，a，b为向量，则
(1)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(2)λ(μa)＝λμa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.
3．向量的线性运算：向量的加法、减法和数乘的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)．
1．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为( )
①m(a－b)＝ma－mb；
②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b；
④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③D．③④
B [①和②属于数乘运算对向量与实数的分配律，正确；③中，若m＝0，则不能推出a＝b，错误；④中，若a＝0，则m，n没有关系，错误．]
2. 在△ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且eq \(AD,\s\up8(→))＝a，eq \(BE,\s\up8(→))＝b，那么eq \(BC,\s\up8(→))等于( )
A．eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)bB．eq \f(2,3)a－eq \f(2,3)b
C．eq \f(2,3)a－eq \f(4,3)bD．－eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b
A [由题意，得eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(BE,\s\up8(→))＋eq \(EC,\s\up8(→))＝b＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up8(→))＝b＋eq \f(1,2)(eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)))＝b＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up8(→))，即eq \(BC,\s\up8(→))＝b＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up8(→))，解得eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(4,3)b.]
3．已知|a|＝2，|b|＝3，若两向量方向相同，则向量a与向量b的关系为b＝________a.
eq \f(3,2) [由于|a|＝2，|b|＝3，则|b|＝eq \f(3,2)|a|，又两向量同向，故b＝eq \f(3,2)a.]
4．如图所示，已知eq \(AP,\s\up8(→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up8(→))，用eq \(OA,\s\up8(→))，eq \(OB,\s\up8(→))表示eq \(OP,\s\up8(→)).
[解] eq \(OP,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AP,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \f(4,3)(eq \(OB,\s\up8(→))－eq \(OA,\s\up8(→)))＝－eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \f(4,3)eq \(OB,\s\up8(→)).
【例1】 已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)2a的方向与a的方向相同；
(2)|－2a|＝eq \f(3,2)|3a|；
(3)eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))a是单位向量；
(4)a＋b与－a－b是一对相反向量．
[解] (1)真命题．∵2>0，∴2a的方向与a的方向相同．
(2)假命题．|－2a|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－2))|a|＝2|a|＝eq \f(2,3)|3a|.
(3)真命题.eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))a))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝1.
(4)真命题．∵a＋b与－a－b是一对相反向量，且－(a＋b)＝－a－b，
∴a＋b与－a－b是一对相反向量．
对数乘向量的三点说明
1向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小.
2当λ＝0或a＝0时，λa＝0.反之，也成立，
3数乘向量的运算不满足消去律.
eq \([跟进训练])
1．已知λ∈R，a≠0，则在下列各命题中，正确的命题有( )
①当λ＞0时，λa与a的方向一定相同；
②当λ＜0时，λa与a的方向一定相反；
③当λa与a的方向相同时，λ＞0；
④当λa与a的方向相反时，λ＜0.
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
D [由λ与向量a的积λa的方向规定，易知①②③④正确．]
【例2】 计算下列各式：
(1)2(a＋b)－3(a－b)；
(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；
(3)eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((3a＋2b)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))))－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b)).
[解] (1)原式＝2a－3a＋2b＋3b＝－a＋5b；
(2)原式＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c；
(3)原式＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq \f(3,4)b＝a＋eq \f(3,4)b－a－eq \f(3,4)b＝0.
1．向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”，但这里的“同类项”指向量，实数看作是向量的系数．
2．对于线性运算，把握运算顺序为：正用分配律去括号→逆用分配律合并．
eq \([跟进训练])
2．(1)化简eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1((4a－3b)＋\f(1,3)b－\f(1,4)(6a－7b)))；
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a－b))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b))＋(2b－a)．
[解] (1)原式＝eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))
＝eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b))
＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))
＝eq \f(5,3)a－eq \f(11,18)b；
(2)原式＝eq \f(1,3)a－b－a＋eq \f(2,3)b＋2b－a
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－1－1))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(2,3)＋2))b
＝－eq \f(5,3)a＋eq \f(5,3)b
＝－eq \f(5,3)(3i＋2j)＋eq \f(5,3)(2i－j)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－5＋\f(10,3)))i＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(10,3)－\f(5,3)))j
＝－eq \f(5,3)i－5j.
[探究问题]
1．若D是△ABC的边BC的中点，如何用eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(AC,\s\up8(→))表示eq \(AD,\s\up8(→))？
提示：由三角形法则知，
eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BD,\s\up8(→))，
eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(CD,\s\up8(→))，
两式相加得2eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\(BD,\s\up8(→))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up8(→))＋\(CD,\s\up8(→))))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\(AC,\s\up8(→))))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BD,\s\up8(→))＋\(CD,\s\up8(→))))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→))，
所以eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\(AC,\s\up8(→)))).
2．在△ABC中，若eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\(AC,\s\up8(→))))，则D是否是△ABC的边BC的中点？
提示：设D′是边BC的中点，则eq \(AD′,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\(AC,\s\up8(→))))，又eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up8(→))＋\(AC,\s\up8(→))))，
则eq \(AD′,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))，
所以D与D′重合，
所以D是边BC的中点．
【例3】 已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：eq \(EF,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)))．
[证明] 取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．
∵E为AD的中点，
∴eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→)).
∵F是BC的中点，∴eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AC,\s\up8(→)))．
又∵eq \(AC,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→))，
∴eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→)).
∴eq \(EF,\s\up8(→))＝eq \(AF,\s\up8(→))－eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→)))．
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
eq \([跟进训练])
3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．求证：eq \(DE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up8(→)).
[证明] ∵D为AB的中点，
∴eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→)).
∵E是AC的中点，∴eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up8(→)).
∴eq \(DE,\s\up8(→))＝eq \(AE,\s\up8(→))－eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up8(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq (\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up8(→))－\(AB,\s\up8(→))))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up8(→)).
1．实数λ与向量a可作数乘，但实数λ不能与向量a进行加、减运算，如λ＋a，λ－a都是无意义的．还必须明确λa是一个向量，λ的符号与λa的方向相关，|λ|的大小与λa的模有关．
2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若λa＝0则λ＝0．( )
(2)对于非零向量a，向量－2a与向量a方向相反．( )
(3)当a是非零向量，－eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a)))a是与向量a反向的单位向量．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq \(EB,\s\up8(→))＋eq \(FC,\s\up8(→))等于( )
A．eq \(BC,\s\up8(→)) B．eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up8(→))
C．eq \(AD,\s\up8(→))D．eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up8(→))
C [eq \(EB,\s\up8(→))＋eq \(FC,\s\up8(→))＝eq \(EC,\s\up8(→))＋eq \(CB,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＋eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(EC,\s\up8(→))＋eq \(FB,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→)))＝eq \f(1,2)·2eq \(AD,\s\up8(→))＝eq \(AD,\s\up8(→)).]
3．若2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,3)a))－eq \f(1,2)(c＋b－3x)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量x＝________.
eq \f(4,21)a－eq \f(1,7)b＋eq \f(1,7)c [据向量的加法、减法整理、运算可得x＝eq \f(4,21)a－eq \f(1,7)b＋eq \f(1,7)c.]
4．已知a、b为非零向量，试判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)－2a的方向与3a的方向相反，且－2a的模是3a模的eq \f(2,3)倍；
(2)a－b与b－a是一对相反向量．
[解] (1)真命题．∵－2a与－a同方向，3a与a同方向，由于－a与a反方向，故－2a与3a反方向，
又∵|－2a|＝2|a|，|3a|＝3|a|，所以－2a的模是3a模的eq \f(2,3)倍．
(2)真命题．∵b－a＝－(a－b)，∴a－b与b－a是一对相反向量．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握向量数乘的运算及其运算律．(重点)
2．理解数乘向量的几何意义．(重点)
1.通过向量数乘概念的学习，培养数学抽象素养；
2．通过向量数乘的运算及其运算律的应用，培养数学运算素养.
向量数乘运算的定义
向量的线性运算
向量线性运算的应用