北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例学案

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用向量方法解决平面几何问题的三个步骤
思考：1.你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？
提示：关键是如何将几何问题转化为向量问题，对具体问题是选用向量几何法还是坐标法解决．
2．利用向量可以解决哪些物理问题？
提示：利用向量可以解决物理中有关力、速度、位移等矢量的合成问题以及力对物体做功的问题等．
1．若向量eq \(OF1,\s\up8(→))＝(1,1)，eq \(OF2,\s\up8(→))＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为( )
A．(5,0) B．(－5,0)
C．eq \r(5)D．－eq \r(5)
[答案] C
2．已知△ABC，eq \(AB,\s\up8(→))＝a，eq \(AC,\s\up8(→))＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．不能确定
[答案] A
3．已知F＝(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动到B(4，0)，则力F对物体作的功为________．
[答案] 4
4．如图所示，已知ABCD中，E、F在对角线BD上，且BE＝FD．
求证：四边形AECF是平行四边形．
[证明] 由已知可设eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \(DC,\s\up8(→))＝a，eq \(BE,\s\up8(→))＝eq \(FD,\s\up8(→))＝b，
故eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BE,\s\up8(→))＝a＋b，eq \(FC,\s\up8(→))＝eq \(FD,\s\up8(→))＋eq \(DC,\s\up8(→))＝b＋a，
又∵a＋b＝b＋a，
则eq \(AE,\s\up8(→))＝eq \(FC,\s\up8(→))，即AE、FC平行且相等，
故四边形AECF是平行四边形．
【例1】 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
[证明] 法一：设eq \(AD,\s\up8(→))＝a，eq \(AB,\s\up8(→))＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0，
又eq \(DE,\s\up8(→))＝eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \(AE,\s\up8(→))＝－a＋eq \f(b,2)，eq \(AF,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))＋eq \(BF,\s\up8(→))＝b＋eq \f(a,2)，
所以eq \(AF,\s\up8(→))·eq \(DE,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(a,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－a＋\f(b,2)))＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,4)a·b＋eq \f(b2,2)＝－eq \f(1,2)|a|2＋eq \f(1,2)|b|2＝0.
故eq \(AF,\s\up8(→))⊥eq \(DE,\s\up8(→))，即AF⊥DE.
法二：建立平面直角坐标系，如图，设正方形的边长为2，
则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，eq \(AF,\s\up8(→))＝(2,1)，eq \(DE,\s\up8(→))＝(1，－2)，
因为eq \(AF,\s\up8(→))·eq \(DE,\s\up8(→))＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以eq \(AF,\s\up8(→))⊥eq \(DE,\s\up8(→))，即AF⊥DE.
用向量解平面几何问题的方法
1基法：选择两个不共线的向量作为基，用基表示有关向量，把问题转化为只含有基向量的运算.
2坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算.
eq \([跟进训练])
1．如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
[解] 法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝eq \r(2)a，
所以eq \(DP,\s\up8(→))·eq \(EF,\s\up8(→))＝(eq \(DA,\s\up8(→))＋eq \(AP,\s\up8(→)))·(eq \(EP,\s\up8(→))＋eq \(PF,\s\up8(→)))
＝eq \(DA,\s\up8(→))·eq \(EP,\s\up8(→))＋eq \(DA,\s\up8(→))·eq \(PF,\s\up8(→))＋eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(EP,\s\up8(→))＋eq \(AP,\s\up8(→))·eq \(PF,\s\up8(→))
＝1×a×cs 180°＋1×(1－a)×cs 90°＋eq \r(2)a×a×cs 45°＋eq \r(2)a×(1－a)×cs 45°
＝－a＋a2＋a(1－a)＝0.
所以eq \(DP,\s\up8(→))⊥eq \(EF,\s\up8(→))，即DP⊥EF.
法二：设正方形边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
设P(x，x)，则D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，
所以eq \(DP,\s\up8(→))＝(x，x－1)，eq \(EF,\s\up8(→))＝(1－x，x)，
由于eq \(DP,\s\up8(→))·eq \(EF,\s\up8(→))＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，
所以eq \(DP,\s\up8(→))⊥eq \(EF,\s\up8(→))，即DP⊥EF.
【例2】 在风速为75(eq \r(6)－eq \r(2)) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
[解] 设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b.
如图，作向量eq \(OA,\s\up8(→))＝a，eq \(OB,\s\up8(→))＝b，eq \(OC,\s\up8(→))＝c，则四边形OACB为平行四边形．
过C、B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D、E点．
由已知，|eq \(OA,\s\up8(→))|＝75(eq \r(6)－eq \r(2))，|eq \(OC,\s\up8(→))|＝150，∠COD＝45°.
在Rt△COD中，OD＝OCcs 45°＝75eq \r(2)，CD＝75eq \r(2).
又ED＝BC＝OA＝75(eq \r(6)－eq \r(2))，
∴OE＝OD＋ED＝75eq \r(6).又BE＝CD＝75eq \r(2).
在Rt△OEB中，OB＝eq \r(OE2＋BE2)＝150eq \r(2)，
sin∠BOE＝eq \f(BE,OB)＝eq \f(1,2)，∴|eq \(OB,\s\up8(→))|＝150eq \r(2)，∠BOE＝30°.
故没有风时飞机的航速为150eq \r(2) km/h，航向为西偏北30°.
1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．
2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量的平行四边形法则和三角形法则．
3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．
eq \([跟进训练])
2．一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．
[解] 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地＝v风车＋v车地．
如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段eq \(AD,\s\up8(→))是平行四边形ABDC的对角线．
∵|eq \(AC,\s\up8(→))|＝4米/秒，∠ACD＝30°，|eq \(AD,\s\up8(→))|＝2米/秒，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADC中，|eq \(DC,\s\up8(→))|＝|eq \(AC,\s\up8(→))|cs 30°＝2eq \r(3)(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为2eq \r(3)米/秒．
1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．
2．用向量解决物理问题需注意：
(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来；
(2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解；
(3)要将数学问题还原为物理问题．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．( )
(2)若△ABC为直角三角形，则有eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝0．( )
(3)若向量eq \(AB,\s\up8(→))∥eq \(CD,\s\up8(→))，则AB∥CD．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．若eq \(AB,\s\up8(→))＝2e1，eq \(DC,\s\up8(→))＝4e1，且eq \(AD,\s\up8(→))与eq \(CB,\s\up8(→))的模相等，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．梯形
C．等腰梯形D．菱形
C [eq \(AB,\s\up8(→))＝eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up8(→))，又|eq \(AD,\s\up8(→))|＝|eq \(BC,\s\up8(→))|，
∴四边形ABCD为等腰梯形．]
3．在四边形ABCD中，已知eq \(AB,\s\up8(→))＝(4，－2)，eq \(AC,\s\up8(→))＝(7,4)，eq \(AD,\s\up8(→))＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
30 [∵eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(AC,\s\up8(→))－eq \(AB,\s\up8(→))＝(3,6)＝eq \(AD,\s\up8(→))，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵eq \(AB,\s\up8(→))·eq \(BC,\s\up8(→))＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴eq \(AB,\s\up8(→))⊥eq \(BC,\s\up8(→))，
∴四边形ABCD为矩形，又|eq \(AB,\s\up8(→))|＝eq \r(20)，|eq \(BC,\s\up8(→))|＝eq \r(45)，
∴S＝|eq \(AB,\s\up8(→))|·|eq \(BC,\s\up8(→))|＝30.]
4．正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，试求cs∠DOE的值．
[解] 以OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：eq \(OD,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，eq \(OE,\s\up8(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
故cs∠DOE＝eq \f(\(OD,\s\up8(→))·\(OE,\s\up8(→)),|\(OD,\s\up8(→))|·|\(OE,\s\up8(→))|)＝eq \f(1×\f(1,2)＋\f(1,2)×1,\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(4,5).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能运用向量的有关知识解决平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题．(重点)
2．能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题．(难点)
通过平面向量的应用，培养逻辑推理及数学建模素养.
向量在平面几何中的应用
向量在解决物理问题中的应用