北师大版 (2019)必修 第二册1 建筑物高度的测量学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册1 建筑物高度的测量学案，共5页。

§2 测量和自选建模作业的汇报交流
1．数学建模的概念
把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模．
2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤
(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；
(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
思考：测量底部不能到达的建筑物的高度时，往往需要在经过建筑物底部的水平面内引一条基线．
(1)当基线CD与建筑物AB在同一铅垂面内时，如图，需要测量哪些数据？如何计算该建筑物的高度？
提示：测量出基线CD的长及在C，D处建筑物AB顶部点A的仰角的度数，
在Rt△ABD中，BD＝eq \f(AB,tan∠ADB)，
在Rt△ABC中，BC＝eq \f(AB,tan∠ACB)，
∴a＝CD＝BC－BD＝eq \f(AB,tan∠ACB)－eq \f(AB,tan∠ADB).
∴AB＝eq \f(a,\f(1,tan∠ACB)－\f(1,tan∠ADB)).
(2)当基线CD与建筑物AB不在同一铅垂面内时，如图，需要测量哪些数据？如何计算该建筑物的高度？
提示：测量出基线CD的长及在C处建筑物AB顶部点A的仰角的度数，在平面BCD内，测量出∠BCD与∠BDC的度数．
在△BCD中，BC＝eq \f(a,sin(∠BCD＋∠D))×sin D．
∵AB⊥BC ，
∴∠BAC＝eq \f(π,2)－∠ACB．
∴在△ABC中，AB＝eq \f(BC,sin∠BAC)×sin∠ACB＝eq \f(BC,cs∠ACB)×sin∠ACB．
∴AB＝eq \f(\f(a,sin(∠BCD＋∠D))×sin D,cs∠ACB)×sin∠ACB
＝eq \f(asin Dtan∠ACB,sin(∠BCD＋∠D)).
【例1】 如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，求出山高CD．
[解] 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
根据正弦定理得eq \f(AC,sin∠ABC)＝eq \f(BC,sin∠BAC)，即eq \f(AC,sin(90°－α))＝eq \f(BC,sin(α－β))，
∴AC＝eq \f(BCcs α,sin(α－β))＝eq \f(hcs α,sin(α－β)).
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β＝eq \f(hcs αsin β,sin(α－β)).
所以，山的高度为eq \f(hcs αsin β,sin(α－β)).
解三角应用题的一般步骤
1准确理解题意，分清已知和所求，尤其要理解应用题中的名词和术语；
2画出示意图，并在图形中标注出已知条件；
3若已知量与未知量涉及多个三角形，则需要利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，并作答.
eq \([跟进训练])
1．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为35°，沿倾斜角为20°的斜坡前进1000米后到达D处，又测得山顶的仰角为65°，求山的高度．(精确到1m.eq \r(2)≈1.4142，sin 35°≈0.5736)．
[解] 过点D作DE∥AC交BC于E，
因为∠DAC＝20°，
所以∠ADE＝160°，于是∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，
由正弦定理得，AB＝eq \f(ADsin∠ADB,sin∠ABD)＝1000eq \r(2)(m)．
在Rt△ABC中，BC＝ABsin 35°≈811(m)．
所以，山的高度约为811m.
【例2】 如图所示，A、B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD．
[解] 由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD．
因此只需在△ABD中求出AD即可，
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由eq \f(AB,sin 15°)＝eq \f(AD,sin 45°)，得AD＝eq \f(AB·sin 45°,sin 15°)＝eq \f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq \r(3)＋1) (m)．
所以，山的高度为800(eq \r(3)＋1) m.
测量高度时，要准确理解仰角、俯角的数学含义.它是将实际问题转化为数学问题的关键.
eq \([跟进训练])
2．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，求此山的高度CD．
[解] 依题意，∠CAB＝30°，AB＝600 m，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，
∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.
由正弦定理，得BC＝eq \f(AB,sin∠ACB)·sin∠CAB＝eq \f(600,sin 45°)×sin 30°＝300eq \r(2)，
∴CD＝BCtan∠CBD＝300eq \r(2)×tan 30°＝100eq \r(6)(m)．
所以，山的高为100eq \r(6)m.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解数学建模的意义．
2．了解数学建模的基本过程．(重点)
3．能够利用或建立解三角形模型解决关于高度测量的实际问题．(难点、重点)
1.经历数学建模的过程，培养数学抽象与数据分析素养．
2．通过数学建模解决实际问题的过程，提升数学运算、逻辑推理与直观想象素养.
基线与建筑物在同一铅垂面内
基线与建筑物不在同一铅垂面内