数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用教案

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课程基本信息课例编号 学科数学年级高二学期第一学期课题导数在研究函数中的应用小结（1）教科书书名：普通高中教科书   数学选择性必修第二册  （A版）                               出版社：人民教育出版社             出版日期：2020  年   月教学人员 姓名单位授课教师  指导教师  教学目标教学目标：复习巩固利用导数研究函数单调性极值最大值等性质的方法，提炼出利用导数解决实际问题的步骤与方法；亲历对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的数学建模过程；感悟数学的科学价值与应用价值，提升数学抽象与数学建模核心素养．重点：利用导数解决实际问题的步骤与方法．难点：对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、选择恰当的数学方法构建模型解决问题．教学过程时间教学环节主要师生活动３分钟                           1８分钟                                                                                                                                                                                ２分钟                                            新课引入                          例题讲解                                     课堂小结              课后作业                                                                                                                                                  课堂小结作业                                          引导语： 上节课在复习利用导数研究函数单调性、极值、最大（小）值等性质的基础上，亲历画出函数大致图象的过程，感受导数在研究函数性质中的作用，提炼出函数作图的基本步骤，厘清这些步骤与求函数单调区间，极值等问题之间的联系．　　问题1　画出函数的大致图象的步骤是什么？　　通常，可以按如下步骤画出函数的大致图象： （1）          求出函数的定义域；（2）          求导数 及函数的零点；（3）          用 的零点将函数的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值； （4）          确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；（5）          画出函数的大致图象．导数是继我们在必修一学习的初等方法后研究函数问题的又一个有力工具，这节课让我们一起感受导数工具的威力吧．例１　利用函数的单调性，证明不等式，并通过函数图象直观验证．证明不等式，事实上是比较与在的大小关系，利用初等方法证明较为困难．题目中提示“利用函数的单调性”证明，我们需要构造适当的函数．问题2  为了证明不等式，构造什么函数呢？可以构造函数来证明不等式．追问1：可以通过的函数值的何种取值范围证明原不等式成立？通过的函数值恒大于零证明原不等式成立．明确了证明的目标，我们按照上节课的思路研究函数　　　　的单调性，最值，图象．函数的定义域是题目给出的．追问2：按照上节课归纳总结的研究思路，在明确定义域的前提下，下一步应该研究什么？在明确定义域的前提下求导数及函数的零点，进而得出的单调性与极值．，易知在恒成立，在不存在零点．追问3：如何描述单调性及极值呢？函数在定义域上单调递增，没有极值．追问4：的图象经过哪些特殊点？图象的变化趋势如何？　函数，当时， ；当时，，的图象还经过点，函数值随自变量增大而增大．追问5：你能根据上述分析画出函数的大致图象吗？          追问6：的值域是什么？由函数单调性可知，，即函数值域为．由函数图象也可以直观的得出函数值域．这样也就证明了当时恒成立，即．追问7： 回顾三角函数一章的学习，通过图象直观验证可以借助什么工具呢？我们可以借助单位圆验证．追问8： 单位圆中哪些几何元素对应及？根据弧度制定义，长度对应于值，由正弦函数定义有线段长度对应于值，这样当时易得，当时有．例１把这样一个通过几何直观可以验证的事实给予了严谨的证明，通过高中数学课程的学习，我们要逐步形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神．上节课的课后作业第1,2 小题涉及到了及两个可以通过图象直观验证的事实，请同学们按照例1的研究思路独立完成．问题3　能否通过求解例１的过程完善利用导数研究函数性质的步骤呢？ （1）       求出函数的定义域，确定函数图象的大致范围；（2）       用导数研究函数的单调性、极值；（3）       利用函数单调性、极值等性质，画出的大致图象；（4）       利用函数图象进一步研究函数的最大（小）值、值域、零点等性质．下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用．问题4　　饮料瓶大小对饮料公司利润是否有影响？　　追问1：　你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学 上知道它的道理吗？追问2：  是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？带着这两个问题，我们一起来看例2． 例２　某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中（单位：）是瓶子的半径．已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为． (1)    瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)    瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？追问3： 出售一瓶瓶子的半径为的饮料制造商获利为多少分？由一瓶瓶子的半径为的饮料的容积为，又由已知每出售的饮料，制造商可获利分，所以每出售一瓶瓶子的半径为的饮料制造商获利为．追问4：　出售一瓶瓶子的半径为的饮料，制造商还要负担什么成本吗？出售一瓶瓶子的半径为的饮料，制造商还要负担瓶子的制造成本是分．追问5：  根据上述分析，每瓶饮料制造商的利润关于半径的函数关系是什么？函数关系是．追问6： 函数的定义域是什么？瓶子半径的取值范围为．追问7： “瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大（小）？”是关注函数的什么性质？关注函数的最大值与最小值．下面我们就遵循着总结的利用导数研究函数的步骤来研究函数．首先利用导数研究的单调性、极值；再利用函数单调性、极值等性质，画出的大致图象；利用函数图象进一步研究函数的最大（小）值．解：由题意可知，每瓶饮料的利润是　　　　　　，　　　　令，解得．当时，；当时，．因此，当半径时，，函数单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时，；函数单调递减，即半径越大，利润越低．半径为时，利润最大．半径为时，利润最小．　追问8：通过计算发现，你能解释它的实际意义吗？ “”表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．追问9：请同学们画出函数的图象，从函数图象你还能得到什么结论？  从图象上容易看出，当时，，即瓶子的半径是时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 时，利润才为正值． 追问10： 通过此问题的解决，如何回答开始时的问题呢？市场上等量的小包装的物品，由于其成本比大包装的高，要想保持一定的利润，就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些．由例２的结论可知，饮料瓶越大饮料公司的利润越大．这节课我们复习巩固利用导数研究函数单调性极值最大值等性质的方法，提炼出利用导数解决实际问题的步骤与方法．问题５　　利用导数解决实际问题的步骤与方法是什么？（1）       求出函数的定义域，确定函数图象的大致范围；（2）       用导数研究的单调性、极值；（3）       利用函数单调性、极值等性质，画出的大致图象；（4）       利用函数图象进一步研究函数的最大（小）值、值域、零点等性质．　　　在求解例题的过程中，我们亲历了对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的数学建模过程，感悟数学的科学价值与应用价值，提升数学抽象与数学建模核心素养．　　将一条长为的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形．要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒．(1)    试把方盒的容积表示为的函数；(2)    多大时，方盒的容积最大？3.  已知某商品的生产成本与产量的函数解析式为，单价与产量的函数解析式为．产量为何值时，利润最大？