高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法教学设计

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教学设计课程基本信息课例编号 学科数学年级高二学期上学期课题数学归纳法（2）教科书书名：普通高中教科书数学A版选择性必修2                                   出版社：人民教育出版社                出版日期：2020年5月教学人员 姓名单位授课教师  指导教师  教学目标教学目标：1.明确数学归纳法的适用范围，会正确地使用数学归纳法.2.通过3类典型的数学问题的证明，掌握用数学归纳法证明命题的一般过程，巩固对数学归纳法的认识.3.体会数学归纳法的特殊性，认识到数学归纳法通过有限归纳无限，实现了从量变到质变的飞跃，感受数学归纳法的力量与魅力.教学重点：数学归纳法的应用.教学难点：正确地使用数学归纳法解决问题.教学过程时间教学环节主要师生活动 复习导入问题1 什么时候需要应用数学归纳法？师生活动：教师引导学生要学会具体问题具体分析.例如，要证明对任意的正整数n，等式恒成立，可以直接利用多项式的乘法法则，左边展开，合并同类项，就能得到右边.这时，我们就不必应用数学归纳法了.再如，证明的单调性，用数学归纳法就难以实现. 例1 证明：  .师生活动：教师帮助学生分析这是一个涉及正整数的命题，要证明n取所有正整数，这个式子均成立.而数学归纳法能够通过有限个步骤的推理，解决无限地问题，证明n取所有正整数时命题都成立.所以我们可以尝试着用数学归纳法来证明一下.教师呈现一个错误解法，让学生发现错误.学生发现这个解法的错误：这里只有第二步，而缺少了第一步，没有证明n=1的情况.教师提醒学生注意：第一步是后面递推的出发点，没有它，递推就成为无源之水.所以，我们应该先考虑当n=1时该式是否成立.当n=1时，该式的左边就，也就.而右边呢，就，也就.左边等于右边，所以n=1时该式成立.教师接着让学生思考是不是加上第一步以后这个证明就没问题了.学生发现这个解法当n=k+1时，有，直接把k给换成k+1.然后就说当n=k+1时也成立.而把k换成k+1的前提是当n=k+1时成立，而这正是我们要证明的结论，不能把它当作已经条件.教师提醒学生明确目标：我们是假设n=k时该式成立，并以此为条件证明n=k+1时该式也成立，从而证明命题的成立具有递推性.所以，这个式子是需要我们证明的，是我们的目标.那该怎么来去证明呢？我们一定要用上假设.既然假设当n=k时该式成立，那么这个式子就成了已知条件.然后教师让学生比较一下已知条件和要证明的式子，等号左边多了一个这一项，那不妨在式子两边同时加上，就有.再进行化简，我们的目标就达成了.说明n=k时该式成立能推出n=k+1时该式也成立，加之k的任意性，我们由这两个步骤就可知：该式对任何都成立. 方法归纳问题2 怎样正确地使用数学归纳法？师生活动：教师提醒学生注意：首先，一定不要忘了验证第一步，我们称这一步为归纳奠基，它为后续的证明奠定了基础，是必不可少的.其次，我们的第二步是在第一步基础上证明命题的成立具有递推性，这实际上是以逻辑的推理代替了无限的验证过程。假设P（k）为真，要用上假设，以此为已知条件，证明P（k+1）也为真，要明确“用上假设，递推才真”. 典例剖析例2 已知数列满足，（），试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.师生活动：学生在教师的指导下分析问题：这个数列，已知首项，又已知反映相邻两项关系的递推公式.我们可以对这个式子稍加变形，把提出来，化为（），这样我们就能清晰地看出后一项与前一项之间的关系.然后我们由，可得.同理可得，，.归纳一下：每一项的分母就是该项的序号，分子比分母小1.故猜想第n项就等于n分之n-1.().我们把这个式子记作②式.下面用数学归纳法证明一下这个猜想.第一步，当n=1时，该式左边，右边，猜想成立.再来看第二步，假设n=k（）时，该式成立，即，这个式子就可以作为已知条件了，要利用它.而我们此时要证明n=k+1时也成立，即证明，这是我们的目标.教师让学生思考与之间有什么关系？学生根据递推公式        ，把代入，得出，分子分母同时乘上k，就得出，也就是.这样就证明了n=k+1时也成立.由这两个步骤可知，猜想对任何都成立.教师归纳：我们通过“观察——归纳——猜想——证明”的过程解决了这一问题. 追问：把例2中的“”换成“”，其他条件不变，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.师生活动：教师让感兴趣的同学课后思考一下这个问题，并体会初始值的改变对其通项公式繁简程度的影响. 例3 设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，1+x，，…，，…的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论.师生活动：教师帮助学生分析思路：一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较与n的大小关系，并作出猜想；另一种思路是先由等比数列的求和公式求出，再通过n取特殊值比较与n的大小关系，然后做出猜想.学生根据这两种思路，分别用两种方法进行解决. 课堂小结问题3 通过本节课，你有哪些收获？师生活动：学生通过回顾，发现这节课学习了数学归纳法的应用，回答了“什么时候需要应用数学归纳法”和“怎样正确地应用数学归纳法”这两个问题.教师总结：数学归纳法是一种特殊的数学演绎证明方法，用于证明与正整数有关的数学命题，应用比较广泛，并且某些时候是其他方法难以替代的.数学归纳法通过有限归纳无限，实现了从量变到质变的飞跃，令人不得不赞叹它的力量与魅力. 课后作业1.用数学归纳法证明：.2.若数列，，，…，，……的前n项和为，计算，，，由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明.