高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案及反思，共10页。

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习等差数列的概念及其性质
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
教学目标与核心素养
重点难点
重点：等差数列概念的理解、通项公式的应用
难点：等差数列通项公式的推导及等差数列的判定
课前准备
多媒体
教学过程
教学反思
普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
课程目标
学科素养
A. 理解等差数列的概念
B.掌握等差数列的通项公式及应用
C.掌握等差数列的判定方法
1.数学抽象：等差数列的概念
2.逻辑推理：等差数列通项公式的推导
3.数学运算：通项公式的应用
4.数学建模：等差数列的应用
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
导语
我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性，奇偶性等）后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等非常有用的函数模型。类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用，下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手。
新知探究
1.北京天坛圜丘坛，的地面有十板布置，最中间是圆形
的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到
外各圈的示板数依次为
9,18,27,36,45,54,63,72,81 ①
2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是
38,40,42,44,46,48 ②
3.测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度（单位℃）依次为
25,24,23,22,21 ③
4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r ，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金(b=a12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为
ar,ar−br,ar−2br,ar−3br… , ④
在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A,B两地旅游人数的变化规律，类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
1．等差数列的概念
文字语言
如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示
符号语言
an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)
2．等差中项
(1)条件：如果a，A，b成等差数列．
(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．
(3)满足的关系式是a＋b＝2A.
1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．( )
(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．( )
(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．( )
×; ×; √
问题探究
思考1：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列an的首项为a1,公差为d,根据等差数列的定义，可得an+1−an= d
所以a2−a1= d, a3−a2= d, a4−a3= d,…
于是 a2=a1+ d,
a3=a2+ d=(a1+ d) + d=a1+ 2d,
a4=a3+ d=(a1+ 2d) + d=a1+ 3d,……
归纳可得an=a1+(n−1) d (n≥2)
当n=1时，上式为a1=a1+(1−1) d=a1，这就是说,上式当时也成立。
因此，首项为a1,公差为d的等差数列an的通项公式为an=a1+(n−1) d
思考2：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？
[提示] 还可以用累加法，过程如下：
∵a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，…
an－an－1＝d(n≥2)，
将上述(n－1)个式子相加得
an－a1＝(n－1)d(n≥2)，
∴an＝a1＋(n－1)d(n≥2)，
当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d，符合上式，
∴an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)．
从函数角度认识等差数列{an}
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，
则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列． ( )
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关． ( )
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．( )
解析： (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；
若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．
(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；
d<0时为递减数列．
(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，
故a，b，c为等差数列．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
3．在等差数列{an}中，a3＝2，d＝6.5，则a7＝( )
A．22 B．24 C．26 D．28
D [a7＝a3＋4d＝2＋4×6.5＝28，故选D.]
4．如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为( )
A．－1 B．1 C．3 D．4
D [由条件知2a＋(a－6)＝3×2，解得a＝4.故应选D.]
三、典例解析
例1.（1）已知等差数列an的通项公式为an=5−2n，求an公差和首项；
（2）求等差数列8,5,2…的第20项。
分析（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an+1−an= d，即可求出公差d，（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项
解：（1）当 n≥2时，由an的通项公式为an=5−2n，
可得an−1 =5−2n−1=7−2n.
于是d=an−an−1=(5−2n)-(7−2n)=− 2.
把代入通项公式an=5−2n，可得a1=3
（2）由已知条件，得d=5−8=−3
把a1=8, d=−3代入an=a1+(n−1) d,得
an=8−3(n−1)=11 − 3n ,
把n=20代入上式，得
a20=11 − 3×20=−49 ,
所以，这个数列的第20项是−49
求通项公式的方法
(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．
(2)已知等差数列中的两项，可用d＝直接求得公差，
再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．
(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．
跟踪训练1．(1)在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d.
(2)已知数列{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d.
∵a5＝10，a12＝31，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋4d＝10，,a1＋11d＝31，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3.))
∴这个等差数列的首项a1＝－2，公差d＝3.
(2) 法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15).))
故a75＝a1＋74d＝eq \f(64,15)＋74×eq \f(4,15)＝24.
法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq \f(20－8,60－15)＝eq \f(4,15)，
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq \f(4,15)＝24.
法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b.
由a15＝8，a60＝20得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15k＋b＝8，,60k＋b＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(4,15)，,b＝4.))
∴a75＝75×eq \f(4,15)＋4＝24.
例2 (1)已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．
(2)已知eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)是等差数列，求证：eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)也是等差数列．
[思路探究] (1)eq \x(列方程组)―→eq \x(求解m，n)―→eq \x(求m，n的等差中项)
(2)

(1)6 [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋2n＝8×2＝16，,2m＋n＝10×2＝20，))
∴3(m＋n)＝20＋16＝36，∴m＋n＝12，∴eq \f(m＋n,2)＝6.]
(2)[证明] ∵eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，
∴eq \f(2,b)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)，即2ac＝b(a＋c)．
∵eq \f(b＋c,a)＋eq \f(a＋b,c)＝eq \f(cb＋c＋aa＋b,ac)
＝eq \f(a2＋c2＋ba＋c,ac)＝eq \f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq \f(2a＋c2,ba＋c)＝eq \f(2a＋c,b)，
∴eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)成等差数列．
等差中项应用策略
1.求两个数x，y的等差中项，即根据等差中项的定义得A＝eq \f(x＋y,2).
2.证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列.
跟踪训练2．在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数
成等差数列，求此数列．
[解] ∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，
∴b＝eq \f(－1＋7,2)＝3.
又a是－1与3的等差中项，
∴a＝eq \f(－1＋3,2)＝1.
又c是3与7的等差中项，
∴c＝eq \f(3＋7,2)＝5.
∴该数列为：－1，1，3，5，7.
通过导语，通过对函数学习的回顾，帮助学生类比，展望数列学习的路线。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。
通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出等差数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
通过等差数列通项公式的推导，。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
通过典型例题，帮助灵活运用等差数列的中项性质，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
三、达标检测
1．数列{an}的通项公式为an＝5－3n，则此数列( )
A．是公差为－3的等差数列 B．是公差为5的等差数列
C．是首项为5的等差数列 D．是公差为n的等差数列
A [等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以化成an＝dn＋(a1－d)．对比an＝－3n＋5.故公差为－3.故选A.]
2．等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8 B．12 C．16 D．24
C [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由a2＝2，a5＝8，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝2，,a1＋4d＝8，))
解得a1＝0，d＝2，所以a9＝a1＋8d＝16.故选C.]
3．已知a＝eq \f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq \f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为______．
eq \r(3) [eq \f(a＋b,2)＝eq \f(\f(1,\r(3)＋\r(2))＋\f(1,\r(3)－\r(2)),2)＝eq \f(\r(3)－\r(2)＋\r(3)＋\r(2),2)＝eq \r(3).]
4.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10＝____.
解析：(方法一)设an＝a1＋(n－1)d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a5＝a1＋5－1d，,a8＝a1＋8－1d，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(11＝a1＋4d，,5＝a1＋7d，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝19，,d＝－2.))
∴an＝－2n＋21(n∈N*)．
∴a10＝－2×10＋21＝1.
(方法二)设公差为d，
∵a8＝a5＋(8－5)×d，
∴d＝eq \f(a8－a5,3)＝－2，
∴a10＝a8＋(10－8)×d＝1.
(方法三)设an＝An＋B，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a5＝5A＋B，,a8＝8A＋B，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(11＝5A＋B，,5＝8A＋B，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝－2，,B＝21，))
∴an＝－2n＋21，∴a10＝1.
5．若等差数列{an}的公差d≠0且a1，a2是关于x的方程
x2－a3x＋a4＝0的两根，求数列{an}的通项公式．
[解] 由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝a3，,a1a2＝a4，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a1＋d＝a1＋2d，,a1a1＋d＝a1＋3d.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝2，,d＝2，))∴an＝2＋(n－1)×2＝2n.
故数列{an}的通项公式为an＝2n.
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。