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    等差数列的前n项和公式(1)-教案 高中数学新人教A版选择性必修第二册(2022学年)

    等差数列的前n项和公式(1)-教案 高中数学新人教A版选择性必修第二册(2022学年)第1页
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    人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列教案及反思

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列教案及反思,共4页。教案主要包含了数学史引入,层层递进,推导公式,公式的理解和简单应用,公式的推导与应用,综合应用,小结与课后作业等内容,欢迎下载使用。
    课例编号
    学科
    数学
    年级
    高二
    学期

    课题
    等差数列的前n项和公式(1)
    教科书
    书名:普通高中教科书 数学 选择性必修 第二册
    出版社:人民教育出版社 出版日期:2020年 5月
    教学人员
    姓名
    单位
    授课教师
    指导教师
    教学目标
    教学目标:了解等差数列的前n项和公式的推导方法和原理;从方程的角度认识等差数列的前n项和公式的应用,会结合等差数列的通项公式,求解等差数列中的相关量.
    教学重点:等差数列的前n项和公式的推导及应用.
    教学难点:等差数列的前n项和公式的推导及应用.
    教学过程
    时间
    教学环节
    主要师生活动
    一、数学史引入
    教师介绍高斯的故事.
    问题1 计算1+2+3+…+100的值.
    意图:引出高斯首尾配对的方法.
    追问:为什么1+100=2+99=…=50+51呢?这是巧合吗?试从数列角度给出解释.
    意图:探究高斯方法简化运算的本质原因,即通过等差数列的性质,将不同数求和问题转化为相同数求和的问题,从而用乘法运算简化了求和运算.
    二、层层递进,推导公式
    问题2 你能用上述方法计算1+2+3+… +101吗?
    意图:为后续研究一般性问题时对项数奇偶进行讨论的方法做铺垫.
    预案:1+2+3+… +101
    =(1+101)+(2+100)+…+(50+52)+51
    =102×50+51
    =5151
    追问:你还能想到其他方法吗?
    预案1:1+2+3+… +101
    =(1+2+3+… +100) +101
    =5050+101
    =5151
    预案2:1+2+3+… +101
    =0+1+2+3+… +101
    =(0+101)+(1+100)+…+(51+52)
    =101×51
    =5151
    问题3 计算1+2+3+… +n.
    意图:这个问题既是问题1和问题2的推广,又是等差数列的一个特殊情形,为进一步解决一般等差数列的求和问题做铺垫;同时,在对项数分奇偶讨论之后,学生会发现结论的一致性,这可以引发进一步的思考,从而发现倒序求和的方法;此外,这个问题又是一个常用的结论,对于公式(2)的推导也可以用到这个结论.
    追问:不分类讨论能否得到最终的结论呢?
    意图:引导学生将公式变形,通过变形之后的等式的意义,构造对应的计算方法,得到倒序求和的方法.
    追问:你能说说这种方法巧妙在哪里吗?
    意图:总结倒序求和的方法.
    活动:引导学生从几何上体会倒序求和的方法.
    问题4 倒序求和的方法能否用于求一般等差数列{an}的前n项和Sn呢?
    意图:应用倒序求和的方法求一般等差数列的前n项和,得到公式(1).
    三、公式(1)的理解和简单应用
    1. 功能一:已知,n,a1和an,求Sn.
    追问:你能用文字语言表述这个公式吗?
    意图:由文字语言的表述,提炼利用公式(1)求等差数列的前n项和所需要的条件,即a1,an和n.
    练习:在等差数列{an}中,a1=7,a50=101,求S50.
    2. 功能二:已知Sn,n,a1和an中任意3个,求第4个.
    3. 变形理解:等差数列前n项的平均值等于首项与第n项的平均值.
    四、公式(2)的推导与应用
    问题5 能不能用a1和d来表示Sn呢?
    意图:希望学生能够利用公式(1)和等差数列的通项公式推出公式(2).
    追问:如果不利用公式(1)的结论,你还有其他方法得到公式(2)吗?
    意图:从数列前n项和的定义出发,将每一项用首项和公差表示,再分组求和.
    活动:类比公式(1)的应用,分析公式(2)的应用.
    意图:功能1:已知a1,d和n,求Sn.
    功能2:已知Sn,n,a1和d中任意3个,求第4个.
    练习:在等差数列{ an }中,a1=,d=,Sn=-5,求n.
    活动:结合等差数列的通项公式,从方程组角度分析可以解决的问题,体会方程思想.
    五、综合应用
    例题 已知数列{an}是等差数列.
    (1)若a1=-4,a8=-18,求S10;
    (2)若S10=310,S20=1220,求Sn.
    意图:体会首项和公差对等差数列的确定作用,总结解决等差数列问题的基本量法,并从方程角度理解确定一个等差数列所需的条件数.
    六、小结与课后作业
    活动:从知识、方法和思想层面小结本节课的收获.
    活动:课后作业:
    根据下列各题中的条件,求相应等差数列{ an }的前n项和Sn.
    (1)a1=5,an=95,n=10;
    (2)a1=100,d=-2,n=50;
    (3)a1=14.5,d=0.7,an=32.
    2. 根据下列等差数列{ an }中的已知量,求相应的未知量.
    (1)a1=20,an=54,Sn=999,求d及n;
    (2)d=,n=37,Sn=629,求a1及an.

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