高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教学设计及反思

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课程基本信息课例编号 学科数学年级高二学期上学期课题等比数列的概念（2）教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册A版                                出版社：人民教育出版社                出版日期：    2020年 5 月教学人员 姓名单位授课教师  指导教师  教学目标教学目标：加深对等比数列的概念的理解，在具体情境中，运用定义及通项公式解决问题，提高数学建模素养.教学重点：等比数列的概念和通项公式的简单应用.教学难点：综合与灵活应用等比数列的概念和通项公式.教学过程时间教学环节主要师生活动1分钟 引入   问题1 在上节课的学习中，我们类比等差数列，得到等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数列通项公式吗？             18分钟新课例4  用 元购买某个理财产品一年.（1）       若以月利率的复利计息，个月能获得多少利息（精确到1元）？（2）       若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.存入      元，第一期末  元，第二期末  元，第三期末  元，所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和，，， 构成等比数列.这个等比数列的首项是，公比是，可得通项公式为.（1） “用 元购买某个理财产品”    本金“月利率”          个月能获得的本利和      的值“个月能获得的利息”     利息=本利和-本金= 解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比，所以.所以，个月后的利息为（元）. （2）“季度利息”      设为，公比是     存4个季度的本利和       的值“存4个季度结算的利息”     “按季结算的利息不少于按月结算的利息”    解：（2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，首项，公比为，于是                      .因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为                  元.解不等式，得                     .所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.小结：运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程就是数学建模。本题通过对实际问题的抽象、简化，确定“本金”、“利率”、“本利和”、“利息”对应的数学式子，并应用已学的知识，梳理出变量之间的关系，将复利问题转化为相应的等比数列模型，然后用数学方法解决它，再用我们的模型解释现实生活中的种种现象和规律. 例5 已知数列的首项.（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列.追问1：如何证明数列是等比数列、等差数列？需要从等差数列、等比数列的定义出发证明.追问2：用部分项，如：能证明数列是等差数列吗？    不能，不符合等差、等比数列定义中的“从第2项起，每一项与它的前一项的差（比）都等于同一个常数”.追问3：那么，用什么项证明呢？    用第项，即证明.证明：（1）由，，得的通项公式为              .设，则             .又             ,所以，是以27为首项，9为公比的等比数列.  （2）由，，得               .两边取以3为底的对数，得             .所以        .又              ，所以，是首项为1，公差为的等差数列.追问4： 已知且，如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？    我们尝试同样的证明思路，将结论从特殊推广到一般.证明：设等差数列的首项为，公差为，则              .  所以数列是以为首项，为公比的等比数列.  设各项均为正的等比数列的首项为，公比为，则              .  所以数列是以为首项，为公差的等差数列.由此，我们知道了等差数列与等比数列的联系，就可以把等差数列的一些性质迁移到等比数列中.如：等差数列中，已知，且，则.那么对于各项均为正的等比数列，由上面的结论可知，是等差数列，所以，即，于是得到.即等比数列中，已知，且，则.下面我们具体证明一下.证明：设等比数列的公比为，则         ，         ，         ，         ， 所以         ，         ， 因为，所以         .小结：这是等比数列的一条重要性质，通过证明可知，此性质并不需要等比数列各项均为正. 2分钟归纳小结本课小结：（1）       掌握等比数列的通项公式，运用方程思想解决等比数列的有关问题；（2）       从生活背景中提炼出相关数量关系，将现实问题转化为数学问题，建立等差数列、等比数列模型，并加以解决.（3）       由转化和划归的思想，推导出等比数列的性质. 1分钟课后作业课后作业：某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？