人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案设计

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念教案设计，共7页。
课程基本信息课例编号 学科数学年级高二学期上课题等差数列的概念（1）教科书书名：普通高中教科书 数学选择性必修第二册(A版)                                 出版社：人民教育出版社          出版日期：  2019年 4 月教学人员 姓名单位授课教师  指导教师  教学目标教学目标：（1）理解并掌握等差数列、等差中项的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；（2）经历由等差数列的递推公式推导通项公式的过程，掌握等差数列的通项公式，并掌握其与一次函数之间的关系；（3）对等差数列的通项公式进行简单应用，体会函数与方程的思想在研究等差数列时的重要意义．教学重点：等差数列的定义，等差数列的通项公式.教学难点：等差数列的通项公式.教学过程时间教学环节主要师生活动          师生问答、共同探究         问题1  什么是等差数列？追问1：看下面几个问题中的数列，你能发现它们的规律吗？(1) 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内向外各圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，63，72，81． ①(2)  S，M，L，XL，XXL，XXXL 型号的服装上衣对应的尺码分别是： 38，40，42，44，46，48． ② (3) 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为25，24，23，22，21．      ③追问2：你能给出等差数列的定义吗？如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.追问3：判断下列数列是否为等差数列.(1)  5，9，13，17，21，…是，公差为4；(2)  9，7，5，3，1，…是，公差为-2；(3)  6，6，6，6，6，…是，公差为0；(4)  0，1，0，1，0，1，…不是，1－0＝1，0－1＝－1，不是同一个常数.可以看到，等差数列的公差可以为正数、负数或者0.公差为正数时，等差数列单调递增；公差为负数时，等差数列单调递减；公差为0时，数列为常数列.追问4：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件？由等差数列的定义，有：A－a＝b－A，所以A＝.此时，我们把A叫做a和b的等差中项.也就是说，两个数a和b的等差中项是它们的算术平均数.这个性质在等差数列的研究中有重要的意义.问题2 如何推导等差数列的通项公式呢？追问1：你能根据定义，写出等差数列的递推公式吗？设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由定义可得：an＋1－an＝d，n∈N* .追问2：你能根据递推公式，推导等差数列的通项公式吗？由递推公式，有a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….于是a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，……归纳可得an＝a1＋(n－1)d，由于刚才的推导过程是从a2＝a1＋d开始的，所以这里n的范围是n≥2.当n＝1时，上式为a1＝a1＋(1－1)d＝a1，这就是说，上式对n=1也成立. 因此我们得到首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为：an＝a1＋(n－1)d，n∈N* . 在刚才的推导过程中，我们根据等差数列的递推公式，先写出一些具体的递推关系式，观察它们的规律，归纳得到一般结论.这种由特殊到一般的推理方式，是数学中发现新规律和新结论的重要方法. 追问3：还能用其他方法推导等差数列的通项公式吗？an－an－1＝d，an－2－an－3＝d，…a3－a2＝d，a2－a1＝d.一共有多少个等式呢？共有n个，我们可以从减项或被减项的角标发现规律，这也是我们在数列中数清项数的常用方法. 我们把这n个等式进行累加求和.我们看到，在等式的左边，每一个式子的减项和下一个式子的被减项都消去了，最后只剩下第一个式子的被减项an＋1和最后一个式子的减项a1；每一个等式的右边都是常数d，一共有n个式子，所以累加后有an－a1＝(n－1) d，即an＝a1＋(n－1)d，n∈N*我们推导通项公式时用的累加法的过程，是由递推公式，写出了从a1到an＋1的所有递推关系式，对他们求和，最终得到an和a1、d与n的关系，并对n＝1时的情况进行了验证，是一种严谨的推导方法. 这种方法在处理由形如等差数列的递推公式，推导通项公式时，有非常广泛的应用.追问4：你能写出下面这些数列的通项公式吗？(1)  5，9，13，17，21，…an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1；(2)  9，7，5，3，1，…an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11；(3)  6，6，6，6，6，…an＝6＋(n－1)×0＝6.问题3  观察等差数列的通项公式，它与哪一类函数有关？因为an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，所以当d＝0时，an＝a1是常值函数；当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d) (x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f (n[张劲松1]).追问1：等差数列{an}的图象和一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)的图象有什么关系?追问2：由一次函数f(x)＝kx＋b （k，b为常数）得到[张劲松2]的数列an＝kn＋b一定是等差数列吗？任给f(x)＝kx＋b （k，b为常数)，则an＝kn＋b，a1＝f(1)＝k＋b，a2＝f(2)＝2k＋b，…，an＝f(n)＝nk＋b，…，an＋1＝f(n＋1)＝(n＋1)k＋ban＋1－an ＝f(n)－f(n)＝(nk＋b)－[(n＋1)k＋b]        ＝k，n∈N*.所以，数列{an}是以k＋b为首项，k为公差的等差数列.实际上，数列{an}为公差不为0的等差数列的充要条件是，数列{an}的通项公式是关于n的一次函数.追问3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？根据一次函数单调性的结论，当一次项系数大于0时，函数单调递增；当一次项系数小于0时，函数单调递减.等差数列通项公式看做一次函数时，一次项系数为公差d，因此，我们有：问题4  利用通项公式，可以解决等差数列的哪些问题呢？例1 已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求等差数列[张劲松3]{an}的首项a1和公差d.分析：有了通项公式，只要将n＝1代入，就能求得a1；由通项公式写出an－1的表达式，由an－an－1可求得公差d.解：把n＝1代入通项公式，得a1＝5－2×1＝3.当n≥2时，an－1＝5－2(n－1)=7－2n.于是d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2.所以，数列{an}的首项a1为3，公差d为－2[张劲松4].追问1：还有其他方法求公差d吗？分析：由于已知数列{an}为等差数列，所以每一项与它前一项的差都等于公差d，已求出首项a1＝3，只需再求出a2，a2－a1即为公差d.解法2：把n＝2代入通项公式，得a2＝5－2×2＝1.于是d＝a2－a1＝1－3＝－2.追问2：能直接从通项公式看出公差d的值吗？分析：由于等差数列通项公式是关于n的一次函数，即an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d).一次项系数记为公差d，可以直接从通项公式看出公差d的值.解法3：因为an＝5－2n，所以公差d＝－2.思路小结：数列是一种特殊的函数.研究数列时，运用函数观点，将数列的通项公式或前n项和公式，看成关于n的函数，用函数方法研究数列的相关性质，是研究数列时的常用方法.例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式an和第20项，并判断－289是否是数列中的项，若是，是第几项？分析：只要知道首项a1和公差d，就可以求得数列的通项公式，从而可以求得第20项.公差d可以由任意一项和它前一项的差求得.求得通项公式以后，它是一个关于n的方程，判断－289是否是数列中的项，只需要看－289是否能使得该方程有正整数解即可．解：由已知条件，得d＝5－8＝－3.把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得an＝8＋(n－1)×(－3)＝－3n＋11.所以a20＝－3×20＋11＝－49.令－3n＋11＝－289，得n＝100.所以－289是该数列中的第100项.思路小结：等差数列的首项a1和公差d是等差数列的“基本量”，知道了这两个基本量，就可以求得等差数列通项公式和数列中的任意一项.实际上，等差数列的通项公式中共有四个量a1、d、n和an，知道其中3个，就可以列出方程，求出另外一个.根据已知条件，列出关于等差数列的通项公式中未知量的方程或方程组，求得未知量，是解决等差数列相关问题的常用方法.问题5 回顾本节课的探究过程，你学到了什么？1. 从知识角度，我们学习了等差数列、等差中项的定义，推导了通项公式，并进行了简单的应用.在此过程中，我们由等差数列的定义，写出等差数列的递推公式；由递推公式，分别用归纳和累加的方法，推导出等差数列的通项公式.我们分别从函数和方程的角度，对通项公式进行了理解和认识，并解决了一些简单问题.2. 从研究方法上看，由定义，写出等价的递推公式，再用适当方法推导出通项公式，这是我们研究特殊数列的常用方法，在我们今后学习等比数列的概念时还会用到. 在得到等差数列的通项公式后，我们分别从通过函数和方程的角度，运用通项公式，解决了一些简单问题. 函数和方程的思想，在我们学习数列的过程中发挥着重要的作用，希望同学在今后的学习中继续体会，自觉运用. [张劲松1]强调一下这种对应,为后面运用带来方便,如an-1＝f (n-1)[张劲松2]全脚括号，下同[张劲松3]表述完整，下同。[张劲松4]表述完整,下同.