高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第五章 复数2 复数的四则运算2.1 复数的加法与减法导学案及答案

  §2　复数的四则运算

2.1　复数的加法与减法

1．复数的加法与减法

(1)复数加法的运算法则

两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，也就是(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.

(2)复数减法的运算法则

两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，也就是(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.

(3)复数的加法运算的运算律：

结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)；

交换律：z1＋z2＝z2＋z1.

2．复数加法的几何意义

如图，z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别与向量1＝(a，b)，2＝(c，d)对应，根据平面向量的坐标运算，得1＋2＝(a＋c，b＋d)，这说明两个向量1，2的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义．

思考：1.两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？

提示：是复数，唯一确定．

2．若复数z1，z2满足z1－z2＞0，能否认为z1＞z2?

提示：不能，例如可取z1＝3＋2i，z2＝2i.

1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(　　)

A．8i　　　　　　　　 B．6

C．6＋8i D．6－8i

B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]

2．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||等于(　　)

A． B．2

C． D．4

B　[向量对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，

所以＝(0,2)，故||＝2.]

3．(5－i)－(3－i)－5i＝________.

2－5i　[(5－i)－(3－i)－5i＝2－5i.]

【例1】　(1)计算：＋(2－i)－.

(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.

(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.

[解]　 (1)＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.

(2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，

解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.

法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.

(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，

∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，

∴解得∴z＝－4＋3i.

复数代数形式的加、减法运算技巧

1复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.

2算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减.

3复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.

1．(1)若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z＝________.

(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________(a，b∈R)．

(1)6－2i　(2)－a＋(4b－3)i　[(1)∵z＋i－3＝3－i，∴z＝6－2i.

(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.]

【例2】　如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0, 3＋2i，－2＋4i.求：

(1)表示的复数；

(2)对角线表示的复数；

(3)对角线表示的复数．

[思路点拨]　→

→

[解]　(1)因为＝－，所以表示的复数为－3－2i.

(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.

(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.

复数与向量的对应关系的两个关注点

1复数z＝a＋bia，b∈R是与以原点为起点，Za，b为终点的向量一一对应的.

2一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变.

2．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的(　　)

A．外心　　　　　　 B．内心

C．重心 D．垂心

A　[由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C距离相等，∴P为△ABC的外心．]

1．复数代数形式的加法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．

2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)复数与向量一一对应．  (　　)

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数． (　　)

(3)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．               (　　)

[提示]　(1)错误．复数与以原点为起点的向量一一对应．

(2)错误，复数与复数相加减后结果可能是实数，也可能是虚数．

(3)正确．由复数的加法和减法的运算法则可知其正确．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)

A．－1＋i　　　　　　 B．1－i

C．i D．－i

A　[原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.]

3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)

A．－2 B．4

C．3 D．－4

B　[z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．]

4．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2.

[解]　∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，∴z1＋z2＝x＋3＋(2－y)i＝5－6i，

∴解得∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，

∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.