北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行第2课时学案

第2课时　直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定定理 

思考：1.如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？

提示：平行．

2．如果一条直线与一个平面内无数条直线都平行，那么该直线与平面具有什么位置关系？

提示：平行或在平面内．

1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是(　　)

A．b与α内的一条直线不相交

B．b与α内的两条直线不相交

C．b与α内的无数条直线不相交

D．b与α内的所有直线不相交

D　[由直线和平面平行的概念可知选D．]

2．能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)

A．b⊂α，a∥b

B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c

C．b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD

D．a⊄α，b⊂α，a∥b

D　[由线面平行的判定定理可知，D正确．]

3．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　)

A．1个　　　　　　 B．2个

C．3个 D．4个

D　[由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．]

【例1】　已知正方形ABCD，如图(1)，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.

[证明]　　∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD．

又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED．

∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，

∴BF∥平面ADE.

应用判定定理证明线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．

易错警示：线面平行判定定理应用的误区

(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是a⊂α与b⊄α.

(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．

1．如图，O是长方体ABCD－A1B1C1D1底面对角线AC与BD的交点，求证：B1O∥平面A1C1D．

[证明]　如图，连接B1D1交A1C1于O1，连接DO1.

∵O1B1∥DO，O1B1＝DO，

∴O1B1OD为平行四边形，

∴B1O∥O1D．

∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D．

[探究问题]

1．利用线面平行的性质定理和判定定理是如何实现线、面之间的平行关系转化的？

提示：

2．证明平行关系的一般思路是什么？

提示：证明平行关系的一般思路是：“由已知想性质，由求证想判定”，即看到题目的条件要想到这个已知条件有什么性质，看到要求证的结论要想到应用什么样的判定方法去证明.

【例2】　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.

 [思路点拨]　→→

[证明]　连接MO.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．

又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.

又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.

又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.

直线与平面平行的判定定理与性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行.

2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.

[证明]　∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.

又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.

【例3】　在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．

[解]　如图，取线段AB的中点为M，

连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点．

由已知得，O为AC1的中点，连接MD，OE，

则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，

所以MD∥AC且MD＝AC，OE∥AC且OE＝AC，

因此MD∥OE且MD＝OE.

连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥MO.

因为直线DE⊄平面A1MC，MO⊂平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC．

即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC．

探索性问题的解决方法

1平行中探索存在性问题的判定，多出现在解答题中.证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系.

2掌握推理的基本形式和规则，探索和表述论证过程，有逻辑地表达与交流是逻辑推理的数学核心素养.

3.如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是A1B1、CC1的中点，过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G.

(1)求证：EG∥D1F；

(2)求B1G的长．

[解]　(1)证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面D1EGF∩平面ABB1A1＝EG，平面D1EGF∩平面DCC1D1＝D1F，

∴EG∥D1F.

(2)取棱BB1的中点H，连接A1H(图略)，则A1H∥D1F，

又EG∥D1F，

所以EG∥A1H，又E是A1B1的中点，

所以G是B1H的中点，

所以B1G＝B1B＝.

1．在用直线与平面平行的判定定理判定直线与平面平行时，其关键是在已知平面内找到与已知直线平行的直线，其方法是根据图形特征，利用平行投影来确定与已知直线平行的直线．

2．判断或证明线面平行的常用方法

(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)．

(2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥ba∥α.

(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α． (　　)

(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行． (　　)

(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．               (　　)

[提示]　(1)错误．当直线l与平面α相交时，在直线l上也存在两点到平面α的距离相等．

(2)错误．若直线l与平面α平行时，l与平面α内的直线平行或异面．

(3)错误．两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条与这个平面可能平行，也可能在这个平面内．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是(　　)

A．直线m在平面α外

B．直线m与平面α内的两条直线平行

C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行

D．直线m与平面α内的一条直线平行

C　[选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C符合题意．]

3．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．

平行　[因为MN∥CF, ED∥CF，所以MN∥ED，所以MN∥平面ADE.]

4．如图，在五面体EF－ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.

 [证明]　∵AD∥BC，AD⊄平面BCEF，BC⊂平面BCEF，

∴AD∥平面BCEF，∵AD⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF，∴AD∥EF.