高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 柱、锥、台的体积学案设计

6.2　柱、锥、台的体积

柱、锥、台的体积公式 

思考：1.把简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？

提示：表面积变大了，体积不变．

2．柱、锥、台体的体积公式之间有什么联系？

提示：

1.已知高为3的直棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为(　　)

A．　　　　　　 B．

C． D．

D　[V＝Sh＝××3＝.]

2.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为(　　)

A． B．

C． D．

B　[设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.]

3．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是________．

12π　[由已知圆锥的高h＝＝4，所以V圆锥＝π×32×4＝12π.]

【例1】　如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高．若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm，求锥体的体积．

[解]　∵VM是棱锥的高，∴VM⊥MC．

在Rt△VMC中，MC＝＝＝3(cm)，∴AC＝2MC＝6(cm)．

在Rt△ABC中，BC＝ ＝＝2(cm)．

S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)，

∴V锥＝S底h＝×8×4＝(cm3)．

∴棱锥的体积为cm3.

1锥体的体积公式V＝Sh既适合棱锥，也适合圆锥，其中棱锥可以是正棱锥，也可以不是正棱锥.

2求柱体的体积关键是求其底面积和高，底面积利用平面图形面积的求法，常转化为三角形及四边形，高常与侧棱、斜高及其在底面的投影组成直角三角形，进而求解.

1.如图是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．其中AD＝，AA1＝3，求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

[解]　在正三棱柱中，AD＝，AA1＝3，从而在等边三角形ABC中，AB＝＝＝2，

所以正三棱柱的体积V＝Sh＝×BC×AD×AA1＝×2××3＝3.

【例2】　体积为52 cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为(　　)

A．54 cm3　　　 B．54π cm3

C．58 cm3 D．58π cm3

A　[由底面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27，截得小圆锥与圆台体积比为1∶26，所以小圆锥体积为2 cm3，故原来圆锥的体积为54 cm3.]

旋转体体积的求法

要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．

(1)求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．

(2)“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．

2．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)

A．π B．2π

C．4π D．8π

B　[设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π，

所以r＝1，所以V圆柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π.]

[探究问题]

1．三棱锥A－BCD和B－ACD的底面积、高分别相等吗？体积相等吗？

提示：棱锥A－BCD和B－ACD的底面积、高可能不分别相等，但它们的体积相等．

2．由探究问题1可以得到什么启示？

提示：求一个三棱锥的体积，当其底面积或高不易求出时，可通过转换其底面积和高来求其体积．

【例3】　如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．

[思路点拨]　观察可知三棱锥A1－D1EF和F－A1D1E的体积相等，但三棱锥F－A1D1E的高易求，所以可求三棱锥F－A1D1E的体积．

[解]　由题可知V三棱锥A1－D1EF＝V三棱锥F－A1D1E,

∵S△A1D1E＝EA1·A1D1＝a2，又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，

∴V三棱锥F－A1D1E＝×a×a2＝a3，

∴V三棱锥A1－D1EF＝a3.

求几何体体积的四种常用方法

(1)公式法：规则几何体直接代入公式求解．

(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．

3．如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．

[解]　如图，连接EB，EC．四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.

∵AB＝2EF，EF∥AB，∴S△EAB＝2S△BEF.

∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC＝×V四棱锥E－ABCD＝4.

∴多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.

1．求几何体的体积的难点是求出几何体的高，要善于利用线、面的位置关系求解．

2．对于棱锥体积的求解，当高不易求出时，要注意用换顶点法求解．

3．对不规则几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)锥体的体积等于底面面积与高之积． (　　)

(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差． (　　)

提示：(1)错误．V锥体＝Sh，S为锥体底面积，h为锥体的高．

(2)正确．

[答案]　(1)×　(2)√

2．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是(　　)

A．18＋6　　　　　　 B．6＋2

C．24 D．18

B　[V＝(2＋4＋)×3＝6＋2.]

3．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　)

A． B．

C． D．

C　[∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′＝，∴VC－AA′B′B＝1－＝.]

4．如图是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少cm?

[解]　将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积．

设水面下降的高度为x cm，则π×x＝π××20，得x＝0.6 cm.