北师大版 (2019)必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式导学案及答案

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2.4　积化和差与和差化积公式学 习 目 标核 心 素 养1.了解利用两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积两组公式的过程．(难点)2．会用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明.1.通过对积化和差、和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理素养．2．通过利用积化和差、和差化积公式求值、化简和证明，培养学生数学运算素养.  积化和差公式与和差化积公式积化和差公式sin αcos β＝cos αsin β＝cos αcos β＝sin αsin β＝－和差化积公式sin θ＋sin φ＝2sincossin θ－sin φ＝2cossincos θ＋cos φ＝2coscoscos θ－cos φ＝－2sinsin思考：1.积化和差与和差化积公式中的角都是任意角吗？提示：都是任意角．2．“sin α－sin β＝2cossin”正确吗？提示：不正确．sin α－sin β＝2cos sin .1．sin 15°cos 165°的值是(　　)A．　　　　　 B．C．－ D．－C　[sin 15°cos 165°＝sin 15°cos(180°－15°)＝－sin 15°cos 15°＝－sin 30°＝－，故选C．]2．化简的结果为(　　)A．tan α B．tan 2αC． D．B　[原式＝＝tan 2α.]3．sin 75°－sin 15°的值为(　　)A． B．C． D．－B　[sin 75°－sin 15°＝2cos 45°sin 30°＝2××＝，故选B．]利用积化和差与和差化积公式化简、求值【例1】　求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.[解]　sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．[跟进训练]1．求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.[解]　原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°＝cos 20°＋－cos 20°＝.利用积化和差与和差化积公式证明三角恒等式[探究问题]1. 证明三角恒等式的基本原则是什么？提示：证明三角恒等式的基本原则是化繁为简，即由较为复杂的一边向较简单的一边证明，注意观察等号两边的函数名和结构形式的差异，利用三角函数公式进行转化．2．在三角函数公式中“弦”和“切”如何互化？提示：利用公式tan x＝可实现“弦”和“切”的互化．【例2】　求证：tan－tan＝.[思路点拨]　思路一：从等号左边向等号右边证明，把切化为弦，通分后利用和差化积与积化和差公式变形可得；思路二：从等号右边向等号左边证明，利用和差化积与积化和差公式变形，然后把弦化为切可得．[证明]　法一：∵tan－tan＝－＝＝＝＝＝.∴原式成立．法二：∵＝＝＝－＝tan－tan.∴原式成立．(1)证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值．(2)证明三角恒等式总体要求是：通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密．[跟进训练]2．证明：＝.[证明]　原式＝＝＝＝＝.∴原式成立．1．本节学习了积化和差公式、和差化积公式，一定要清楚这些公式的形式特征，理解公式间的关系．2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin Acos B． (　　)(2)sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos Asin B． (　　)(3)cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos Acos B． (　　)(4)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin Acos B． (　　)[提示]　(1)正确；(2)正确；(3)正确；(4)错误，cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin Asin B．[答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×2．cos 72°－cos 36°的值为(　　)A．3－2　　　　　 B．C．－ D．3＋2C　[原式＝－2sinsin＝－2sin 54°·sin 18°＝－2cos 36°cos 72°＝－2·＝－＝－＝－.]3．sin 37.5° cos 7.5°等于(　　)A． B．C． D．C　[sin 37.5 °cos 7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝.故选C．]4．求函数y＝sinsin的最小正周期．[解]　f(x)＝sincos x＝＝sin＋，∴最小正周期T＝＝π.