数学必修 第二册5.1 直线与平面垂直第2课时学案

第2课时　直线与平面垂直的判定

直线与平面垂直的判定定理 

思考：1.若把定理中“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？

提示：当这两条直线平行时，直线可与平面相交，但不一定垂直．

2．如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？

提示：垂直．

1．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)

A．平行　　　　　 B．垂直

C．相交 D．不确定

B　[由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB．]

2．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是(　　)

A．平行 B．垂直

C．在平面α内 D．无法确定

D　[当平面α内的两条直线相交时，直线l⊥平面α，即l与α相交，当平面α内的两直线平行时，l⊂α或l∥α或l与α垂直或l与α斜交．]

3．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________．

a，b相交　[由线面垂直的判定定理可知，需添加的一个条件是直线a，b相交．]

【例1】　下列说法正确的有________(填序号)．

①垂直于同一条直线的两条直线平行；

②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；

③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；

④若直线l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．

②　[因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．由线面垂直的定义可得，②正确．

因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．

如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确．]

1对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.

2判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.

1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)

A．平面OAB　　　　　 B．平面OAC

C．平面OBC D．平面ABC

C　[∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC．]

【例2】　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．

(1)求证：AN⊥平面PBM.

(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB．

[证明]　(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.

又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.

又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.

又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.

又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.

(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB．

又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.

又NQ⊂平面ANQ，∴NQ⊥PB．

利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤

①在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直；

②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；

③根据判定定理得出结论.

2．如图所示，Rt△ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．

[证明]　(1)∵SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC．

在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又SA＝SB，

∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD．

又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC．

(2)∵BA＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC．

又由(1)知SD⊥BD，

于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线．

∴BD⊥平面SAC．

[探究问题]

1．我们知道，求线面角的关键是找到平面的垂线并作出线面角，那么如何寻找平面的垂线？

提示：根据直线与平面垂直的判定定理，和平面内两条相交直线都垂直的直线就是该平面的垂线．

2．求斜线和平面所成的角时，一般要过斜线上一点作平面的垂线，那么这斜线上的一点应该如何选取？

提示：斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．

【例3】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小．

[思路点拨]　

→

→→

[解]　如图，连接A1D，设A1D∩AD1＝O，连接BO，

因为A1D⊥AD1，A1D⊥AB，AD1∩AB＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，

∴A1B在平面ABC1D1内的投影为OB，∴A1B与平面ABC1D1所成的角为∠A1BO.

∵A1O＝A1B，∴∠A1BO＝30°.

求直线与平面所成角

1求解步骤：

①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.

②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的投影，斜线与其投影所成的锐角或直角即为所求的角.

③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.

2从求直线与平面所成角的步骤看，可以归纳为作、证、求三个环节，作、证充分体现了逻辑推理的数学核心素养，而求又突出了数学运算的素养.

1．直线和平面垂直的判定方法：

(1)利用线面垂直的定义；

(2)利用线面垂直的判定定理；

(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.

2．线线垂直的判定方法：

(1)异面直线所成的角是90°；

(2)线面垂直，则线线垂直．

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α． (　　)

(2)若a⊥b，b⊥α，则a∥α．  (　　)

(3)若直线l与平面四边形的两边所在的直线垂直，则l就和这个平面垂直．

  (　　)

[提示]　(1)错误．直线l与平面α可能平行，也可能相交但不垂直．

(2)错误．a也可能在平面α内．

(3)错误．若平面四边形的两条边平行，则不能保证l和这个平面垂直．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是(　　)

A．α∥β，且m⊂α　　 B．m∥n，且n⊥β

C．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥β

B　[A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，符合题意；C、D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意，故选B．]

3．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．

①③④　[根据直线与平面垂直的判定定理，知平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直．而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．故填①③④.]

4．如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝. 求证：BD⊥平面ACD．

[证明]　如图，取CD的中点为G，连接EG，FG.

又∵E，F分别为AD，BC的中点，∴FG∥BD，EG∥AC．

∵AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.

∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2，∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.

∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD．

又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD．