高中第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.1 不等式及其性质第1课时导学案及答案

2.2.1　不等式及其性质

第1课时

学习目标

1.使学生能在实际问题中找到不等关系,并能列出不等式和不等式组,抽象成数学问题;

2.引导学生运用对比联想,得到不等式的简单性质,并学会用综合法证明不等式;

3.使学生掌握“作差法”比较两个数或两个代数式的大小;

4.让学生对不等式性质进行直观解释和逻辑证明,逐步提升学生的代数推理能力,发展直观想象和逻辑推理素养.

自主预习

1.任意给两个实数a,b,那么a≥b⇔　　　　　. 

2.实数大小比较　　　　　　　　　符号表示

如果a-b是正数,那么　　　　  a-b>0⇔a>b;

如果a-b等于0,那么　　　　  a-b=0⇔a=b;

如果a-b是负数,那么　　　　, 

反之也成立.a-b<0⇔a<b.

3.不等式的性质

性质1　　　　　　　　　推论1　　　　　　　 

性质2　　　　　　  推论2　　　　　　 

性质3　　　　　　  推论3　　　　　　 

性质4　　　　　　  推论4　　　　　　 

性质5　　　　　　  推论5　　　　　　 

课堂探究

例1　比较x2-x和x-2的大小.

跟踪训练1　若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是(　　)

A.f(x)<g(x) B.f(x)=g(x)

C.f(x)>g(x) D.随x值变化而变化

例2　求证:

如果a+b>c,则a>c-b.

跟踪训练2

1.如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.

2.如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.

核心素养专练

1.对于实数a,b,c,有下列说法,其中正确选项是 (　　)

A.若a>b,则ac<bc 

B.若ac2>bc2,则a>b

C.若a<b<0,则a2>ab>b2 

D.若a>b,>,则a>0,b<0

2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是 (　　)

A.A≤B B.A≥B 

C.A<B或A>B D.A>B

3.已知x<1,比较x3-1与2x2-2x的大小.

4.若bc-ad≥0,bd>0,求证:≤.

参考答案

自主预习

1.a≤b　2.a>b,a=b,a<b

3.性质1　如果a>b,那么a+c>b+c

推论1　如果a+b>c那么a>c-b

性质2　如果a>b,c>0,那么ac>bc

推论2　如果a>b,c>d,那么a+c>b+d

性质3　如果a>b,c<0,那么ac<bc

推论3　如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd

性质4　如果a>b,b>c,那么a>c

推论4　如果a>b>0,那么an≥bn(n∈N,n>1)

性质5　a>b⇔b<a

推论5　如果a>b>0,那么>

课堂探究

例1　解:因为

(x2-x)-(x-2)

=x2-2x+2

=(x-1)2+1,

又因为(x-1)2≥0,所以(x-1)2+1≥1>0,

所以(x2-x)-(x-2)>0,

所以x2-x>x-2.

跟踪训练1　C

解析:f(x)-g(x)=(3x2-x+1)-(2x2+x-1)

=x2-2x+2=(x-1)2+1>0,

所以f(x)>g(x).故选C.

例2　证明:(方法一)“作差”

a-(c-b)=(a+b)-c

因为a+b>c,

所以(a+b)-c>0,

所以a>c-b.

(方法二)根据“性质1”

在a+b>c两边同时加上-b,不等式依然成立.

即a+b+(-b)>c+(-b),

即a>c-b.

跟踪训练2　

1.证明:(方法一)“作差”

(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d),

因为a>b,c>d,

所以a-b>0,c-d>0,

所以a+c>b+d.

(方法二)根据“性质1”和“性质4”.

由“性质1”,有

a>b⇒a+c>b+c,

c>d⇒c+b>d+b,

由“性质4”(传递性),

有a+c>b+d.

2.证明:(方法一)“作差”

ac-bd=a(c-d)+d(a-b),

因为a>b>0,c>d>0,

所以a-b>0,c-d>0,

所以ac>bd.

(方法二)根据“性质2”和“性质4”.

由“性质2”,有

a>b,c>0⇒a·c>b·c,

c<d,b>0⇒c·b>d·b,

由“性质4”(传递性),

有ac>bd.

核心素养专练

1.B

2.B　解析:因为A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=+b2≥0,所以A≥B.

3.解:x3-1-(2x2-2x)

=x3-2x2+2x-1

=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2

=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)·,

因为x<1,所以x-1<0.

又因为+>0,

所以(x-1)<0,

所以x3-1<2x2-2x.

4.证明:因为bc-ad≥0,

所以ad≤bc.

因为bd>0,

所以≤,

所以+1≤+1,

所以≤.

学习目标

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.

2.掌握比较实数大小的基本方法—作差法,掌握作差法比较代数式大小的基本步骤.

3.理解不等式的性质,能利用不等式的性质证明简单的不等式及比较大小.

自主预习

1.不等关系与不等式

不等式的定义: 

　. 

在上述不等式符号中,要特别注意“≥”“≤”.

任意给定两个实数a,b,则a≥b⇔ 

a≤b⇔ 

2.两实数(代数式)大小比较

实数与数轴上的点　　　　　,即　 

　. 

点的坐标的定义:　. 

另外,数轴上的点往数轴的正方向运动时,它所对应的实数会　　　　　.一个数加上一个正数,相当于数轴上对应的点向　　　　　方向移动了一段距离;一个数减去一个正数(即加上一个负数),相当于数轴上对应的点向　　　　　方向移动了一段距离. 

由此可以看出,要比较两个实数a,b的大小,只需考察　　　　　与　　　　　的相对大小就可以了,即 

　　　　　　　　　　⇔　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　⇔　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　⇔　　　　　　　　　　 

3.不等式的性质

性质1　 

性质2　 

性质3　 

性质4　 

性质5　 

课堂探究

[合作探究1]5≥3,2≥2,2≤2这三个命题都是真命题吗?

[合作探究2]结合图1找到a<b的等价条件.

图1

[要点归纳1]

[典型例题1]比较x2-x和x-2的大小.

[要点归纳2]

性质1　如果a>b,那么a+c>b+c.

图2

[思考](1)结合图2利用数轴,给出性质1的直观解释;(2)证明性质1.

性质2　如果a>b,c>0,那么ac>bc.

性质3　如果a>b,c<0,那么ac<bc.

[试一试]请参考性质1的证明方法,尝试证明性质2,3.

性质4　如果a>b,b>c,则a>c.

图3

[思考](1)结合图3利用数轴,给出性质4的直观解释;(2)证明性质4.

性质5　a>b⇔b<a.

[试一试](1)利用数轴,给出性质5的直观解释;(2)证明性质5.

[合作探究3]用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空:

(1)a>b是a+c>b+c的　　　　　条件; 

(2)如果c>0,则a>b是ac>bc的　　　　　条件; 

(3)如果c<0,则a>b是ac<bc的　　　　　条件; 

(4)a>b且b>c是a>c的　　　　　条件. 

[评价反馈]

1.判断下列命题的真假:

(1)当x=3时,x≥3;

(2)当x>3时,x≥3;

(3)当x≥3时,x=3;

(4)当x≥3且x≤3时,x=3.

2.填空:

(1)x+5　　　　　x+2; 

(2)a<b⇒3a　　　　　3b; 

(3)a<b⇒-5a　　　　　-5b; 

(4)当c　　　　　0时,a>b⇒ac<bc; 

(5)a>b⇒a-1　　　　　b-2. 

3.已知t=a+4b,s=a+b2+4,则t和s的大小关系是 (　　)

A.t>s B.t≥s C.t<s D.t≤s

核心素养专练

1.b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克糖(m>0),则糖水变甜了,根据这个事实提炼的一个不等式为(　　)

A.< B.>

C.< D.>

2.设a=3x2-x+1,b=2x2+x,x∈R,则(　　)

A.a>b B.a<b 

C.a≥b D.a≤b

3.(多选)下列说法正确的是(　　)

A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000”

B.小明的身高x cm,小华的身高y cm,则小明比小华矮表示为“x>y”

C.某变量x至少是a可表示为“x≥a”

D.不等式x≥2的含义是指x不小于2

4.下列命题中正确的有　　　　　.(填序号) 

(1)不等式x≥3的含义是指x不小于3.

(2)若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确.

(3)若a>b,则ac>bc一定成立.

5.当m>1时,m3与m2-m+1的大小关系为　　　　　. 

6.某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下:

　　今制定计划欲使总产值最高,则A类产品应生产　　　　　件,最高产值为　　　　　万元. 

7.已知x∈R且x≠-1,比较与1-x的大小.

参考答案

自主预习

略

课堂探究

略

核心素养专练

1.B　[糖水变甜了,说明糖水中糖的浓度增加了,故>.]

2.C　[∵a-b=x2-2x+1=(x-1)2≥0,∴a≥b.]

3.CD　[对于A,x应满足x≤2 000,故A错;对于B,x,y应满足x<y,故B不正确;C正确;D正确.]

4.(1)(2)　[(1)正确.不等式x≥3表示x>3或x=3,即x不小于3,故此说法是正确的.(2)正确.不等式a≤b表示a<b或a=b.故若a<b或a=b中有一个正确,则a≤b一定正确.(3)错误.ac-bc=(a-b)c,这与c的符号有关.]

5.m3>m2-m+1　[∵m3-(m2-m+1)=m3-m2+m-1=m2(m-1)+(m-1)=(m-1)(m2+1).

又∵m>1,故(m-1)(m2+1)>0.∴m3>m2-m+1.]

6.20　330　[设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件,则+≤20,解得x≤20.

由题意,得总产值y=7.5x+6×(50-x)=300+1.5x≤330,

当且仅当x=20时,y取最大值330.

所以应开发A类电子器件20件,能使产值最高,为330万元.]

7.解:∵-(1-x)==,

当x=0时,=1-x;

当1+x<0,即x<-1时,<0,

∴<1-x;

当1+x>0且x≠0,即-1<x<0或x>0时,>0,

∴>1-x.