高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系学案设计

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系

素养目标·定方向

必备知识·探新知

基础知识　　

1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解集

思考1：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝适合用于所有的一元二次方程吗？

提示：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式只适合于方程有根时使用，即：当根的判别式Δ＝b2－4ac≥0时适用．

2．一元二次方程根与系数的关系

若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1＋x2＝－；x1x2＝.

思考2：利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？

提示：先把方程化为ax2＋bx＋c＝0的形式，然后验证，是否满足a≠0，Δ＝b2－4ac≥0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题．

基础自测　　

1．用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为(　C　)

A．(x＋1)2＝6　 B．(x＋2)2＝9

C．(x－1)2＝6　 D．(x－2)2＝9

解析：因为x2－2x－5＝x2－2x＋1－6＝0，所以(x－1)2＝6.

2．解下列方程，最适合用公式法求解的是(　D　)

A．(x＋2)2－16＝0　 B．(x＋1)2＝4

C．x2＝8　 D．x2－3x－5＝0

解析：公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程．

3．一元二次方程x2－x＝的根的判别式的值是__3__.

4．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，则k的取值范围是__(－∞，4]__.

解析：因为一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个实数根，所以Δ＝16－4k≥0，即k≤4.

5．已知一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＋＝__－2__.

解析：因为x1，x2是方程x2－2x－1＝0的两个根，所以x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以＋＝＝－2.

关键能力·攻重难

类型　求一元二次方程的解集

┃┃典例剖析__■

典例1　用适当的方法求下列方程的解集．

(1)x2－2x－8＝0；(2)2x2－7x＋6＝0；

(3)(x－1)2－2x＋2＝0.

思路探究：根据方程的特征，合理选用配方法、公式法或因式分解法解方程．

解析：(1)方法一：移项，得x2－2x＝8，

配方，得(x－1)2＝9，由此可得x－1＝±3，

∴x1＝4，x2＝－2，∴方程的解集为{－2,4}．

方法二：原方程可化为(x－4)(x＋2)＝0，

∴x－4＝0或x＋2＝0，∴x1＝4，x2＝－2，

∴方程的解集为{－2,4}．

(2)原方程可化为(x－2)(2x－3)＝0，

∴x－2＝0或2x－3＝0，∴x1＝2，x2＝，

∴方程的解集为{2，}．

(3)原方程可化为(x－1)2－2(x－1)＝0.

因式分解，得(x－1)(x－1－2)＝0，

∴x－1＝0或x－3＝0，

∴x1＝1，x2＝3，∴方程的解集为{1,3}．

归纳提升：一元二次方程的常见解法

(1)开平方法：如果方程能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±或mx＋n＝±，从而通过降次转化为一元一次方程．

(2)配方法：

用配方法解一元二次方程的一般步骤是：

①化二次项系数为1：用二次项系数去除方程两边，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式；

②移项：把常数项移至方程右边，将方程化为x2＋px＝－q的形式；

③配方：方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”，使方程左边成为含有未知数的完全平方形式，右边是一个常数，把方程化为(x＋m)2＝n(n≥0)的形式；

④用直接开平方法解变形后的方程．

(3)因式分解法

①平方差公式法；

②完全平方公式法；

③提取公因式法；

④十字相乘法．

(4)公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为：当b2－4ac≥0时，x1，x2＝.

┃┃对点训练__■

1．求下列方程的解集：

(1)4x2－4x－1＝0；(2)x2－7x＋10＝0.

解析：(1)方程的两边同时加上2，得4x2－4x＋1＝2，

即(2x－1)2＝2，∴2x－1＝±，

∴x1＝，x2＝.

∴方程的解集为{，}．

(2)∵x2－7x＋10＝(x－2)(x－5)，

∴原方程可化为(x－2)(x－5)＝0，

从而可知x－2＝0或x－5＝0，

即x＝2或x＝5.∴方程的解集为{2,5}．

类型　一元二次方程根与系数关系的应用

┃┃典例剖析__■

典例2　已知关于x的一元二次方程x2－mx－3＝0.

(1)对于任意的实数m，判断方程根的情况，并说明理由；

(2)若x＝－1是这个方程的一个根，求m的值和方程的另一个根．

思路探究：(1)根据判别式的意义判断根的情况；(2)根据根与系数之间的关系求方程的另一个根．

解析：(1)Δ＝m2－4×1×(－3)＝m2＋12，

∵m2≥0，∴Δ>0，

∴方程有两个不相等的实根．

(2)设方程的另一个根为x2，

∴－1×x2＝－3，解得x2＝3.

∵－1＋3＝m，∴m＝2.

归纳提升：一元二次方程根的情况

1．一元二次方程的判别式

方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为实数，且a≠0)：

当Δ＝b2－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ＝b2－4ac<0时，方程没有实数根．

2．一元二次方程的根与系数的关系

(1)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两实数根分别为x1，x2，则有：x1＋x2＝－，x1x2＝.

(2)以两个实数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.

┃┃对点训练__■

2．(1)已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(　A　)

A．x2－7x＋12＝0　 B．x2＋7x＋12＝0

C．x2＋7x－12＝0　 D．x2－7x－12＝0

(2)已知方程x2－5x－7＝0的两根分别为x1，x2，求下列式子的值：

①x＋x；②＋.

解析：(1)因为一元二次方程中，

x1＋x2＝7，x1x2＝12，

又因为x1＋x2＝－，x1x2＝，

令a＝1，则b＝－7，c＝12，

所以原方程为：x2－7x＋12＝0.

(2)由一元二次方程根与系数的关系，

得x1＋x2＝5，x1·x2＝－7.

①x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝52－2×(－7)＝25＋14＝39.

②＋＝＝－.

易混易错警示　忽略Δ＝b2－4ac≥0而导致错误

┃┃典例剖析__■

典例3　已知关于x的方程x2－(k－1)x＋k＋1＝0的两个实数根的平方和等于4，求实数k的值．

错因探究：本题在求出k＝5或k＝－1后，容易忽略对Δ＝b2－4ac的检验．

解析：设方程的两实根分别为x1，x2，由根与系数的关系得，x1＋x2＝k－1，x1·x2＝k＋1.

又x＋x＝4，即(x1＋x2)2－2x1x2＝4，

∴(k－1)2－2(k＋1)＝4，即k2－4k－5＝0，

∴k＝5或k＝－1.

当k＝5时，b2－4ac＝[－(k－1)]2－4(k＋1)＝－8<0，不符合题意，舍去；

当k＝－1时，b2－4ac＝[－(k－1)]2－4(k＋1)＝4>0，∴k的值为－1.

误区警示：一元二次方程根与系数的关系是以一元二次方程有两个实数根为前提条件的．

利用根与系数的关系解答问题时，只有在Δ≥0的前提下才有意义，所以求得的字母的值要代入Δ＝b2－4ac来验证．

学科核心素养　运用一元二次方程根与系数关系的变形公式解题

┃┃典例剖析__■

与一元二次方程两根有关的几个代数式的变形：

(1)x＋x＝(x＋2x1x2＋x)－2x1x2＝(x1＋x2)2－2x1x2；

(2)＋＝；

(3)＋＝＝；

(4)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；

(5)|x1－x2|＝＝；

(6)(x1＋k)(x2＋k)＝x1x2＋k(x1＋x2)＋k2.

[特别提醒]　应用这几个代数式的变形进行求解时，勿忘记两个前提条件：(1)方程是一元二次方程，即二次项系数不为0；(2)方程有实数根，即Δ≥0.

典例4　已知：关于x的方程x2－(m－1)x－2m2＋m＝0.

(1)求证：无论m为何实数，方程总有实数根；

(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且x＋x＝2，求m的值．

思路探究：(1)证明根的判别式Δ≥0，即可证明方程有实数根；(2)由根与系数的关系把x＋x用含有字母m的代数式表示出来，然后组成新的含有m的一元二次方程，求解即可得m.

解析：(1)证明：∵Δ＝[－(m－1)]2－4×1×(－2m2＋m)＝(3m－1)2≥0，

∴无论m取何值，方程总有实数根．

(2)由(1)可知无论m取何值，方程总有实数根，由方程的根与系数的关系可得x1＋x2＝m－1，x1x2＝－2m2＋m，

∵x＋x＝2，

∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(m－1)2－2(－2m2＋m)＝5m2－4m＋1＝2，

∴5m2－4m－1＝0，即(m－1)(5m＋1)＝0，

解得m1＝1，m2＝－，即m的值为－或1.

课堂检测·固双基

1．已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，则m的值为(　A　)

A．2　 B．0

C．0或2　 D．0或－2

解析：因为x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一个解，所以4－4m＋4＝0，所以m＝2.

2．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(　C　)

A．a>2　 B．a<2

C．a<2且a≠1　 D．a<－2

解析：Δ＝4－4(a－1)＝8－4a>0，得a<2.又a－1≠0，所以a<2且a≠1.

3．已知关于x的一元二次方程2x2－3kx＋4＝0的一个根是1，则k＝__2__.

解析：依题意，得2×12－3k×1＋4＝0，即2－3k＋4＝0.解得，k＝2.

4．若x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝__－1__，x＋x＝__3__.

解析：∵x1，x2是方程x2＋x－1＝0的两个根，

∴x1＋x2＝－＝－＝－1，

x1·x2＝＝＝－1，

∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝(－1)2－2×(－1)＝1＋2＝3.

5．已知关于x的方程x2－2x＋m－1＝0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

(2)若方程有一个实数根是5，求此方程的另一个根．

解析：(1)∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＝(－2)2－4(m－1)>0，

即4－4m＋4>0，解得m<2.

(2)设方程的另一个实数根为x2，

∵5＋x2＝2，∴x2＝－3.

∴当方程有一个实数根是5时，另一个根为－3.