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高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第3课时学案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第3课时学案，共10页。学案主要包含了例2-1，例2-2，例2—3等内容，欢迎下载使用。
3.1.3 函数的奇偶性
第3课时
学习目标
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.
课堂探究
题型 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例1 若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.f-32
A.f(-n)
自变量需在定义域内,若f(x)为偶函数,可利用f(x)=f(|x|),避免讨论.
例2 (1)设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)
【训练2】已知奇函数y=f(x),x∈(-1,1),且f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0.
方向3 利用函数奇偶性求参数(值)
例3 (1)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
(2)已知函数f(x)=x2+x,x≤0,ax2+bx,x>0为奇函数,则a+b= .
【训练3】(1)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图像如图所示,则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是 .
核心素养专练
1.若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,则a等于( )
A.12 B.23 C.34 D.1
2.若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数,则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.[1,+∞)
3.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是( )
A.f(-π)>f(3)>f(-2)
B.f(-π)>f(-2)>f(3)
C.f(3)>f(-2)>f(-π)
D.f(3)>f(-π)>f(-2)
4.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值是4,最小值是-1,则2f(-6)+f(-3)= .
5.已知函数f(x)=x2+4x+3.
(1)若g(x)=f(x)+bx为偶函数,求b的值;
(2)求函数f(x)在[-3,3]上的最大值.
参考答案
课堂探究
题型 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例1 解析:∵对任意实数x总有f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,
∴f(2)=f(-2).
又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,-2<-32<-1.
∴f(2)
【训练1】解析:∵对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,
∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,
即x2>x1,则f(x2)>f(x1),
若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,
即x2
∵f(x)在R上是偶函数,
∴函数f(x)在[0,+∞)上为单调递减函数,
则f(n+1)
例2 解:(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上是减函数.
所以不等式f(1-m)m,-3≤m≤3,-3≤1-m≤3,
解得-2≤m<12,
即m的取值范围为-2,12.
(2)因为g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时为减函数,
所以g(1-m)≤g(m)⇔g(|1-m|)|m|⇒-1≤m≤3,-2≤m≤2,(1-m)2>m2⇒-1≤m<12.
即m的取值范围为m-1≤m<12.
【训练2】解析:因为y=f(x),x∈(-1,1)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(1-x)+f(1-3x)<0⇔f(1-x)<-f(1-3x)⇔f(1-x)
所以f(1-x)3x-1⇔0
例3 解析:(1)∵f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x),
即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4),
整理,得2a=8,∴a=4.
(2)由题意知f(2)=-f(-2),f(1)=-f(-1),
则4a+2b=-2,a+b=0,所以a=-1,b=1.
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,
故a+b=0.
答案:(1)4 (2)0
【训练3】解析:(1)∵f(x)为奇函数,f(1)=-1,
∴f(-1)=1.
∵-1≤f(x-2)≤1,
∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴-1≤x-2≤1,
∴1≤x≤3.故选D.
(2)设h(x)=f(x)g(x),
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
∴h(x)是奇函数,
补全f(x),g(x)的图像(图略),由图像可知:
当-40,g(x)<0,此时h(x)<0;
当00,此时h(x)<0,
∴h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
故答案为(-4,-2)∪(0,2).
答案:(1)D (2)(-4,-2)∪(0,2)
核心素养专练
1.A 2.A 3.A 4.-15
5.解:(1)∵g(x)=f(x)+bx=x2+(b+4)x+3为偶函数,且它的图像的对称轴为x=-b+42,
故有b+42=0,解得b=-4.
(2)函数f(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1的对称轴为x=-2,
在[-3,3]上,当x=-2时,函数取得最小值为-1,
当x=3时,函数取得最大值为24.
学习目标
课标要求
素养要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.利用奇偶性求函数最值、解析式、比较函数值大小、解不等式等核心问题.
1.通过函数奇偶性的应用,熟悉转化、对称等思考方法,提升逻辑推理素养.
2.通过函数单调性和奇偶性的综合应用求解相关最值、比较大小等问题提升逻辑推理,数学运算素养.
自主预习
1.函数的奇偶性与单调性的性质
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a
在公共定义域内:
(1)两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数;
(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;
(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
[自主判断]
若奇函数f(x)在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.( )
[自主训练]
定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则( )
A.f(3)
题型一 利用奇偶性研究函数的性质
例1 研究函数f(x)=x2-2|x|+1的单调性,并求出f(x)的最值.
【训练1】研究函数f(x)=x+1x的单调性,并写出函数的值域.
题型三 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例2—1 若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.f-32
自变量需在定义域内,若f(x)为偶函数,可利用f(x)=f(|x|),避免讨论
例2—2 (1)设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)
方向3 利用函数奇偶性求参数(值)
求值时也可以利用特殊值
例2—3 (1)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
(2)已知函数f(x)=x2+x,x≤0,ax2+bx,x>0为奇函数,则a+b= .
【训练2】(1)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图像如图所示,则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是 .
核心素养
一、素养落地
1.通过本节课的学习,提升数学运算和逻辑推理素养.
2.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程,利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等的核心问题是转化.
3.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.
二、素养训练
1.设函数y=f(x)是偶函数,若f(-3)+f(-1)-5=f(3)+f(1)+a,则a= .
2.若f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为 .
课堂练习
1.如果奇函数f(x)在区间[-3,-1]上是增函数且有最大值5,那么函数f(x)在区间[1,3]上是( )
A.增函数且最小值为-5
B.增函数且最大值为-5
C.减函数且最小值为-5
D.减函数且最大值为-5
2.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,若f(a)≥f(-2),则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪[-2,+∞)
D.[-2,2]
3.设定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是减函数,且f(2-a)+f(1-a)<0,则a的取值范围是 .
4.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的排列是 .
核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.若偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则a=f(-2),b=fπ2,c=f32的大小关系是( )
A.b
A.最大值-14 B.最大值14
C.最小值-14 D.最小值14
二、填空题
3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是增函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是 .
三、解答题
4.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.
(1)求b值;
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
能力提升
5.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f12=25.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 解:f(x)的定义域为R,
f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),
∴f(x)为偶函数,且f(x)=(x-1)2,x≥0,(x+1)2,x<0.
当x≥0时,f(x)=(x-1)2,由二次函数的性质易得,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
f(x)min=f(-1)=f(1)=0,f(x)max不存在.
【训练1】解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-1x=-x+1x=-f(x),f(x)为奇函数.
当x∈(0,+∞)时,由均值不等式可知f(x)=x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1时等号成立,即f(x)∈[2,+∞),
同理可知当x∈(-∞,0)时,f(x)∈(-∞,-2].
下面证明当x∈(0,1]时,f(x)单调递减.
任取x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
则ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1=x2+1x2-x1+1x1x2-x1
=(x2-x1)1-1x1x2x2-x1=1-1x1x2.
∵x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
∴01,1-1x1x2<0,即ΔfΔx<0,
∴f(x)在(0,1]上单调递减.
类似地,可以证明f(x)在[1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为奇函数,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
综上,f(x)在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增,在[-1,0),(0,1]上单调递减,f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
【例2-1】解析:∵对任意实数x总有f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,∴f(2)=f(-2).
又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,-2<-32<-1.
∴f(2)
【例2-2】解:(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上是减函数.
所以不等式f(1-m)m,-3≤m≤3,-3≤1-m≤3,
解得-2≤m<12,即m的取值范围为-2,12.
(2)因为g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时为减函数,
所以g(1-m)≤g(m)⇔g(|1-m|)|m|⇒-1≤m≤3,-2≤m≤2,(1-m)2>m2⇒-1≤m<12.
即m的取值范围为m-1≤m<12.
【例2—3】解析:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),
即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4),
整理,得2a=8,∴a=4.
(2)由题意知f(2)=-f(-2),f(1)=-f(-1),则4a+2b=-2,a+b=0,
所以a=-1,b=1.
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,
故a+b=0.
答案:(1)4 (2)0
【训练2】解析:(1)∵f(x)为奇函数,f(1)=-1,
∴f(-1)=1.
∵-1≤f(x-2)≤1,∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故选D.
(2)设h(x)=f(x)g(x),
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
∴h(x)是奇函数,
补全f(x),g(x)的图像(图略),由图像可知:
当-40,g(x)<0,此时h(x)<0;
当00,此时h(x)<0,
∴h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
故答案为(-4,-2)∪(0,2).
答案:(1)D (2)(-4,-2)∪(0,2)
核心素养
素养训练
1.解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),故由题意知a=-5.
答案:-5
2.解析:根据题意画出f(x)的大致图像:
由图像可知-2
课堂练习
1.答案:A
解析:f(x)为奇函数,∴f(x)在[1,3]上的单调性与[-3,-1]上一致且f(1)为最小值,
又已知f(-1)=5,∴f(-1)=-f(1)=5,
∴f(1)=-5,故选A.
2.答案:D
解析:由f(a)≥f(-2)得f(|a|)≥f(2),
∴|a|≤2,∴-2≤a≤2.
3.答案:1,32
解析:∵f(2-a)+f(1-a)<0,
∴f(2-a)<-f(1-a)=f(a-1),
又f(x)在(-1,1)上单调递减,
∴2-a>a-1,-1<2-a<1,-1
4.答案:f(-2)
即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,
∴m=0,即f(x)=-x2+2.
∵f(x)的图像开口向下,对称轴为y轴,在[0,+∞)上单调递减,
∴f(2)
基础达标
一、选择题
1.解析:由f(x)为偶函数,得a=f(-2)=f(2).
又∵2<32<π2,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(2)
2.解析:法一 当x<0时,f(x)=x2+x=x+122-14,
所以f(x)有最小值-14.
因为f(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)有最大值14.
法二 当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).
又f(-x)=-f(x),
所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-x-122+14,
所以当x>0时,f(x)有最大值14.故选B.
答案:B
二、填空题
3.解析:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.又因为f(2)=0,所以f(x)<0⇔f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2.
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
三、解答题
4.解:(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
所以f(0)=0,解得b=0(经检验符合题意).
(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,又f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数.
因为f(m)+f(m-1)>0,
所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),所以m-1>-m.①
又需要不等式f(m)+f(m-1)>0在函数f(x)定义域内有意义,所以-2≤m≤2,-2≤m-1≤2②
解①②得12
能力提升
5.解:(1)由题意,得f(0)=0,f12=25,∴a=1,b=0,
故f(x)=x1+x2(经检验符合题意).
(2)任取x1,x2∈(-1,1)且x1≠x2,
则ΔfΔx=f(x1)-f(x2)x1-x2=x11+x12-x21+x22x1-x2
=1-x1x2(1+x12)(1+x22).
∵x1,x2∈(-1,1),
∴-1
∴ΔfΔx>0,∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)由f(x)为奇函数及f(t-1)+f(t)<0
得f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴-1
3.1.3 函数的奇偶性
第3课时
学习目标
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.
课堂探究
题型 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例1 若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.f-32
A.f(-n)
自变量需在定义域内,若f(x)为偶函数,可利用f(x)=f(|x|),避免讨论.
例2 (1)设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)
【训练2】已知奇函数y=f(x),x∈(-1,1),且f(x)在(-1,1)上是减函数,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0.
方向3 利用函数奇偶性求参数(值)
例3 (1)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
(2)已知函数f(x)=x2+x,x≤0,ax2+bx,x>0为奇函数,则a+b= .
【训练3】(1)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图像如图所示,则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是 .
核心素养专练
1.若函数f(x)=x(2x+1)(x-a)为奇函数,则a等于( )
A.12 B.23 C.34 D.1
2.若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数,则函数f(x)的单调递增区间为( )
A.(-∞,0] B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.[1,+∞)
3.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是( )
A.f(-π)>f(3)>f(-2)
B.f(-π)>f(-2)>f(3)
C.f(3)>f(-2)>f(-π)
D.f(3)>f(-π)>f(-2)
4.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值是4,最小值是-1,则2f(-6)+f(-3)= .
5.已知函数f(x)=x2+4x+3.
(1)若g(x)=f(x)+bx为偶函数,求b的值;
(2)求函数f(x)在[-3,3]上的最大值.
参考答案
课堂探究
题型 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例1 解析:∵对任意实数x总有f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,
∴f(2)=f(-2).
又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,-2<-32<-1.
∴f(2)
【训练1】解析:∵对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,
∴若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)>0,
即x2>x1,则f(x2)>f(x1),
若x2-x1<0,则f(x2)-f(x1)<0,
即x2
∵f(x)在R上是偶函数,
∴函数f(x)在[0,+∞)上为单调递减函数,
则f(n+1)
例2 解:(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上是减函数.
所以不等式f(1-m)
解得-2≤m<12,
即m的取值范围为-2,12.
(2)因为g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时为减函数,
所以g(1-m)≤g(m)⇔g(|1-m|)
即m的取值范围为m-1≤m<12.
【训练2】解析:因为y=f(x),x∈(-1,1)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(1-x)+f(1-3x)<0⇔f(1-x)<-f(1-3x)⇔f(1-x)
所以f(1-x)
例3 解析:(1)∵f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x),
即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4),
整理,得2a=8,∴a=4.
(2)由题意知f(2)=-f(-2),f(1)=-f(-1),
则4a+2b=-2,a+b=0,所以a=-1,b=1.
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,
故a+b=0.
答案:(1)4 (2)0
【训练3】解析:(1)∵f(x)为奇函数,f(1)=-1,
∴f(-1)=1.
∵-1≤f(x-2)≤1,
∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴-1≤x-2≤1,
∴1≤x≤3.故选D.
(2)设h(x)=f(x)g(x),
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
∴h(x)是奇函数,
补全f(x),g(x)的图像(图略),由图像可知:
当-4
当0
∴h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
故答案为(-4,-2)∪(0,2).
答案:(1)D (2)(-4,-2)∪(0,2)
核心素养专练
1.A 2.A 3.A 4.-15
5.解:(1)∵g(x)=f(x)+bx=x2+(b+4)x+3为偶函数,且它的图像的对称轴为x=-b+42,
故有b+42=0,解得b=-4.
(2)函数f(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1的对称轴为x=-2,
在[-3,3]上,当x=-2时,函数取得最小值为-1,
当x=3时,函数取得最大值为24.
学习目标
课标要求
素养要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.利用奇偶性求函数最值、解析式、比较函数值大小、解不等式等核心问题.
1.通过函数奇偶性的应用,熟悉转化、对称等思考方法,提升逻辑推理素养.
2.通过函数单调性和奇偶性的综合应用求解相关最值、比较大小等问题提升逻辑推理,数学运算素养.
自主预习
1.函数的奇偶性与单调性的性质
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a
在公共定义域内:
(1)两个奇函数的和函数是奇函数,两个奇函数的积函数是偶函数;
(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;
(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
[自主判断]
若奇函数f(x)在[a,b]上有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上有最小值-M.( )
[自主训练]
定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则( )
A.f(3)
题型一 利用奇偶性研究函数的性质
例1 研究函数f(x)=x2-2|x|+1的单调性,并求出f(x)的最值.
【训练1】研究函数f(x)=x+1x的单调性,并写出函数的值域.
题型三 函数奇偶性的应用
方向1 利用函数的单调性与奇偶性比较大小
例2—1 若对于任意实数x总有f(-x)=f(x),且f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.f-32
自变量需在定义域内,若f(x)为偶函数,可利用f(x)=f(|x|),避免讨论
例2—2 (1)设定义在[-3,3]上的奇函数f(x)在区间[0,3]上是减函数,若f(1-m)
方向3 利用函数奇偶性求参数(值)
求值时也可以利用特殊值
例2—3 (1)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
(2)已知函数f(x)=x2+x,x≤0,ax2+bx,x>0为奇函数,则a+b= .
【训练2】(1)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1]
C.[0,4] D.[1,3]
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),且在(-4,0]上的图像如图所示,则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是 .
核心素养
一、素养落地
1.通过本节课的学习,提升数学运算和逻辑推理素养.
2.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程,利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等的核心问题是转化.
3.对于抽象函数(未给出解析表达式的函数)可画出满足条件的示意图来帮助分析解决问题.
二、素养训练
1.设函数y=f(x)是偶函数,若f(-3)+f(-1)-5=f(3)+f(1)+a,则a= .
2.若f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为 .
课堂练习
1.如果奇函数f(x)在区间[-3,-1]上是增函数且有最大值5,那么函数f(x)在区间[1,3]上是( )
A.增函数且最小值为-5
B.增函数且最大值为-5
C.减函数且最小值为-5
D.减函数且最大值为-5
2.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是减函数,若f(a)≥f(-2),则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2]
B.[2,+∞)
C.(-∞,-2]∪[-2,+∞)
D.[-2,2]
3.设定义在(-1,1)上的奇函数f(x)是减函数,且f(2-a)+f(1-a)<0,则a的取值范围是 .
4.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的排列是 .
核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.若偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则a=f(-2),b=fπ2,c=f32的大小关系是( )
A.b
A.最大值-14 B.最大值14
C.最小值-14 D.最小值14
二、填空题
3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是增函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是 .
三、解答题
4.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.
(1)求b值;
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.
能力提升
5.已知函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f12=25.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
参考答案
自主预习
略
课堂探究
例1 解:f(x)的定义域为R,
f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),
∴f(x)为偶函数,且f(x)=(x-1)2,x≥0,(x+1)2,x<0.
当x≥0时,f(x)=(x-1)2,由二次函数的性质易得,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
f(x)min=f(-1)=f(1)=0,f(x)max不存在.
【训练1】解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-1x=-x+1x=-f(x),f(x)为奇函数.
当x∈(0,+∞)时,由均值不等式可知f(x)=x+1x≥2x·1x=2,当且仅当x=1时等号成立,即f(x)∈[2,+∞),
同理可知当x∈(-∞,0)时,f(x)∈(-∞,-2].
下面证明当x∈(0,1]时,f(x)单调递减.
任取x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
则ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1=x2+1x2-x1+1x1x2-x1
=(x2-x1)1-1x1x2x2-x1=1-1x1x2.
∵x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
∴0
∴f(x)在(0,1]上单调递减.
类似地,可以证明f(x)在[1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为奇函数,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
综上,f(x)在(-∞,-1],[1,+∞)上单调递增,在[-1,0),(0,1]上单调递减,f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
【例2-1】解析:∵对任意实数x总有f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,∴f(2)=f(-2).
又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,-2<-32<-1.
∴f(2)
【例2-2】解:(1)因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,3]上是减函数,
所以f(x)在[-3,3]上是减函数.
所以不等式f(1-m)
解得-2≤m<12,即m的取值范围为-2,12.
(2)因为g(x)在[-2,2]上为偶函数,且x≥0时为减函数,
所以g(1-m)≤g(m)⇔g(|1-m|)
即m的取值范围为m-1≤m<12.
【例2—3】解析:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),
即(x+a)(x-4)=(-x+a)(-x-4),
整理,得2a=8,∴a=4.
(2)由题意知f(2)=-f(-2),f(1)=-f(-1),则4a+2b=-2,a+b=0,
所以a=-1,b=1.
当a=-1,b=1时,经检验知f(x)为奇函数,
故a+b=0.
答案:(1)4 (2)0
【训练2】解析:(1)∵f(x)为奇函数,f(1)=-1,
∴f(-1)=1.
∵-1≤f(x-2)≤1,∴f(1)≤f(x-2)≤f(-1).
又∵f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,
∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3.故选D.
(2)设h(x)=f(x)g(x),
则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),
∴h(x)是奇函数,
补全f(x),g(x)的图像(图略),由图像可知:
当-4
当0
∴h(x)<0的解集为(-4,-2)∪(0,2).
故答案为(-4,-2)∪(0,2).
答案:(1)D (2)(-4,-2)∪(0,2)
核心素养
素养训练
1.解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),故由题意知a=-5.
答案:-5
2.解析:根据题意画出f(x)的大致图像:
由图像可知-2
课堂练习
1.答案:A
解析:f(x)为奇函数,∴f(x)在[1,3]上的单调性与[-3,-1]上一致且f(1)为最小值,
又已知f(-1)=5,∴f(-1)=-f(1)=5,
∴f(1)=-5,故选A.
2.答案:D
解析:由f(a)≥f(-2)得f(|a|)≥f(2),
∴|a|≤2,∴-2≤a≤2.
3.答案:1,32
解析:∵f(2-a)+f(1-a)<0,
∴f(2-a)<-f(1-a)=f(a-1),
又f(x)在(-1,1)上单调递减,
∴2-a>a-1,-1<2-a<1,-1
4.答案:f(-2)
即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立,
∴m=0,即f(x)=-x2+2.
∵f(x)的图像开口向下,对称轴为y轴,在[0,+∞)上单调递减,
∴f(2)
基础达标
一、选择题
1.解析:由f(x)为偶函数,得a=f(-2)=f(2).
又∵2<32<π2,f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(2)
2.解析:法一 当x<0时,f(x)=x2+x=x+122-14,
所以f(x)有最小值-14.
因为f(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)有最大值14.
法二 当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).
又f(-x)=-f(x),
所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-x-122+14,
所以当x>0时,f(x)有最大值14.故选B.
答案:B
二、填空题
3.解析:因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上是减函数.又因为f(2)=0,所以f(x)<0⇔f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2.
答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)
三、解答题
4.解:(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
所以f(0)=0,解得b=0(经检验符合题意).
(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,又f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是增函数.
因为f(m)+f(m-1)>0,
所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),所以m-1>-m.①
又需要不等式f(m)+f(m-1)>0在函数f(x)定义域内有意义,所以-2≤m≤2,-2≤m-1≤2②
解①②得12
能力提升
5.解:(1)由题意,得f(0)=0,f12=25,∴a=1,b=0,
故f(x)=x1+x2(经检验符合题意).
(2)任取x1,x2∈(-1,1)且x1≠x2,
则ΔfΔx=f(x1)-f(x2)x1-x2=x11+x12-x21+x22x1-x2
=1-x1x2(1+x12)(1+x22).
∵x1,x2∈(-1,1),
∴-1
∴ΔfΔx>0,∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)由f(x)为奇函数及f(t-1)+f(t)<0
得f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在(-1,1)上是增函数,
∴-1
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