人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第1课时学案及答案

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第1课时学案及答案，共11页。学案主要包含了尝试与发现1，尝试与发现2等内容，欢迎下载使用。

3.1.3　函数的奇偶性
第1课时

学习目标
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性.
3.学会判断函数的奇偶性.
自主预习
初中时我们学习过有关轴对称和中心对称的知识,而且已经知道,在平面直角坐标系中,点(x,y)关于y轴的对称点为(-x,y),关于原点的对称点为(-x,-y).例如,(-2,3)关于y轴的对称点为　　　　　　,关于原点的对称点为　　　　　　　. 
课堂探究
【尝试与发现1】
填写下表,观察指定函数的自变量x互为相反数时,函数值之间具有什么关系,并分别说出函数图像应具有的特征并画出两个函数的简图.
x
-3
-2
-1
1
2
3
f(x)=x2






g(x)=1|x|







　　




【尝试与发现2】填写下表,观察指定函数的自变量x互为相反数时,函数值之间具有什么关系,并分别说出函数图像应具有的特征并画出两个函数的简图.
x
-3
-2
-1
1
2
3
f(x)=x3






g(x)=1x







　　



完成下列填空:
1.一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有　　　　　,且　　　　　　,则称y=f(x)为奇函数. 
2.奇函数的图像关于　　　　对称. 
3.奇函数的定义域关于　　　　对称. 
4.点P(x,f(x))与Q(-x,f(-x))都是函数y=f(x)图像上的点,如果y=f(x)是奇函数,则点Q又可以写成Q(-x,-f(x)),因此点P和点Q关于原点对称,所以奇函数的图像关于　　　　　对称;反之,结论也成立,即图像关于原点对称的函数一定是　　　　　. 
典型例题
例题　判断下列函数是否具有奇偶性:
(1)f(x)=x+x3+x5;(2)f(x)=x2+1;
(3)f(x)=x+1;(4)f(x)=x2,x∈[-1,3].






核心素养专练
一、选择题
1.给定四个函数:①f(x)=x3+3x,②f(x)=1x,③f(x)=x4+1,④f(x)=x2+1x,其中是奇函数的有(　　)
　 　　　　　　　　　　　　　　
A.①③ B.①④
C.③④ D.②④
2.下面四个结论:
①偶函数的图像一定与y轴相交;
②奇函数的图像一定通过坐标原点;
③偶函数的图像关于y轴对称;
④既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R).
其中正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数,则必有(　　)
A.f(x)f(-x)>0 B.f(x)f(-x)<0
C.f(x)f(-x)
4.若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是(　　)
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
5.已知定义在R上的偶函数f(x)满足:当x∈[0,+∞)时,f(x)=2-x,x≥2,x2+1,0≤x<2,则f[f(-2)]的值为(　　)
A.1 B.3 C.-2 D.-3
二、填空题
6.函数f(x)=1x-x的图像关于　　　　　对称. 
7.若函数f(x)为奇函数,函数g(x)为偶函数,且f(x)-g(x)=x2+3x+2,则f(x)+g(x)=　　　　　. 
8.设函数y=f(x)是奇函数,若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3,则f(1)+f(2)=　　　　　. 
三、解答题
9.判断函数f(x)=1-x2|x+2|-2的奇偶性.





10.已知函数f(x)=x2-4|x|+3.
(1)试证明函数f(x)是偶函数;
(2)画出f(x)的图像;
(3)请根据图像指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间.(不必证明)





参考答案
自主预习
略
课堂探究
【尝试与发现1】 略
【尝试与发现2】 略
1.-x∈D　f(-x)=-f(x)
2.原点
3.x=0
4.原点　奇函数
典例例题
例题　解:(1)x∈R,∵f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-x-x3-x5=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)x∈R,∵f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)x∈R,∵f(-x)=-x+1≠f(x)且f(-x)=-x+1≠-f(x),
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(4)x∈[-1,3],定义域不关于x=0对称,
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
核心素养专练
1.B　2.A　3.B　4.A　5.A
6.原点　7.-x2+3x-2　8.-3
9.解:∵x∈[-1,0)∪(0,1],∴-x∈[-1,0)∪(0,1].
∵f(x)+f(-x)=1-x2x-1-x2x=0,
∴f(x)=1-x2|x+2|-2是奇函数.
10.解:(1)由于函数f(x)=x2-4|x|+3的定义域为R,且满足f(-x)=f(x),故函数f(x)是偶函数.
(2)f(x)的图像如图所示.

(3)根据图像可知函数f(x)的单调递增区间为[-2,0],[2,+∞);单调递减区间为(-∞,-2],[0,2].

学习目标
课标要求
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的概念和几何意义.
2.能判断函数的奇偶性,能运用奇偶函数的图像特征解决一些简单问题.
素养要求
通过本节内容的学习,会结合实例,利用图像抽象出函数性质,提升直观想象和逻辑推理素养.
自主预习
情境引入
在我们的日常生活中,可以观察到许多对称现象,如图,六角形的雪花晶体、建筑物和它在水中的倒影……

问题1　上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”对称?




问题2　哪个图形是轴对称图形?哪个图形是中心对称图形?









新知梳理
1.偶函数的定义及图像特征
(1)偶函数的定义:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有　　　　　,且　　　　　,则称y=f(x)为偶函数. 
(3)偶函数的图像特征:偶函数的图像关于　　　　　对称.反之,图像关于y轴对称的函数一定是　　　　　函数. 
2.奇函数的定义及图像特征
(1)奇函数的定义:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有　　　　　,且　　　　　,则称y=f(x)为奇函数. 
(2)奇函数的图像特征:奇函数的图像关于　　　　　对称.反之,图像关于原点对称的函数一定是　　　　函数. 
[自主判断]
1.对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数.(　　)
2.不存在既是奇函数,又是偶函数的函数.(　　)
3.奇函数f(x)的定义域为R,且f(-2)=5,则f(2)=-5.(　　)
[自主训练]
1.f(x)=x3+1x的图像关于　　　　　对称. 
2.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,则f(-2)=　　　　　. 
[思考]
1.如果函数f(x)具有奇偶性,那么函数f(x)的定义域一定关于原点对称吗?


2.若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)的值是多少?



课堂探究
题型一　函数奇偶性的判定
关键:首先判断定义域是否关于原点对称,若对称再判断f(-x)与f(x)的关系.
例1　判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=2-|x|;
(2)f(x)=x2-1+1-x2;
(3)f(x)=xx-1.




【训练1】判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=x3+x5;
(2)f(x)=|x+1|+|x-1|;
(3)f(x)=2x2+2xx+1.





题型二　分段函数奇偶性的判定
例2　判断函数f(x)=x+1,x>0,-x+1,x<0的奇偶性.





【训练2】判断函数f(x)=x2,x<0,x3,x≥0的奇偶性.



题型三　奇、偶函数的图像特征
例3　已知函数f(x)=1x2+1,令g(x)=f1x.
(1)已知f(x)在区间[0,+∞)上的图像如图,请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图像,请说明你的作图依据;
(2)求证:f(x)+g(x)=1(x≠0).




【训练3】(1)如图给出了奇函数y=f(x)的局部图像,则f(-2)的值为(　　)

　 　　　　　　　　　　　　　　
A.32 B.-32 C.12 D.-12
(2)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈[0,5]时,函数y=f(x)的图像如图所示,则使函数值y<0的x的取值集合为(　　)

A.(2,5) B.(-5,-2)∪(2,5)
C.(-2,0) D.(-2,0)∪(2,5)
核心素养
一、素养落地
1.通过本节课的学习,重点提升学生的直观想象和逻辑推理素养.
2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据,为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式f(-x)=±f(x)⇔f(-x)∓f(x)=0⇔f(-x)f(x)=±1(f(x)≠0).
3.(1)若f(x)=0且f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)f(x)为奇函数⇔f(x)的图像关于原点对称,f(x)为偶函数⇔f(x)的图像关于y轴对称.
二、素养训练
1.下列图像表示的函数具有奇偶性的是(　　)

2.已知f(x)为偶函数,且当x≥0时,f(x)≥2,则当x≤0时(　　)
A.f(x)≤2 B.f(x)≥2
C.f(x)≤-2 D.f(x)∈R
3.已知函数f(x)是定义在区间[a-1,2a]上的奇函数,则实数a的值为　　　　　. 
课堂练习
1.下列函数中奇函数的个数为(　　)
①f(x)=x3;②f(x)=x5;③f(x)=x+1x;④f(x)=1x2.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(-3)=2,则下列各点中一定在函数f(x)的图像上的是(　　)
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(-3,-2) D.(2,-3)
3.若f(x)=a-22x+1是定义在R上的奇函数,则a的值为(　　)
A.0 B.-1 C.1 D.2
4.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图像,则f(-2)+f(-1)的值为(　　)

A.-2 B.2 C.1 D.0
5.已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为　　　　　. 
核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,则f(5)+f(-5)=(　　)
A.0 B.5 C.2f(5) D.f(0)
2.若函数f(x)满足f(-x)f(x)=1,则f(x)的图像的对称轴是(　　)
A.x轴 B.y轴
C.直线y=x D.不能确定
3.f(x)是定义在R上的奇函数,下列结论中不一定正确的是(　　)
A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=-2f(x)
C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)f(-x)=-1
二、填空题
4.下列函数为偶函数的是　　　　　(只填序号). 
①y=x2(x≥0);②y=(x-1)x+11-x;③y=2;④y=|x|(x≤0).
5.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=　　　　　. 
6.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=　　　　　. 
三、解答题
7.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x4-3x2;
(2)f(x)=1-x2|x+2|-2.




8.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,求证:g(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)为奇函数.




能力提升
9.定义在[-3,-1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数,其部分图像如图所示.

(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像;
(2)比较f(1)与f(3)的大小.




10.已知函数f(x)是正比例函数,函数g(x)是反比例函数,且f(1)=1,g(1)=2.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式;
(2)判断f(x)+g(x)的奇偶性.



参考答案
自主预习
略
课堂探究
题型一　函数奇偶性的判定
例1　解:(1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(2)函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,
又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),
∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
规律方法　判断函数奇偶性的两种方法:
(1)定义法:

(2)图像法:

【训练1】解:(1)函数的定义域为R.
∵f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(2)f(x)的定义域是R.
∵f(-x)=|-x+1|+|-x-1|=|x-1|+|x+1|=f(x),
∴f(x)是偶函数.
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
题型二　分段函数奇偶性的判定
例2　解:f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,-x<0,
f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x);
当x<0时,-x>0,
f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x).
综上可知,对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
规律方法　分段函数奇偶性的判断应注意
(1)定义域是否关于原点对称;
(2)在各段求出f(-x)后与对应段上的f(x)比较.
【训练2】解:f(x)的定义域为R,
当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3=-x3,
而f(x)=x2,
∴当x<0时不满足f(-x)=f(x),也不满足f(-x)=-f(x).
故此函数是非奇非偶函数.
题型三　奇、偶函数的图像特征
例3　(1)解:∵f(x)=1x2+1,
∴f(x)的定义域为R.
又对任意x∈R,都有f(-x)=1(-x)2+1=1x2+1=f(x),
∴f(x)为偶函数,故f(x)的图像关于y轴对称,其图像如图所示:

(2)证明:∵g(x)=f1x=11x2+1=x21+x2(x≠0),
∴f(x)+g(x)=11+x2+x21+x2=1+x21+x2=1,
即f(x)+g(x)=1(x≠0).
规律方法　(1)先判断函数的奇偶性;
(2)利用函数的奇偶性作图,其依据是奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称.
【训练3】解析:(1)奇函数的图像关于原点对称,因此,f(-2)=-f(2)=-32.
(2)因为原函数是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图像关于坐标原点对称,由y=f(x)在[0,5]上的图像,知它在[-5,0]上的图像,如图所示,由图像知,使函数值y<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).

答案:(1)B　(2)D
核心素养
素养训练
1.B　解析:选项A中的图像关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图像所示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图像关于y轴对称,其表示的函数是偶函数,故选B.
2.B　解析:根据偶函数的图像关于y轴对称,易知当x≤0时,有f(x)≥2.故选B.
3.13　解析:由题意知a-1+2a=0,得a=13.
课堂练习
1.C
2.A　解析:f(-3)=2,即点(-3,2)在奇函数的图像上,
∴(-3,2)关于原点的对称点(3,-2)必在f(x)的图像上.
3.C　解析:∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,即f(0)=a-220+1=0,
∴a=1.
4.A　解析:f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-32-12=-2.
5.5　解析:因为f(x)是奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=-6,
所以(-3)2+a(-3)=-6,
解得a=5.
核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.C　解析:因为f(x)是偶函数,所以f(-5)=f(5),故f(5)+f(-5)=2f(5).
2.B　解析:f(-x)f(x)=1⇒f(-x)=f(x),f(x)为偶函数,∴其图像的对称轴为y轴.
3.D　解析:f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),所以A,B,C均正确.只有f(x)≠0时,才有f(x)f(-x)=-1,D不正确.
二、填空题
4.③　解析:对于①④,其定义域显然不关于原点对称,故其为非奇非偶函数;又②中,由x+11-x≥0,1-x≠0,得定义域为[-1,1),不关于原点对称,故②也是非奇非偶函数;对于③,其定义域为R,且对∀x∈R都满足f(-x)=f(x)=2,故③是偶函数.
5.-5　解析:∵f(x)为奇函数,且x>0时,f(x)=x2+1,
∴f(-2)=-f(2)=-(4+1)=-5.
又f(0)=0,
∴f(-2)+f(0)=-5+0=-5.
6.1　解析:在f(x)-g(x)=x3+x2+1中,
令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1,
又f(-1)=f(1),g(-1)=-g(1),
∴f(1)+g(1)=1.
三、解答题
7.解:(1)f(x)=x4-3x2的定义域是R,关于原点对称.
又f(-x)=(-x)4-3(-x)2=x4-3x2=f(x),
∴f(x)=x4-3x2是偶函数.
(2)由1-x2≥0,|x+2|≠2,得-1≤x<0或0 ∴f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,
∴f(x)=1-x2|x+2|-2=1-x2x.
又f(-x)=1-x2-x=-f(x),
故f(x)为奇函数.
8.证明:∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,
∴f(-x)=f(x),
即a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c,
∴b=0,
∴g(x)=ax3+cx,其定义域为R,
又g(-x)=a(-x)3+c(-x)=-(ax3+cx)=-g(x).
∴g(x)为奇函数.
9.解:(1)因为f(x)是奇函数,其图像关于原点对称,可作出f(x)图像如图所示.

(2)由(1)中的图像可知f(x)在[1,3]上单调递减,
∴f(1)>f(3).
10.解:(1)设f(x)=k1x,g(x)=k2x(k1,k2≠0),
则1=f(1)=k1,2=g(1)=k2,
∴f(x)=x,g(x)=2x.
(2)令h(x)=f(x)+g(x)=x+2x,
则其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
又h(-x)=-x+2-x=-x+2x=-h(x),
∴f(x)+g(x)为奇函数.