人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第2课时学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性第2课时学案设计，共11页。

3.1.3　函数的奇偶性
第2课时

学习目标
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.
自主预习
1.函数的奇偶性与单调性的性质
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a (2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a 2.奇偶函数的运算性质
在公共定义域内:
(1)两个奇函数的和函数是　　　　函数,积函数是　　　　函数; 
(2)两个偶函数的和函数、积函数都是　　　　函数; 
(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是　　　　函数. 
3.函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(T+x)=f(T-x)(T为常数),则x=　　　　是f(x)的对称轴. 
(2)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数),则　　　是f(x)的对称中心. 
课堂探究
题型一　利用奇偶性求函数解析式
例1　(1)函数f(x)是R上的偶函数,且当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)=　　　　　. 
(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)=　　　　　. 
【训练1】(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,当x∈(-∞,0)时,求f(x)的解析式.




题型二　利用奇偶性研究函数的性质
例2　研究函数f(x)=x2-2|x|+1的单调性,并求出f(x)的最值.





【训练2】研究函数f(x)=x+1x的单调性,并写出函数的值域.







题型三　证明函数图像的对称性
例3　求证:二次函数f(x)=-x2-2x+1的图像关于x=-1对称.





【训练3】证明函数f(x)=xx+1的图像关于点(-1,1)对称.






课堂练习
1.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是(　　)
　 　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=-x(x+2) B.f(x)=x(x-2)
C.f(x)=-x(x-2) D.f(x)=x(x+2)
2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.设函数y=f(x)是偶函数,若f(-3)+f(-1)-5=f(3)+f(1)+a,则a=　　　　　. 
4.若f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0,则不等式xf(x)<0的解集为　　　　　. 
5.证明函数f(x)=1x+1的图像关于(-1,0)对称.







核心素养专练
1.如果函数F(x)=2x-3,x>0,f(x),x<0是奇函数,则f(x)=　　　　　. 
2.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是　　　　　. 
3.若函数f(x)=x2-2ax+3图像的对称轴为x=1,则当x∈[-1,2]时,f(x)的值域为　　　　　. 
4.已知函数f(x)=x+ax(a>0).
(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明.
(2)若a=4,证明:函数f(x)在区间(2,+∞)上是增函数.









5.设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)=x5+x3+b.
(1)求b值;
(2)若f(x)在[0,2]上单调递增,且f(m)+f(m-1)>0,求实数m的取值范围.









参考答案
自主预习
略
课堂探究
题型一　利用奇偶性求函数解析式
例1　解析:(1)设x>0,则-x<0,所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).因为函数f(x)为R上的偶函数,故当x>0时,f(x)=f(-x)=x(x+1),即x>0时,f(x)=x(x+1).
(2)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是R上的奇函数,故f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1,即当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.
因为f(x)为R上的奇函数,故f(0)=0.
综上,f(x)的解析式为f(x)=-2x2+3x+1,x>0,0,x=0,2x2+3x-1,x<0.
答案:(1)x(x+1)　(2)-2x2+3x+1,x>0,0,x=0,2x2+3x-1,x<0
【训练1】解:(1)设x>0,则-x<0,
∴f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.
又f(x)是R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x)=x2-x.
又∵函数定义域为R,∴f(0)=0,
综上可知f(x)=-x2-x,x<0,x2-x,x≥0.
(2)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,
又f(x)在R上为偶函数,∴当x<0时,f(x)=f(-x)=x2-x-1,即x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.
题型二　利用奇偶性研究函数的性质
例2　解:f(x)的定义域为R,
f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),
∴f(x)为偶函数,且f(x)=(x-1)2,x≥0,(x+1)2,x<0.
当x≥0时,f(x)=(x-1)2,由二次函数的性质易得,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,
f(x)min=f(-1)=f(1)=0,f(x)max不存在.
【训练2】解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-x-1x=-x+1x=-f(x),故f(x)为奇函数.
当x∈(0,+∞)时,由均值不等式可知
f(x)=x+1x≥2x·1x=2,
当且仅当x=1时等号成立,即f(x)∈[2,+∞),
同理可知当x∈(-∞,0)时,f(x)∈(-∞,-2].
下面证明当x∈(0,1]时,f(x)单调递减.
任取x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
则ΔfΔx=f(x2)-f(x1)x2-x1=x2+1x2-x1+1x1x2-x1
=(x2-x1)1-1x1x2x2-x1=1-1x1x2.
∵x1,x2∈(0,1]且x1≠x2,
∴01,1-1x1x2<0,即ΔfΔx<0,
∴f(x)在(0,1]上单调递减.
类似地,可以证明f(x)在[1,+∞)上单调递增.
∵f(x)为奇函数,∴f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
综上,f(x)在(-∞,-1]∪[1,+∞)上单调递增,在[-1,0)∪(0,1]上单调递减,f(x)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
题型三　证明函数图像的对称性
例3　证明:任取x∈R,
∵f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,
f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,
∴f(-1+x)=f(-1-x),
∴f(x)的图像关于x=-1对称.
【训练3】证明:函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
任取x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),
∵f(-1+x)+f(-1-x)
=-1+x-1+x+1+-1-x-1-x+1
=-1+xx+1+xx=-1x+1+1x+1=2,
即f(-1+x)+f(-1-x)=2,
∴f(x)的图像关于点(-1,1)对称.
课堂练习
1.解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=x2+2x,
又f(x)为R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2),故选A.
答案:A
2.解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
答案:B
3.解析:∵f(x)是偶函数,
∴f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),
故由题意知a=-5.
答案:-5
4.解析:根据题意画出f(x)的大致图像:

由图像可知-2 答案:(-2,0)∪(0,2)
5.证明:要证f(x)的图像关于(-1,0)对称,只需证明f(x)对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),满足f(-1+x)=-f(-1-x).
∵f(-1+x)=1-1+x+1=1x,f(-1-x)=1-1-x+1=-1x,
∴f(-1+x)=-f(-1-x),
故y=1x+1的图像关于(-1,0)对称.
核心素养专练
1.2x+3　2.(-2,2)　3.[2,6]
4.(1)解:函数f(x)为奇函数.
证明:函数f(x)=x+ax(a>0)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)且关于原点对称.
又因为f(-x)=-x+a-x=-x+ax=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数.
(2)证明:f(x)=x+4x(a>0),
设x1,x2是区间(2,+∞)上的任意两个实数且x1 f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2+4x2=x1-x2+4x1-4x2=(x1-x2)1-4x1x2=(x1-x2)(x1x2-4)x1x2,
因为x1 又因为x1,x2∈(2,+∞),
所以x1x2>4,∴x1x2-4>0,∴f(x1)-f(x2)<0,
∴函数f(x)在(2,+∞)上为增函数.
5.解:(1)因为函数f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,
所以f(0)=0,解得b=0.
(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数,
又因为f(x)是奇函数,所以f(x)在[-2,2]上是单调递增的,
因为f(m)+f(m-1)>0,
所以f(m-1)>-f(m)=f(-m),
所以m-1>-m,①
又需要不等式f(m)+f(m-1)>0,
在函数f(x)定义域范围内有意义.
所以-2≤m≤2,-2≤m-1≤2,②,解①②,得12 所以m的取值范围为12,2.

学习目标
课标要求
1.掌握函数奇偶性的简单应用.
2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.
素养要求
1.通过函数奇偶性的应用,使学生熟悉转化、对称等思考方法,提升逻辑推理素养.
2.通过函数图像的对称轴、对称中心等条件,提升学生的直观想象能力,培养数学抽象素养.
自主预习
情境引入
问题1　图(1)和图(2)分别是偶函数和奇函数的一部分图像,你能结合奇偶函数图像的特征画出相应图像的另一部分吗?

(1)

(2)

问题2　就图(1)而言,函数在区间(-∞,-2]与[2,+∞)上的单调性是否相同?就图(2)而言,函数在区间-52,0与0,52上的单调性是否相同?


新知梳理
1.函数的奇偶性与单调性的性质
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a,b](a (2)若f(x)为偶函数且在区间[a,b](a 2.奇偶函数的运算性质
在公共定义域内:
(1)两个奇函数的和函数是奇函数,积函数是偶函数;
(2)两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数;
(3)一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
3.函数的对称轴与对称中心
(1)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(T+x)=f(T-x)(T为常数),则　　　　　是f(x)的对称轴. 
(2)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数),则　　　　　是f(x)的对称中心. 
[自主判断]
1.若f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).(　　)
2.若对f(x)定义域内任意的x都有f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于x=a+b2对称.(　　)
[自主训练]
已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x-x2,则当x>0时,f(x)=　　　　　. 
[思考]
1.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像关于y轴对称,则f(x),g(x)是偶函数吗?



2.函数y=xx-1的图像有对称中心吗?若有,指出对称中心.



课堂探究
题型一　利用奇偶性求函数解析式
例1　(1)函数f(x)是R上的偶函数,且当x<0时,f(x)=x(x-1),则当x>0时,f(x)=　　　　　. 
(2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)=　　　　　. 
【训练1】(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式;
(2)已知f(x)是R上的偶函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+x-1,当x∈(-∞,0)时,求f(x)的解析式.





题型二　证明函数图像的对称性
例2　求证:二次函数f(x)=-x2-2x+1的图像关于x=-1对称.





【训练2】证明函数f(x)=xx+1的图像关于点(-1,1)对称.







核心素养
一、素养落地
1.通过本节课的学习,提升直观想象和逻辑推理素养.
2.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.
3.如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,那么一定有f(0)=0;如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
二、素养训练
1.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则当x<0时,f(x)的解析式是(　　)
　 　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=-x(x+2) B.f(x)=x(x-2)
C.f(x)=-x(x-2) D.f(x)=x(x+2)
2.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.证明函数f(x)=1x+1的图像关于(-1,0)对称.





课堂练习
1.设函数f(x)=x2+x,x≥0,g(x),x<0,且f(x)为偶函数,则g(-2)等于(　　)
A.6 B.-6 C.2 D.-2
2.已知函数y=f(x)是偶函数,其图像与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是(　　)
A.4 B.2 C.1 D.0
3.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-2)上是(　　)
A.增函数
B.减函数
C.非单调函数
D.可能是增函数,也可能是减函数
4.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=　　　　　. 
5.已知函数y=f(x)的图像关于原点对称,且当x>0时,f(x)=x2-2x+3.
(1)试求f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数的图像,根据图像写出它的单调区间.



核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上是(　　)
A.增函数 B.减函数
C.有增有减 D.增减性不确定
2.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则f(2)等于(　　)
A.-26 B.-18 C.-10 D.10
3.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x)x<0的解集为(　　)
A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1)
二、填空题
4.已知y=f(x)+x2是奇函数且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=　　　　　. 
三、解答题
5.已知函数f(x)=x3+bx2+ax是定义在[-3,a+1]上的奇函数,求:
(1)实数a,b的值;
(2)求f(x)的值域.













参考答案
自主预习
　　略
课堂探究
题型一　利用奇偶性求函数解析式
例1　解析:(1)设x>0,则-x<0,
所以f(-x)=-x(-x-1)=x(x+1).
因为函数f(x)为R上的偶函数,
故当x>0时,f(x)=f(-x)=x(x+1),
即x>0时,f(x)=x(x+1).
(2)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1.
由于f(x)是R上的奇函数,
故f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2x2+3x-1,
即当x<0时,f(x)=2x2+3x-1.
因为f(x)为R上的奇函数,
故f(0)=0.
综上,f(x)的解析式为f(x)=-2x2+3x+1,x>0,0,x=0,2x2+3x-1,x<0.
答案:(1)x(x+1)　(2)-2x2+3x+1,x>0,0,x=0,2x2+3x-1,x<0
【训练1】解:(1)设x>0,则-x<0,
∴f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.
又f(x)是R上的奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=x2-x.
又∵函数定义域为R,
∴f(0)=0,
综上可知f(x)=-x2-x,x<0,x2-x,x≥0.
(2)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1.
又f(x)在R上为偶函数,
∴当x<0时,f(x)=f(-x)=x2-x-1,
即x∈(-∞,0)时,f(x)=x2-x-1.
题型二　证明函数图像的对称性
例2　证明:任取x∈R,
∵f(-1+x)=-(-1+x)2-2(-1+x)+1=-x2+2,
f(-1-x)=-(-1-x)2-2(-1-x)+1=-x2+2,
∴f(-1+x)=f(-1-x),
∴f(x)的图像关于x=-1对称.
【训练2】证明:函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞).
任取x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),
∵f(-1+x)+f(-1-x)
=-1+x-1+x+1+-1-x-1-x+1
=-1+xx+1+xx=-1x+1+1x+1=2,
即f(-1+x)+f(-1-x)=2,
∴f(x)的图像关于点(-1,1)对称.
核心素养
素养训练
1.解析:设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=x2+2x,
又f(x)为R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x(x+2).
答案:A
2.解析:f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),
由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.
答案:B
3.证明:要证f(x)的图像关于(-1,0)对称,只需证明f(x)对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),满足f(-1+x)=-f(-1-x).
∵f(-1+x)=1-1+x+1=1x,
f(-1-x)=1-1-x+1=-1x,
∴f(-1+x)=-f(-1-x),
故y=1x+1的图像关于(-1,0)对称.
课堂练习
1.解析:g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6.
答案:A
2.解析:y=f(x)是偶函数,
所以y=f(x)的图像关于y轴对称,
所以f(x)=0的所有实根之和为0.
答案:D
3.解析:∵f(x)为偶函数,
∴m=0,f(x)=-x2+3,
∴f(x)的对称轴为y轴,
故f(x)在区间(-5,-2)上是增函数.
答案:A
4.解析:由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,
∴f(-2)+f(0)=-5.
答案:-5
5.解:(1)因为函数f(x)的图像关于原点对称,
所以f(x)为奇函数,则f(0)=0.
设x<0,则-x>0,
因为当x>0时,f(x)=x2-2x+3.
所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(x2+2x+3)=-x2-2x-3.
于是有f(x)=x2-2x+3,x>0,0,x=0,-x2-2x-3,x<0.
(2)先画出函数在y轴右侧的图像,再根据对称性画出y轴左侧的图像,如图.

由图像可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区间是[-1,0),(0,1].
核心素养专练
基础达标
一、选择题
1.解析:由f(x)是偶函数,即f(-x)=f(x),得m=0,所以f(x)=-x2+3,画出函数f(x)=-x2+3的图像(略)知,在区间(2,5)上为减函数.
答案:B
2.解析:设g(x)=x5+ax3+bx,函数定义域为R.
∵g(-x)=(-x)5+a(-x)3+b(-x)=-x5-ax3-bx=-g(x),
∴g(x)为奇函数.
∵f(-2)=g(-2)-8=10,
∴g(-2)=18,
∴g(2)=-g(-2)=-18,
∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.
答案:A
3.解析:∵f(x)为奇函数,f(x)-f(-x)x<0,
即f(x)x<0,
∵f(x)在(0,+∞)上为减函数且f(1)=0,
∴当x>1时,f(x)<0.
∵奇函数图像关于原点对称,
∴在(-∞,0)上f(x)为减函数且f(-1)=0,
即x<-1时,f(x)>0.
综上使f(x)x<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:C
二、填空题
4.解析:∵y=f(x)+x2是奇函数,
∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2],
∴f(x)+f(-x)+2x2=0,
∴f(1)+f(-1)+2=0.
∵f(1)=1,∴f(-1)=-3.
∵g(x)=f(x)+2,
∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=-1.
答案:-1
三、解答题
5.解:(1)因为函数f(x)=x3+bx2+ax是定义在[-3,a+1]上的奇函数,
所以-3+a+1=0,得a=2,
又f(-x)=-f(x)对任意x∈[-3,3]恒成立,
即(-x)3+b(-x)2+2(-x)=-x3-bx2-2x,
得2bx2=0对任意x∈[-3,3]恒成立,所以b=0.
综上所述,a=2,b=0.
(2)由(1)知f(x)=x3+2x,x∈[-3,3],
易得函数为增函数,所以f(x)min=f(-3)=-33,
f(x)max=f(3)=-f(-3)=33,
所以f(x)的值域为[-33,33].