中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题十一《二次函数与相似三角形结合》(教师版)

这是一份中考数学二轮总复习（解答题）突破训练：专题十一《二次函数与相似三角形结合》(教师版)，共10页。
(1)求抛物线的解析式；
(2)问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；
(3)过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；
(4)设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；
(2)OP＝t，AQ＝eq \r(2)t，则PA＝3－t，
∵OA＝OB＝3，
∠BOA＝90°，
∴∠QAP＝45°.
当∠PQA＝90°时，如解图①，PA＝eq \r(2)AQ，即3－t＝eq \r(2)×eq \r(2)t，解得t＝1；
当∠APQ＝90°时，如解图②，AQ＝eq \r(2)AP，即eq \r(2)t＝eq \r(2)(3－t)，解得t＝eq \f(3,2)；
综上所述，当t＝1或t＝eq \f(3,2)时，△PQA是直角三角形；
图①
(3)如解图③，延长FQ交x轴于点H，设点P的坐标为(t，0)，∵PA＝PE，则点E的坐标为(t，－t＋3)，
易得△AQH为等腰直角三角形，∴AH＝HQ＝eq \f(\r(2),2)AQ＝eq \f(\r(2),2)·eq \r(2)t＝t，
∴点Q的坐标为(3－t，t)，点F的坐标为(3－t，－t2＋4t)，
∴FQ＝－t2＋4t－t＝－t2＋3t，
∵EP∥FQ，EF∥PQ，∴四边形PQFE为平行四边形，
∴EP＝FQ.即3－t＝3t－t2，解得t1＝1，t2＝3(舍去)，∴点F的坐标为(2，3)；
图② 图③
(4)存在．
当t＝eq \f(9,4)时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似．
2.如图，直线y＝－eq \f(2,3)x＋c与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B，抛物线y＝－eq \f(4,3)x2＋bx＋c经过点A，B.
(1)求点B的坐标和抛物线的解析式；
(2)M(m，0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N.
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
解：(1)B(0，2)，
抛物线的解析式为y＝－eq \f(4,3)x2＋eq \f(10,3)x＋2；
(2)①由(1)可知直线解析式为y＝－eq \f(2,3)x＋2，
∵M(m，0)为x轴上一动点，
过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴P(m，－eq \f(2,3)m＋2)，N(m，－eq \f(4,3)m2＋eq \f(10,3)m＋2)，
∴PM＝－eq \f(2,3)m＋2，AM＝3－m，PN＝－eq \f(4,3)m2＋eq \f(10,3)m＋2－(－eq \f(2,3)m＋2)＝－eq \f(4,3)m2＋4m，
∵△BPN和△APM相似，且∠BPN＝∠APM，
∴∠BNP＝∠AMP＝90°即△BPN∽△APM，或∠NBP＝∠AMP＝90°，
当∠BNP＝90°时，则有BN⊥MN，∴BN＝OM＝m，
∴eq \f(BN,AM)＝eq \f(PN,PM)，即eq \f(m,3－m)＝eq \f(－\f(4,3)m2＋4m,－\f(2,3)m＋2)，解得m＝0(舍去)或m＝2.5；
∴M(2.5，0)；
当∠NBP＝90°时，即△BPN∽△MPA，则有eq \f(PN,PA)＝eq \f(BP,MP)，
∵A(3，0)，B(0，2)，P(m，－eq \f(2,3)m＋2)，0＜m＜3，
∴BP＝eq \r(m2＋（－\f(2,3)m＋2－2）2)＝eq \f(\r(13),3)m，
AP＝eq \r(（m－3）2＋（－\f(2,3)m＋2）2)＝eq \f(\r(13),3)(3－m)，
eq \f(－\f(4,3)m2＋4m,\f(\r(13),3)（3－m）)＝eq \f(\f(\r(13),3)m,－\f(2,3)m＋2)，解得m＝0(舍去)或m＝eq \f(11,8)，∴M(eq \f(11,8)，0)；
综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为(2.5，0)或(eq \f(11,8)，0)；
②当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为eq \f(1,2)或－1或－eq \f(1,4).
3.如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象经过点A(3，1)，点C(0，4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC.
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标；
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；
(3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果，不必写解答过程)．

解：(1)二次函的数解析式为y＝－x2＋2x＋4，点M的坐标为(1，5)；
(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋m，把点A(3，1)，C(0，4)代入得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3k＋m＝1，,m＝4，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,m＝4，))
∴直线AC的解析式为y＝－x＋4，
如解图所示，对称轴直线x＝1与△ABC两边分别交于点E、点F，
把x＝1代入直线AC解析式y＝－x＋4，得y＝3，则点E坐标为(1，3)，点F坐标为(1，1)，
∴1＜5－m＜3，解得2＜m＜4；
(3)符合题意的点P坐标有4个，分别为P1(eq \f(1,3)，eq \f(11,3))，P2(－eq \f(1,3)，eq \f(13,3))，P3(3，1)，P4(－3，7)．
类型五 与角有关的探究
1．(2017·锦州)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过B(－1，0)，D(－2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q、P.
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使∠APB＝90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；
(3)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒eq \r(2)个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？
解：(1)抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；
(2)假设存在点P(m，n)，使得∠APB＝90°，
如解图①，连接PA，PB.
∵PH⊥AB，
∴可得△PAH∽△BPH，∴eq \f(PH,BH)＝eq \f(AH,PH)，
即PH2＝AH·BH，
∴(－n)2＝(3－m)(m＋1)，整理得n2＝－m2＋2m＋3，
∵点P在抛物线上，∴n＝m2－2m－3，
∴n2＝－n，解得n＝－1或n＝0(舍)．
将n＝－1代入抛物线得m2－2m－3＝－1，解得m1＝1＋eq \r(3)，m2＝1－eq \r(3)，
∴满足条件的点P有两个，横坐标分别为1＋eq \r(3)，1－eq \r(3)；
图①
图②
(3)如解图②，过D作DE⊥x轴于点E，
∵D(－2，5)，∴DE＝5，OE＝2.
∴AE＝OE＋OA＝5，
∴DE＝AE，
∴∠DAE＝45°.
过D作DF⊥PQ于点F，∵DF∥x轴，
∴∠FDQ＝45°，
∴在Rt△DFQ中，DQ＝eq \r(2)FQ.
根据题意，t＝eq \f(BQ,1)＋eq \f(DQ,\r(2))＝BQ＋FQ，
∴要使t最小，则BQ＋QF最小，
根据垂线段最短可知，当点B，Q，F共线时，t取最小值，
此时BF⊥DF，点Q的横坐标为－1，则点Q的坐标为(－1，4)．
2．(2017·盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝eq \f(1,2)x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求eq \f(S1,S2)的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
(导学号 58824244)
备用图
解：(1)抛物线的表达式为y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2；
(2)①令y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(3,2)x＋2＝0，∴x1＝－4，x2＝1，∴A(－4，0)，B(1，0)，如解图①，过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交AC于点N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(DE,BE)＝eq \f(DM,BN)，设D(a，－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,2)a＋2)，∴M(a，eq \f(1,2)a＋2)，∴DM＝－eq \f(1,2)a2－2a，∵B(1，0)，∴N(1，eq \f(5,2))，∴BN＝eq \f(5,2).
∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(DM,BN)＝eq \f(－\f(1,2)a2－2a,\f(5,2))＝－eq \f(1,5)(a＋2)2＋eq \f(4,5)；∴当a＝－2时，eq \f(S1,S2)的最大值是eq \f(4,5)；
图①
图②
②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴AC＝2eq \r(5)，BC＝eq \r(5)，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P(－eq \f(3,2)，0)，∴PA＝PC＝PB＝eq \f(5,2)，∴∠CPO＝2∠BAC，∴tan∠CPO＝tan(2∠BAC)＝eq \f(4,3)，过D作x轴的平行线交y轴于点R，交AC的延长线于点G，
i．如解图②，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC＋∠CDG，
∴∠CDG＝∠BAC，
∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝eq \f(1,2)，即eq \f(RC,DR)＝eq \f(1,2)，令D(a，－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,2)a＋2)，∴DR＝－a，RC＝－eq \f(1,2)a2－eq \f(3,2)a，
∴eq \f(－\f(1,2)a2－\f(3,2)a,－a)＝eq \f(1,2)，∴a1＝0(舍去)，a2＝－2，
∴xD＝－2，ii.∵∠FDC＝2∠BAC，tan∠FDC＝eq \f(4,3)，设FC＝4k，∴DF＝3k，DC＝5k，∵tan∠DGC＝eq \f(3k,FG)＝eq \f(1,2)，∴FG＝6k，∴CG＝2k，DG＝3eq \r(5)k，∴RC＝eq \f(2\r(5),5)k，RG＝eq \f(4\r(5),5)k，DR＝3eq \r(5)k－eq \f(4\r(5),5)k＝eq \f(11\r(5),5)k，∴eq \f(DR,RC)＝eq \f(\f(11\r(5),5)k,\f(2\r(5),5)k)＝eq \f(－a,－\f(1,2)a2－\f(3,2)a)，∴a1＝0(舍去)，a2＝－eq \f(29,11)，点D的横坐标为－2或－eq \f(29,11).
3．(2017·丹东模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为(0，－1)，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.
(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式；
(2)若点H(1，y)在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
(3)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t＞0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？
(4)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)抛物线的解析式为y＝－eq \f(2,3)x2＋eq \f(8,3)x－2＝－eq \f(2,3)(x－2)2＋eq \f(2,3)；
(2)如解图，过点A作AH∥y轴交BC于点H，交BE于点G，由(1)得C(0，－2)，∵B(3，0)，∴直线BC解析式为y＝eq \f(2,3)x－2，
∵H(1，y)在直线BC上，∴y＝－eq \f(4,3)，∴H(1，－eq \f(4,3))，
∵B(3，0)，E(0，－1)，∴直线BE解析式为y＝eq \f(1,3)x－1，
∴G(1，－eq \f(2,3))，∴GH＝eq \f(2,3)，
∵直线BE：y＝eq \f(1,3)x－1与抛物线y＝－eq \f(2,3)x2＋eq \f(8,3)x－2相交于点F，B，∴F(eq \f(1,2)，－eq \f(5,6))，
∴S△FHB＝eq \f(1,2)GH×|xG－xF|＋eq \f(1,2)GH×|xB－xG|＝eq \f(1,2)GH×|xB－xF|＝eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×(3－eq \f(1,2))＝eq \f(5,6)；
(3)P(eq \f(3,2)，eq \f(1),\s\d5(2)))．